收獲

（1）理解根軌跡的概念及其在控制系統設計中的作用；

（2）手繪根軌跡草圖，以及如何使用極端及繪制根軌跡；

（3）熟悉在反饋控制系統中應用廣泛的關鍵部件：PID控制器；

（4）理解根軌跡在參數設計和系統靈敏度分析中的作用；

（5）能夠利用根軌跡設計控制器，使系統滿足預期的性能指標設計要求。

一. 基本概念

根軌跡

當一個參數變化時，閉環特征根在s平面上的變化軌跡稱為系統的根軌跡。當系統有兩個或兩個以上參數變化時，可以用根軌跡法設計控制器，通過調整控制器參數來使閉環反饋控制系統達到預期的性能指標。

根軌跡是當系統的某個參數從0變化到+

時，閉環特征方程的根在s平面上的變化軌跡。

2. 根靈敏度

根靈敏度，用來衡量某個根最系統參數的微小變化的敏感性。

3. 表述形式

將閉環傳遞函數寫成

的形式。滿足的幅值條件 和相角條件

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二. 基本知識回顧

手繪根軌跡的步驟和原則

（1）繪制根軌跡的準備工作

當K從0到

增加時，特征方程 的根軌跡起始于P(s)的極點，終止于P(s)的零點；

（2）確定實軸上的根軌跡段

實軸上的根軌跡段總是位于奇數個開環零點和極點的左側。根軌跡分支的條數等于開環極點的個數。并且如果存在共軛復根，根軌跡的分支必然是關于實軸對稱的。

（3）根軌跡沿漸近線趨向于無窮遠處的開環零點，漸近線與實軸的交點為

，漸近線與實軸的交角為

，

（4）如果根軌跡與根軌跡通過虛軸，使用勞斯穩定判據來確定根軌跡與虛軸的交點

（5）確定實軸上的分離點（如果有）

根據相角條件，在分離點處，各條根軌跡分支的切線將均分360度。

（6）應用相角條件，確定根軌跡離開開環復極點的出射角和進入開環復零點的入射角。根軌跡離開開環復極點的出射角等于相角差的主值。該相角差等于各開環零點到該極點的向量的相角之和，減去其他開環極點到該極點的向量的相角之和，主值用

調整得到。

（7）根軌跡的完整繪制

2. 根軌跡用于多個參數的設計

如果能將系統的特征方程改寫為

所示的標準形式，就能夠利用前面的步驟來繪制根軌跡，僅為分析和設計控制系統。對于一個同時包含兩個未知參數 和 的三階特征方程為 .

為了考察參數

從0到 時對系統的影響，應該將特征方程改寫為 ，據此，可以首先研究從0到 時對系統的影響 ，進一步改寫根軌跡方程為 。

即可以首先以

為可變參數的根軌跡，并確定合適的值；然后再繪制為可變參數的根軌跡，并最終確定的取值。

3. 靈敏度與根軌跡

參數變化引起的影響可以用系統性能對參數變化的靈敏度來表示，曾經給出了最先由伯德(Bode)提出的對數靈敏度的定義，即

三. PID控制器

1.基本含義

PID的傳遞函數為

，該控制器傳遞函數的三個組成項分別是比例項、積分項、微分項。再將PID控制器的傳遞函數形式進行轉換

其中，

和 ，因此PID控制器實際上是對應著這樣一類的傳遞函數：在原點有一個極點，在s平面有兩個可以任意配置位置的零點。

PID控制器在工業生產過程中的應用非常廣泛，其原因可以部分歸結為PID控制器能夠在相當廣泛的工作條件下保持良好的工作性能；還可以部分歸結為PID功能簡單，便于使用。

2. PID參數整定

（1）試錯法。

需要不斷仿真或實際測試系統的階躍響應，然后根據觀察結果以及工程經驗，來確定PID參數的合適取值。

（2）齊格勒-尼克爾斯參數整定方法

這種整定方法有多種變種，這里提示兩類齊格勒-尼克爾斯參數整定方法，它們分別以系統開環階躍響應和閉環階躍響應為基礎。

方法1 閉環齊格勒-尼克爾斯參數整定方法

首先令

和 ，然后緩慢增大比例增益 的取值，直到閉環系統的輸出出現振蕩，即系統達到臨界穩定狀態。在掌握了比例增益 的這個取值之后，再來減小的取值，以使系統輸出達到所謂的25%幅值衰減狀態。也就是使閉環系統輸出的幅值能夠在一個振蕩周期內減小到最大幅值的約25%（在臨界穩定狀態的一半附近的值）。接下來的步驟就是增大 和 的取值，以使閉環系統產生預期的階躍響應。

三個參數對系統階躍響應性能的影響效果

使用

在系統的閉環階躍響應進入臨界穩定，將此時的的取值記為 ，稱為終極增益，而此時的輸出為持續振蕩，將其周期記為 ，即終極周期，一旦確定了和，就可以利用下表來計算參數。

利用終極增益和終極周期的PID參數整定方法

方法2 開環齊格勒-尼克爾斯參數整定方法

這種方法在過程控制系統中的應用格外廣泛，所依據的觀測信息是響應曲線。這種方法的前提是受控對象（過程）近似為帶有傳輸延遲的一階系統。如果實際系統的響應曲線并非如此，就不能使用本方法，而需要選用其他PID整定方法。

依托于響應曲線中的傳輸時延

和響應速率 。

時延和響應速率設計的開環PID整定方法

注：這兩種方法并不是總能使系統達到預期的閉環性能。

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四. matlab分析根軌跡

需要使用的函數是rlocus、rlocfind 和 residue，其中函數 rlocus、rlocfind 用于繪制和分析根軌跡，函數residue則用于求有理函數的部分分式展開式。

考慮一個閉環傳遞函數，它的閉環傳遞函數是

其特征方程為

其特征方程可以化簡為

調用函數rlocus繪制根軌跡，必須要將特征方程寫成這種形式，其中K為可變參數，變化范圍為

到 。

1. rlocus的輸入實際上是一種特定形式的開環傳遞函數

% K (s+1) % The root locus for 1 + ------------ = 0 .% s(s+2)(s+3) %p=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p,q);rlocus(sys);

從圖中可以看出，開環傳遞函數的三個極點和一個零點。

當K增大時，有兩條根軌跡分支從實軸上分離出來。這意味著，當K大于某個值后，閉環特征方程將有兩個復根。如果想確定與特定的復根對應的增益K的取值，可以調用函數rlocfind。注只有在運行了函數rlocus并得到了根軌跡之后，才能調用函數rlocfind。

% K (s+1) % The root locus for 1 + ------------ = 0, where the % s(s+2)(s+3) %% rlocfind function is used to select a point on the locus.%p=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p,q);rlocus(sys);rlocfind(sys)

運行之后，會在根軌跡上產生“+”標記，將標記移動到根軌跡上感興趣的位置，就可以在命令行中顯示所選閉環根的位置坐標以及對應的參數K的取值。

在根軌跡上選中點，可以得到的結果

2. 函數residue求解部分分式展開式

假設通過根軌選擇了K=20.5775，代入到閉環傳遞函數中，可以得到

，閉環傳遞函數有三個極點和兩個零點，分別是（零極點近似相消）

極點

，零點

為了驗證閉環系統的極點s=-0.8989是否為主導極點，需要分析當輸入信號為單位階躍信號時，閉環系統的響應：

，

為了求解時域響應y(t)，利用函數residue來進行部分分式展開式。

% The partial fraction expansion of %% 20.5775(s+1)(s+3) % Y(s) = --------------------------- . % s^2(s+2)(s+3)+20.5775s(s+1) %K=20.5775;num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+K K 0];[r,p,k]=residue(num,den)

分別對應

即得到的部分分式展開式為：

比較所得的，與復根極點對應的留數相比，實數極點對應的留數的幅值要小得多。由此可以知道，極點s=-0.8989并不能對輸出響應y(t)產生主導性的影響。由負極點為

，相應的阻尼比 ，固有頻率為 ，因此系統的調節時間可以近似為 % The step response for %% 20.5775(s^2+4s+3)% T(s) = -------------------------- .% s^3+5s^2+26.5775s+20.5775 %grid onK=20.5775;num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+K K]; sys=tf(num,den);step(sys)

在得到的響應中，右鍵選擇characteristc，可以在圖中顯示相關的參數。

從圖中可以看出調整時間為Ts = 1.6s 。與上述估計的值近似。

由此說明了一個道理：系統的零點會影響瞬態響應。由于零點s=-1和極點s=-0.8989非常的接 近，極點s=-0.8989 對數安泰響應的影響被明顯削弱了，影響瞬態響應的主要因素變成了復極點和零點s = -3 。

3. 根靈敏度與根軌跡

根靈敏度可以近似為

% Root sensitivity to a 5% change in K, where the % characteristic equation is given by % % p(s) = s^3+5s^2+(6+K)s+K = 0%% and the nominal value of K=20.5775.%K=20.5775; den=[1 5 6+K K]; r1=roots(den);dk=1.0289;Km=K+dk; denm=[1 5 6+Km Km]; r2=roots(denm);dr=r1-r2;S=dr/(dk/K)

實例中考慮了K 的相對變化量為 5%，當 K 從20.5775 增加到 21.6064 時，主導復極點s =-2.0505+j4.3228 相應的變化量為

,則可以得到

，如計算結果顯示一致。

總結

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