石子合并問題

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石子合并問題是最經典的DP問題。首先它有如下3種題型：

(1)有N堆石子，現要將石子有序的合并成一堆，規定如下：每次只能移動任意的2堆石子合并，合并花費為新合成的一堆石子的數量。求將這N堆石子合并成

分析：當然這種情況是最簡單的情況，合并的是任意兩堆，直接貪心即可，每次選擇最小的兩堆合并。本問題實際上就是哈夫曼的變形。

(2)有N堆石子，現要將石子有序的合并成一堆，規定如下：每次只能移動相鄰的2堆石子合并，合并花費為新合成的一堆石子的數量。求將這N堆石子合并成一堆的總花費最小（或最大）。

(3)問題(2)的是在石子排列是直線情況下的解法，如果把石子改為環形排列，又怎么做呢？

（一）任意合并

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題目

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(1)有N堆石子，現要將石子有序的合并成一堆，規定如下：每次只能移動任意的2堆石子合并，合并花費為新合成的一堆石子的數量。求將這N堆石子合并成

分析

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當然這種情況是最簡單的情況，合并的是任意兩堆，直接貪心即可，每次選擇最小的兩堆合并。本問題實際上就是哈夫曼的變形。

代碼

STL堆算法

#include<iostream> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std; int main() {int t;cin>>t;while(t--){int n;cin>>n;vector<int> v;while(n--){int x;cin>>x;v.push_back(x);}long long sum=0;make_heap(v.begin(),v.end(),greater<int>());while(v.size()>1){int min1=v.front();pop_heap(v.begin(),v.end(),greater<int>());v.pop_back();int min2=v.front();pop_heap(v.begin(),v.end(),greater<int>());v.pop_back();//cout<<min1<<" "<<min2<<endl;sum+=(min1+min2);v.push_back(min1+min2);push_heap(v.begin(),v.end(),greater<int>());}cout<<sum<<endl;}return 0; }

STL優先隊列?

#include<iostream> #include<queue> //#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAX=1e4+5; int n; int main() {ios::sync_with_stdio(false);int t;cin>>t;while(t--){int n,x;cin>>n;priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;for(int i=0;i<n;i++){cin>>x;q.push(x);}long long sum=0;while(q.size()>1){int min1=q.top();q.pop();int min2=q.top();q.pop();sum+=(min1+min2);q.push(min1+min2);}cout<<sum<<endl;} return 0;}

（二）相鄰合并

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題目

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有N堆石子，現要將石子有序的合并成一堆，規定如下：

1.每次只能移動相鄰的2堆石子合并?
2.合并花費為新合成的一堆石子的數量。

求將這N堆石子合并成一堆的總花費最小（或最大）。

分析

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我們熟悉矩陣連乘，知道矩陣連乘也是每次合并相鄰的兩個矩陣，那么石子合并可以用矩陣連乘的方式來解決。

設dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最優值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的總數量。那么就有狀態轉移公式：?

代碼

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define inf 0x3f3f3f3f //#define inf 1<<20 const int maxn=210; int n,a[maxn]; int dp[maxn][maxn];//dp[i][j]表示從第i堆到第j堆合并的代價 int sum[maxn][maxn];//表示石頭的數量 int main() {ios::sync_with_stdio(0);while(cin>>n){for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];memset(sum,0,sizeof(sum));//fill(dp[0],dp[0]+n*n,inf);//錯誤 fill(dp[0],dp[0]+maxn*maxn,inf);//fill填充量必須是常數 for(int i=1;i<=n;i++)sum[i][i]=a[i],dp[i][i]=0;for(int len=1;len<n;len++){//區間長度 for(int i=1;i<=n&&i+len<=n;i++){//區間起點 int j=i+len;//區間終點for(int k=i;k<=j;k++)//用k來表示分割區間 {sum[i][j]=sum[i][k]+sum[k+1][j];dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]);} }}cout<<dp[1][n]<<endl;}return 0; }

（三）環形合并

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題目

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在一個圓形操場的四周擺放著n堆石子(n<= 100)，現要將石子有次序地合并成一堆。規定每次只能選取相鄰的兩堆合并成新的一堆,并將新的一堆的石子數,記為該次合并的得分。

編一程序，讀入石子堆數n及每堆的石子數(<=20)。選擇一種合并石子的方案,使得做n－1次合并,得分的總和最小；

比如有4堆石子：4 4 5 9 則最佳合并方案如下：

4 4 5 9 score: 0 8 5 9 score: 8 13 9 score: 8 + 13 = 21 22 score: 8 + 13 + 22 = 43

• 1
• 2
• 3
• 4

輸入：

可能有多組測試數據。 當輸入n=0時結束! 第一行為石子堆數n(1<=n<=100)；第二行為n堆的石子每堆的石子數,每兩個數之間用一個空格分隔。

輸出：

合并的最小得分，每個結果一行。

輸入樣例：

4 4 4 5 9?
6 3 4 6 5 4 2?
0

輸出樣例：

43?
61

分析

假設石頭為a1,a2,a3.....an,首尾相連之后就是 a1,a2,a3.....an,a1,a2,a3....an;序列長度變為原來的2倍

?
?
?

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=450;//區間長度為2*n int dp[maxn][maxn]; int sum[maxn];//前綴和數組 int a[maxn];//每堆石子的個數 int main() {int n,x;sum[0]=0;while(scanf("%d",&n)!=EOF){memset(dp,0,sizeof(dp));memset(sum,0,sizeof(sum));for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);sum[i]=sum[i-1]+a[i];//預處理dp[i][i]=0;}int in=1;//首尾相連之后for(int i=n+1;i<=2*n;i++)sum[i]+=(sum[i-1]+a[in++]);for(int len=2;len<=n;len++)//枚舉區間長度{for(int i=1;i<=2*n;i++)//枚舉區間起點{int j=i+len-1;//區間終點if(j>n*2) break;//越界結束for(int k=i;k<j;k++)//枚舉分割點，構造狀態轉移方程{dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+(sum[j]-sum[i-1]));}}}int MAX=-1;for(int i=1;i<=n;i++)//枚舉環狀序列的起點，長度為nMAX=max(dp[i][i+n-1],MAX);//求最大值printf("%d\n",MAX);}return 0; }

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的石子合并问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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