一、基本概念

強連通圖（Strongly Connected Graph）是指在有向圖G中，如果對于每一對vi、vj，vi≠vj，從vi到vj和從vj到vi都存在路徑，則稱G是強連通圖。

有向圖中的極大強連通子圖稱做有向圖的強連通分量。

連通分量：對于圖G來的一個子圖中，任意兩個點都可以彼此到達，這個子圖就被稱為圖G的連通分量（一個點就是最小的連通分量）

最大連通分量：對于圖G的一個子圖，這個子圖為圖G的連通分量，且是圖G所有連通分量中包含節點數最多的那個，即為G的最大聯通分量

時間戳：搜索時第幾個搜索到這個點。

二、定理

定理：一個有向圖G是強連通的，當且僅當G中有一個回路，它至少包含每個節點一次。

證明：

（1）充分性：如果G中有一個回路，它至少包含每個節點一次，則G中任兩個節點都是互相可達的，故G是強連通圖。

（2）必要性：如果有向圖是強連通的，則任兩個節點都是相互可達。故必可做一回路經過圖中所有各點。若不然則必有一回路不包含某一結點v，并且v與回路上的個節點就不是相互可達，與強連通條件矛盾?。

三、算法

（1）Tarjan 算法

思想：

low，dfn。dfn表示這個點的時間戳，而low代表這個點所能到達的最小的時間戳，開始low都等于dfn，但會經過不斷更新而減少。

從1節點進行深度優先搜索，途中用樹（一個轉化為棧的樹）維護。

當遇到一個點時，有如下判斷：

1、如果這個點沒有訪問過，就將這個點加入樹（棧）

2、如果這個點訪問過，且在樹（棧）里，與這個點的low比較，更新自己的low

返回時更新low

當一個點遍歷所有的邊后這個點的low還是等于dfn，將個點及以上出棧，這個點及棧以上的點構成一個連通分量。

偽代碼：

void tarjan(int 當前點) {這個點的low=dfn=時間戳;將這個點入棧;標記這個點入棧;枚舉這個點連接的所有邊{如果目標點沒有被訪問過{tarjan(目標點);更新當前點的low; } 如果目標點被訪問過{更新當前點的low; } }如果當前點的low==dfn{將這個點及棧以上的點出棧，標記成一個強連通分量; ans++; } }

C++版本一

//in:時間戳下標//dfn[i]:i節點的時間戳//low[i]:i所能到達的最小的時間戳//vis[i]:i是否在棧里//head[i],next[i],to[i]:鄰接表 void tarjan(int u) {in++;dfn[u]=in;low[u]=in;S.push(u);vis[u]=1;for(int e=head[u];e;e=next[e]){if(!dfn[to[e]]){tarjan(to[e]);low[u]=min(low[to[e]],low[u]);}else if(vis[to[e]])low[u]=min(low[u],dfn[to[e]]);}if(low[u]==dfn[u]){while(!S.empty() && S.top()!=u){vis[S.top()]=0;S.pop(); } vis[u]=0;S.pop();ans++;} }

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（2）Korasaju 算法

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四、例題

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1726（題解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/89790404）

五、參考資料

https://www.cnblogs.com/five20/p/7594239.html

https://www.cnblogs.com/shadowland/p/5872257.html?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的强连通分量(Strongly_Connected_Components)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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