LIS定義

LIS（Longest Increasing Subsequence）最長上升子序列?
一個數的序列bi，當b1 < b2 < … < bS的時候，我們稱這個序列是上升的。

對于給定的一個序列(a1, a2, …, aN)，我們可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，

這里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。?
比如，對于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。

這些子序列中最長的長度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).?
你的任務，就是對于給定的序列，求出最長上升子序列的長度。

兩種做法

O(N^2)做法：dp動態規劃

狀態設計：dp[i]代表以a[i]結尾的LIS的長度?
狀態轉移：dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1) (0<=j< i, a[j]< a[i])?
邊界處理：dp[i]=1 (0<=j< n)?
時間復雜度：O(N^2)?
舉例： 對于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，dp的變化過程如下

dp[i]初始值j=0j=1j=2j=3j=4j=5

dp[0]	1	?	?	?	?	?	?
dp[1]	1	2	?	?	?	?	?
dp[2]	1	2	2	?	?	?	?
dp[3]	1	2	2	3	?	?	?
dp[4]	1	2	3	3	4	?	?
dp[5]	1	2	2	3	3	3	?
dp[6]	1	2	3	3	4	4	4

求完dp數組后，取其中的最大值就是LIS的長度。【注意答案不是dp[n-1]，這個樣例只是巧合】

#include<stdio.h> #include<iostream> #include<string.h> #include<queue> #include<cstdio> #include<string> #include<math.h> #include<algorithm> #include<map> #include<set> #include<stack> #define mod 998244353 #define INF 0x3f3f3f3f #define eps 1e-6 using namespace std; typedef long long ll; using namespace std; const int MAXX=10000+5;int a[MAXX],dp[MAXX]; // a數組為數據，dp[i]表示以a[i]結尾的最長遞增子序列長度 int n; int LIS(){int ans=1;for(int i=1; i<=n; i++)//枚舉子序列的終點{dp[i]=1;// 初始化為1，長度最短為自身for(int j=1; j<i; j++)//從頭向終點檢查每一個元素{if(a[i]>a[j]){dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1); // 狀態轉移}}ans=max(ans,dp[i]); // 比較每一個dp[i],最大值為答案}return ans; } int main() {while(cin>>n){for(int i=1; i<=n; i++){cin>>a[i];}int ans=LIS();cout<<ans<<endl;}return 0; }

O(NlogN)做法：貪心+二分

a[i]表示第i個數據。?
dp[i]表示表示長度為i+1的LIS結尾元素的最小值。?
利用貪心的思想，對于一個上升子序列，顯然當前最后一個元素越小，越有利于添加新的元素，這樣LIS長度自然更長。?
因此，我們只需要維護dp數組，其表示的就是長度為i+1的LIS結尾元素的最小值，保證每一位都是最小值，

這樣子dp數組的長度就是LIS的長度。

dp數組具體維護過程同樣舉例講解更為清晰。?
同樣對于序列 a(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，dp的變化過程如下：

• dp[0] = a[0] = 1，長度為1的LIS結尾元素的最小值自然沒得挑，就是第一個數。 （dp = {1}）
• 對于a[1]=7，a[1]>dp[0]，因此直接添加到dp尾，dp[1]=a[1]。（dp = {1, 7}）
• 對于a[2]=3，dp[0]< a[2]< dp[1]，因此a[2]替換dp[1]，令dp[1]=a[2]，因為長度為2的LIS，結尾元素自然是3好過于7，因為越小這樣有利于后續添加新元素。 （dp = {1, 3}）
• 對于a[3]=5，a[3]>dp[1]，因此直接添加到dp尾，dp[2]=a[3]。 （dp = {1, 3, 5}）
• 對于a[4]=9，a[4]>dp[2]，因此同樣直接添加到dp尾，dp[3]=a[9]。 （dp = {1, 3, 5, 9}）
• 對于a[5]=4，dp[1]< a[5]< dp[2]，因此a[5]替換值為5的dp[2]，因此長度為3的LIS，結尾元素為4會比5好，越小越好嘛。（dp = {1, 3, 4, 9}）
• 對于a[6]=8，dp[2]< a[6]< dp[3]，同理a[6]替換值為9的dp[3]，道理你懂。 （dp = {1, 3, 5, 8}）

這樣子dp數組就維護完畢，所求LIS長度就是dp數組長度4。?
通過上述求解，可以發現dp數組是單調遞增的，因此對于每一個a[i]，先判斷是否可以直接插入到dp數組尾部，

即比較其與dp數組的最大值即最后一位；如果不可以，則找出dp中第一個大于等于a[i]的位置，用a[i]替換之。?
這個過程可以利用二分查找，因此查找時間復雜度為O(logN)，所以總的時間復雜度為O(N*logN)

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXX=100000+5; const int INF=INT_MAX;int a[MAXX],dp[MAXX]; // a數組為數據，dp[i]表示長度為i+1的LIS結尾元素的最小值int main() {int n;while(cin>>n){for(int i=0; i<n; i++){cin>>a[i];dp[i]=INF; // 初始化為無限大}int pos=0; // 記錄dp當前最后一位的下標dp[0]=a[0]; // dp[0]值顯然為a[0]for(int i=1; i<n; i++){if(a[i]>dp[pos]) // 若a[i]大于dp數組最大值，則直接添加dp[++pos] = a[i];else // 否則找到dp中第一個大于等于a[i]的位置，用a[i]替換之。dp[lower_bound(dp,dp+pos+1,a[i])-dp]=a[i]; // 二分查找}cout<<pos+1<<endl;}return 0; }

最長上升子序列

，即整個序列嚴格遞增

最長不下降子序列，也叫最長非遞減子序列

HDU5532

把每個數字減去對應位置的編號，然后求最長非遞減子序列長度即可

#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include<iostream> using namespace std; #define INF 0x3f3f3f3f typedef long long LL; int n; const int maxn=1e5+10; int a[maxn],dp[maxn]; int LIS(){int pos=0;dp[0]=a[0];for(int i=1;i<n;i++){if(a[i]>=dp[pos])//改變1：將大于該為大于等于dp[++pos]=a[i];else//改變2：查詢dp數組中第一個大于a[i]的位置，用a[i]代替dp[upper_bound(dp,dp+pos+1,a[i])-dp]=a[i];}return pos+1; } int main(){int T;scanf("%d",&T);int ca=1;while(T--){scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);a[i]-=i;dp[i]=INF;}int len=LIS();printf("Case #%d:\n",ca++);printf("%d\n",n-len);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的最长上升子序列（LIS）算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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