匈牙利算法是由匈牙利數(shù)學家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性證明的思想，它是部圖匹配最常見的算法，該算法的核心就是尋找增廣路徑，它是一種用增廣路徑求二分圖最大匹配的算法。(來自百度百科)

淺顯的講，就是尋找二部圖的最大匹配，先寫出幾個概念；

二部圖：二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。 設G=(V,E)是一個無向圖，如果頂點V可分割為兩個互不相交的子集(A,B)，并且圖中的每條邊(i，j)所關聯(lián)的兩個頂點i和j分別屬于這兩個不同的頂點集(i in A,j in B)，則稱圖G為一個二分圖。(來自百度百科)

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當子圖中沒有任何一個同時連接Xi和Yj的同一頂點的時候我們稱為二部圖的一個匹配，記為集合M

什么是最大匹配呢 如下圖

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當匹配集合中的邊數(shù)達到最大的時候，這就是一個最大匹配，如上圖；

再提出幾個個概念

未覆蓋點：就是在集合M中沒有邊連接到的點稱為未覆蓋點。

完美匹配：當M是二部圖的最大匹配且沒有未覆蓋點的時候，則這個集合M就是二部圖的完美匹配。上圖中的匹配就是完美匹配，在符合最大匹配的同時，M集合中的邊覆蓋了二部圖的所有點。

最后一個最關鍵的概念：增廣路徑 ；

匈牙利算法的核心就是不停的尋找增廣路徑來擴充匹配集合M，什么是增廣路經(jīng)呢？(來自百度百科)

1－P的路徑長度必定為奇數(shù)。

2－起點在左，終點在右。

3－路徑中的點左右交替出現(xiàn)。

4－只有起點和終點是未覆蓋點，其他點都配對。

5 -對增廣路徑編號，所有奇數(shù)的邊都不在M中，偶數(shù)邊在M中。

6 -對增廣路徑取反得到的匹配比原來匹配多一個。

我們給出實例來理解。

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我們尋找如上圖的最大匹配;首先M集合為空(即沒有邊在里面)，然后開始從X1尋找增廣路，遵循2的原則我們只能在Yi中找，找到Y1，(X1，Y1 )這條路徑，滿足1-5的條件,取反，將(X1，Y1 )這條路徑加入到M中。

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接著，我們找到X2點，遵循原則，找到Y1，Y1不是未覆蓋點，這個時候我們有兩種選擇，一個是深度搜索，一個是廣度搜索，我們采用深度優(yōu)先，雖然Y1不是未覆蓋點，(X2,Y1)不是增廣路，但是Y1連著X1，X1又和Y3相連，我們考慮( X2,Y1,X1,Y3 )這條路徑，奇數(shù)？左右交替？起終點未覆蓋？奇路徑不屬于M偶路徑屬于？滿足所有增廣路條件，所以這是一條增廣路徑，然后取反，得到如下圖。

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現(xiàn)在M集合中的路徑有兩條了，由于我們找到了增廣路徑，使得M中的邊數(shù)量增加。所以增廣路徑是匈牙利算法的核心，每找到一條增廣路徑，意味這M集合中邊的數(shù)量就會增加1，當找不到增廣路徑的時候，這個時候M中邊的數(shù)量就是我們二部圖的最大匹配數(shù)量。我們是怎樣找到這條路徑的呢，從X2開始尋找，我們先找到Y1，Y1不是未覆蓋點，我們考慮Y1的原有匹配點X1，從X1開始尋找增廣路，找到了Y3，當X1有增廣路的時候，那么加上(X1,Y1)(X2,Y1)這兩條路經(jīng)，依然滿足增廣路條件。所以基于我們上面的理解可以給出尋找增廣路的偽代碼

while(找到Xi的關聯(lián)頂點Yj){

if(頂點Yj不在增廣路徑上){

將Yj加入增廣路

if(Yj是未覆蓋點或者Yj的原匹配點Xk能找到增廣路徑){ //擴充集合M

將Yj的匹配點改為Xi;

返回true

}

}

返回false

}

從X2開始尋找是基于深度優(yōu)先的，如果是基于廣度優(yōu)先呢？那么X2就會找到Y2。

給出C語言代碼

typedef struct tagMaxMatch{

int edge[COUNT][COUNT];

bool on_path[COUNT];

int path[COUNT];

int max_match;

}GRAPH_MATCH;

void outputRes(int *path){

for (int i = 0 ; i

printf("%d****%d\n",i,*(path+i)); //Yj在前 Xi在后

}

}

void clearOnPathSign(GRAPH_MATCH *match){

for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {

match->on_path[j] = false;

}

}

//dfs算法

bool FindAugPath(GRAPH_MATCH *match , int xi){

for (int yj = 0 ; yj < COUNT; yj++) {

if ( match->edge[xi][yj] == 1 && !match->on_path[yj]) { //如果yi和xi相連且yi沒有在已經(jīng)存在的增廣路經(jīng)上

match->on_path[yj] = true;

if (match->path[yj] == -1 || FindAugPath(match,match->path[yj])) { // 如果是yi是一個未覆蓋點或者和yi相連的xk點能找到增廣路經(jīng)，

match->path[yj] = xi; //yj點加入路徑;

return true;

}

}

}

return false;

}

void Hungary_match(GRAPH_MATCH *match){

for (int xi = 0; xi

FindAugPath(match, xi);

clearOnPathSign(match);

}

outputRes(match->path);

}

int main() {

GRAPH_MATCH *graph = (GRAPH_MATCH *)malloc(sizeof(GRAPH_MATCH));

for (int i = 0 ; i < COUNT ; i++) {

for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {

graph->edge[i][j] = 0;

}

}

graph->edge[0][1] = 1;

graph->edge[0][0] = 1;

graph->edge[1][1] = 1;

graph->edge[1][2] = 1;

graph->edge[2][1] = 1;

graph->edge[2][0] = 1;

graph->edge[3][2] = 1;

for (int j = 0 ; j < COUNT ; j++) {

graph->path[j] = -1;

graph->on_path[j] = false;

}

Hungary_match(graph);

}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的匈牙利算法c语言代码,漫谈匈牙利算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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