Easy Multiplication

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題目描述

乘法就是加法的連續運算，同一個數若干次連加，其運算結果稱為積

給出兩個n位10進制整數x和y，你需要計算x*y。?

輸入

第一行一個正整數n（n<=200000)。 第二行描述一個位數為n的正整數x。 第三行描述一個位數為n的正整數y。?

輸出

輸出一行，即x*y的結果。?

樣例輸入

5 12345 78945

樣例輸出

974576025

分析：

首先ｎ的范圍是２＊１０＾５，ｌｏｎｇ　ｌｏｎｇ　ｉｎｔ是沒有辦法計算的，考慮大數乘法

FFT模板題，直接進行高精度乘法是O(n＾2)的，于是我們采用FFT來O(nlogn)實現：?

1.我們把乘數的每一位看作多項式的系數，得到多項式A(x)（因為高精度乘法的本質就是多項式乘法）

2.首先求出，其中k∈[0,n?1]，是n次單位復根。?
由于n次單位復根的一些奇妙性質：?

相消引理?

折半引理?

我們可以采用分治O(nlogn)的時間求出這nn項的值，但是遞歸實現常數較大，我們采用蝴蝶算法來迭代實現。?

如圖，把原來順次排列的數列變成葉子中的順序就可以迭代了~?
（葉子中的順序就是原序列的二進制逆序）

#include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <cstring> #include <complex> #define pi acos(-1) #define N 200005 using namespace std; complex<double> a[N],b[N],p[N]; int n,c[N]; char s[N]; void FFT(complex<double> x[],int n,int p) { //把原來依次排列的數變成葉子中的順序for (int i=0,t=0;i<n;i++){if (i>t) swap(x[i],x[t]);for (int j=n>>1;(t^=j)<j;j>>=1);}for (int m=2;m<=n;m<<=1) //枚舉每一層{complex<double> wn(cos(p*2*pi/m),sin(p*2*pi/m));for (int i=0;i<n;i+=m){complex<double> w(1,0),u;int k=m>>1;for (int j=0;j<k;j++,w*=wn){//蝴蝶操作u=x[i+j+k]*w;x[i+j+k]=x[i+j]-u;x[i+j]=x[i+j]+u;}}} } int main() {scanf("%d",&n);scanf("%s",s);for (int i=0;i<n;i++)a[i]=s[n-i-1]-'0';scanf("%s",s);for (int i=0;i<n;i++)b[i]=s[n-i-1]-'0';//把長度變為2的冪次，方便FFT中的迭代for (int j=n,i=1;(i>>2)<j;i<<=1)n=i;FFT(a,n,1),FFT(b,n,1);for (int i=0;i<n;i++)p[i]=a[i]*b[i];//插值FFT(p,n,-1);for (int i=0;i<n;i++)c[i]=p[i].real()/n+0.1;int len=0;//進位for (int i=0;i<n;i++)if (c[i])len=i,c[i+1]+=c[i]/10,c[i]%=10;for (int i=len;i>=0;i--)printf("%d",c[i]);printf("\n");return 0; }

暴力算法

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int ans[200000*2+20]; char f[200000],g[200000]; int main() {int n;while(~scanf("%d",&n)){fill(ans,ans+n*2+2,0);fill(f,f+(n+2),NULL);fill(g,g+(n+2),NULL);scanf("%s",f);scanf("%s",g);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){ans[i+j-1]+=(f[n-i]-'0')*(g[n-j]-'0');//printf("%d ",ans[i+j-2]);}} // for(int i=1;i<=n*2;i++) // printf("%d ",ans[i]);for(int i=1;i<=n*2+2;i++){int a;a=ans[i];ans[i]=a%10;ans[i+1]+=a/10;} // for(int i=1;i<=n*2;i++) // printf("%d\n",ans[i]);int s=n*2+2;while(s--){if(ans[s-1]!=0){while(s--&&s>0)printf("%d",ans[s]);printf("\n");break;}} }return 0; }

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與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Easy Multiplication　快速傅里叶变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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