愚人節(jié)期間，我們哆嗒和往年一樣，發(fā)了一篇愚人節(jié)的整蠱文章《素?cái)?shù)公式發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)學(xué)之謎即將揭開(kāi)》，沒(méi)想到大家和我們一起玩的很嗨，真是一個(gè)歡樂(lè)的愚人節(jié)。

文章中我們寫(xiě)出了下面這樣一個(gè)公式，并說(shuō)它是第n個(gè)素?cái)?shù)p(n)的表達(dá)式：

文章還專門(mén)解釋了方括號(hào)[x]是取整函數(shù)，p!表示階乘，并規(guī)定0! = 1。

歡樂(lè)歸歡樂(lè)，因?yàn)橛奕斯?jié)的關(guān)系很少有人注意到我們貼出的公式本身是不是對(duì)的。

在這里，我們哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)的小編負(fù)責(zé)人的說(shuō)，如果只從等式兩端是否相等的角度來(lái)說(shuō)，這絕對(duì)是如假包換、童叟無(wú)欺、“珍珠”都沒(méi)這么真的素?cái)?shù)公式。整篇文章，也許就這個(gè)公式是靠譜的。

這個(gè)公式其實(shí)寫(xiě)進(jìn)了不少數(shù)學(xué)科普書(shū)，要解釋它也很容易。

說(shuō)來(lái)奇怪，按照一般人的標(biāo)準(zhǔn)課程，我們大多數(shù)人對(duì)數(shù)學(xué)中數(shù)論知識(shí)的學(xué)習(xí)都集中在小學(xué)。到了初中、高中除了一些競(jìng)賽需求，幾乎不怎么學(xué)習(xí)數(shù)論了。到了大學(xué)，也只有部分專業(yè)的同學(xué)才學(xué)習(xí)初等數(shù)論。

初等數(shù)論中，有很多有趣的知識(shí)，和數(shù)數(shù)差不多，也就是我們解釋這個(gè)公式的重點(diǎn)。

公式有兩個(gè)“連加號(hào)”Σ，也就是我們要解釋的重點(diǎn)。

數(shù)素?cái)?shù)的π(x)函數(shù)

給定一個(gè)整數(shù)x，我們把不超過(guò)x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)表示為π(x)這個(gè)函數(shù)。比如不超過(guò)6的素?cái)?shù)有2、3、5三個(gè)，那么π(6) = 3 。 不超過(guò)11的素?cái)?shù)有2、3、5、7、11這5個(gè)素?cái)?shù)，于是π(11) = 5。

這樣，很容易看出，如果是第n個(gè)素?cái)?shù)p(n)，π(p(n)) = n, 而且x < p(n) 時(shí)候π(x) < n(即π(x) ≤ n-1), x ≥ p(n)的時(shí)候π(x) ≥ n 。

這個(gè)時(shí)候π(x) 還只是數(shù)數(shù)游戲的，我們需要表示成一種只有加減乘除的東西。

利用威爾遜定理把π(x)函數(shù)表示出來(lái)

學(xué)過(guò)初等數(shù)論的同學(xué)們都知道一個(gè)叫做威爾遜定理的命題：

p是素?cái)?shù)或1，當(dāng)且僅當(dāng) (p-1)!+1是p的倍數(shù)。不止如此，當(dāng)p是大于4合數(shù)的時(shí)候(p-1)!還是p的倍數(shù)。

有了這個(gè)，我們可以分析分母了那個(gè)連加號(hào)了。

我們先看分母上連加號(hào)的內(nèi)部：

這里，k=1的時(shí)候，上面的式子值是1。

根據(jù)威爾遜定理，當(dāng)k是合數(shù)的時(shí)候，[(k-1)!/k]是整數(shù)，所以方括號(hào)可以去掉。上面式子的值其實(shí)是[1/k]。對(duì)于正整數(shù)，值是0。

當(dāng)k是素?cái)?shù)的時(shí)候，(k-1)!/k = ((k-1)!+1)/k - 1/k，所以對(duì)右邊的方括號(hào)做一些簡(jiǎn)單變換，可以得到整個(gè)式子是值是1。

所以當(dāng)連加號(hào)的k從1跑遍j的時(shí)候，實(shí)際上是一堆1和一堆0的加總。k是素?cái)?shù)或1的時(shí)候是1，合數(shù)的時(shí)候是0。這些1加起來(lái)正好是不超過(guò)j的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)加上1，即1+π(j) 。

伯特蘭-切比雪夫定理、π(x)和素?cái)?shù)公式

我們已經(jīng)把開(kāi)頭的式子改寫(xiě)了成下面的樣子了：

看看連加號(hào)內(nèi)部根號(hào)下的部分，

這是一個(gè)關(guān)于j的遞減的式子，關(guān)鍵點(diǎn)在j = p(n) 這一處。當(dāng)j ≥ p(n)的時(shí)候π(j) ≥ n，分子小于了分母，取整后就是零了。

相反，當(dāng)j < p(n) 的時(shí)候π(j) < n就是說(shuō)π(j) ≤ n-1，這樣分母不會(huì)比n大，取整后是一個(gè)不小于1但不超過(guò)n的整數(shù)。

好了，我們都知道n的開(kāi)n次根號(hào)是不小于1且嚴(yán)格小于2的。利用這個(gè)我們能得到下面的結(jié)論：

當(dāng)j < p(n)的時(shí)候整個(gè)連加號(hào)內(nèi)部的式子(下圖式子)的值都是1，j ≥ p(n)的時(shí)候都是0。

所以當(dāng)連加號(hào)的j從1開(kāi)始一直的時(shí)候，實(shí)際上是連續(xù)的幾個(gè)1相加，然后到p(n)開(kāi)始都是0相加。正好跑了p(n) - 1個(gè)1。

至于為什么跑到的終點(diǎn)是2的n次方，這是因?yàn)?/p>

伯特蘭-切比雪夫定理：對(duì)所有正整數(shù)n，n和2n之間必有素?cái)?shù)。

利用這個(gè)定理，你能歸納出，第n個(gè)素?cái)?shù)p(n)不會(huì)超過(guò)2的n次方。

于是素?cái)?shù)公式出爐。

愚人節(jié)的文章還給出另外一個(gè)公式，其實(shí)是換湯不換藥啦。

一點(diǎn)心得

好了，對(duì)于這個(gè)公式你們想說(shuō)什么呢？復(fù)雜度太高？因?yàn)樗锩嬗须A乘！矯揉造作？這個(gè)和一個(gè)一個(gè)數(shù)有什么區(qū)別？

理由也許都對(duì)！這些理由或許就是即便看上去把素?cái)?shù)寫(xiě)成了一個(gè)“簡(jiǎn)單公式”，也對(duì)和素?cái)?shù)有關(guān)問(wèn)題的解決沒(méi)有任何幫助的原因。

但它的確是一個(gè)正確的公式，也許可以看成“正確的廢話”素?cái)?shù)公式版吧。

不過(guò)，讀者中有第一次見(jiàn)這個(gè)公式的小伙伴，是不是也感到一些有趣呢——你們可以拿去繼續(xù)騙人吶！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的java中开根号是什么函数_这真的是素数的公式！但没有什么卵用！的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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