KM算法的正確性基于以下定理：

若由二分圖中所有滿足A[i]+B[i]=w[i][j]的邊C（i，j）構(gòu)成的子圖（即相等子圖）有完備匹配，那么這個完備匹配就是二分圖的最大權(quán)匹配

基本概念

1.完備匹配

設(shè)G=<V1,V2,E>為二分圖，|V1|<=|V2|,M為G中的一個最大匹配，且|M|=V1,則稱M為V1到V2的完備匹配。

通俗的理解，就是把V1中所有的點都匹配完

?2.可行頂標(biāo)

對于左邊的點設(shè)為LX[maxn]數(shù)組，右邊的點設(shè)為LY[maxn]數(shù)組，w[i][j]表示 v[i] 到 v[j] 的權(quán)值

3.相等子圖

相等子圖為完備匹配中所有的匹配，即全部V1中的點和與V1中的點匹配的V2中的點，但是邊只包含 LX[i]+LY[j]=W[i][j]的邊

4.最優(yōu)完備匹配

最優(yōu)完備匹配就是在完備匹配的條件下求解權(quán)值最大或者最小，若由二分圖中所有滿足A[i]+B[i]=W[i][j]的邊C（i，j）構(gòu)成的相等子圖有完備匹配，那么這個完備匹配就是二分圖的最大權(quán)匹配

因為對于二分圖的任意一個匹配，如果它包含相等子圖，那么它的邊權(quán)和等于所有頂點的頂標(biāo)和；如果它有邊不包含于相等子圖，那么它的邊權(quán)和小于所有頂點的頂標(biāo)和，所以相等子圖的完備匹配，一定是二分圖的最大權(quán)匹配。

5.交錯樹

對V1中的一個頂點進行匹配的時候，所標(biāo)記過的V1，V2中的點以及連線，形成一個樹狀的圖

KM算法原理

1.基本原理

該算法是通過給每個頂點一個標(biāo)號(叫做頂標(biāo)）來把求最大權(quán)匹配的問題轉(zhuǎn)化為求完備匹配的問題。
設(shè)頂點V1的頂標(biāo)lx[i]，V2頂點的頂標(biāo)為LY[j],頂點V1的i與V2的j之間的邊權(quán)為V(i,j)。在算法執(zhí)行的過程中，對于任一條邊C(i,j)，LX[i]+LY[i]>=V[i,j]始終成立

2.基本流程

（1）初始化時為了使 LX[i] + LY[j] >= V [i,j]恒成立，將V1的點的標(biāo)號記為與其相連的最大邊權(quán)值，V2的點標(biāo)號記為0
（2）用匈牙利算法在相等子圖尋找完備匹配
（3）若未找到完備匹配，則修改可行頂標(biāo)的值，擴充相等子圖
（4）重復(fù)（2）（3）直到找到相等子圖的完備匹配為止

3.這里值得注意的是找完備匹配不難理解，主要是進行可行頂標(biāo)的修改擴充相等子圖

引用：

樸素的實現(xiàn)方法：時間復(fù)雜度為O(n4)——需要找O(n)次增廣路， 每次增廣最多需要修改O(n)次頂 標(biāo)，每次修改頂標(biāo)時由于要枚舉邊來求d值，復(fù)雜度為O(n2)。

實際上KM算法的復(fù)雜度是可以做到O(n3)的。我們給每個Y頂點一個“松弛量”函數(shù) slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[j]變成原值與A [i]+B[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標(biāo)時，取所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點：修改 頂標(biāo)后，要把所有的slack值都減去d。

引用：

如果當(dāng)前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標(biāo)以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。

我們求當(dāng)前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對于某個V1頂點，我們找不到一條從它出發(fā)的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結(jié)點全部是V1頂點。現(xiàn)在我們把交錯樹中V1頂點的頂標(biāo)全都減小某個值d，V2頂點的頂標(biāo)全都增加同一個值d，那么我們會發(fā)現(xiàn)：

1）兩端都在交錯樹中的邊(i,j)，lx[ i ]+ly[j]的值沒有變化。也就是說，它原來屬于相等子圖，現(xiàn)在仍屬于相等子圖。

2）兩端都不在交錯樹中的邊(i,j)，lx[ i ]和ly[j]都沒有變化。也就是說，它原來屬于（或不屬于）相等子圖，現(xiàn)在仍屬于（或不屬于）相等子圖。

3）V1端不在交錯樹中，V2端在交錯樹中的邊(i,j)，它的lx[ i ]+ly[j]的值有所增大。它原來不屬于相等子圖，現(xiàn)在仍不屬于相等子圖。

4）V1端在交錯樹中，V2端不在交錯樹中的邊(i,j)，它的lx[ i ]+ly[j]的值有所減小。也就說，它原來不屬于相等子圖，現(xiàn)在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。

//HDU2255 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define maxn 310 #define INF 0x3f3f3f3f #define clr(x) memset(x,0,sizeof(x)) int w[maxn][maxn];//w[i][j]表示i到j(luò)的權(quán)值 int lx[maxn],ly[maxn];//同時調(diào)節(jié)兩個數(shù)組，使得權(quán)值和最大 int n; //n1,n2為二分圖的頂點集，其中x屬于n1,y屬于n2 //link記錄n2中的點y在n1中所匹配的x點的編號 int link[maxn]; int slack[maxn];//松弛操作 int visx[maxn],visy[maxn]; bool dfs(int x) {visx[x]=1;//得到發(fā)生矛盾的居民集合//對于這個居民，每個房子都試一下，找到就退出for(int y=1;y<=n;y++){if(visy[y]) continue;//不需要重復(fù)訪問int t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];//這個條件下使用匈牙利算法if(t==0)//標(biāo)志這個房子可以給這個居民{visy[y]=1; //這個房子沒人住或者可以讓住著個房子的人去找另外的房子住if(link[y]==0||dfs(link[y])){link[y]=x;return 1;//可以讓這位居民住進來}}else if(slack[y]>t)//否則這個房子不能給這位居民slack[y]=t;}return 0; } int KM() {clr(lx);clr(ly);clr(link);//首先把每個居民出的錢最多的那個房子給他for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(lx[i]<w[i][j])lx[i]=w[i][j];//在滿足上述條件之后，給第i位居民分配房子for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)slack[j]=INF;//松弛量while(1)//直到給這個居民找到房子為止{clr(visx);clr(visy);if(dfs(i)) break;//找到房子，就跳出循環(huán)int d=INF;for(int k=1;k<=n;k++)if(!visy[k]&&d>slack[k])d=slack[k];//找到最小松弛量for(int k=1;k<=n;k++)//松弛操作，使發(fā)生矛盾的居民有更多選擇{if(visx[k]) lx[k]-=d;//將矛盾居民的要求降低，使發(fā)生矛盾的居民有更多if(visy[k]) ly[k]+=d;//使發(fā)生矛盾的房子在下一個子圖，保持矛盾}}}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)ans+=w[link[i]][i];return ans; } int main() {while(~scanf("%d",&n)){clr(w);//每個案例都重置為0for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&w[i][j]);//輸入每條邊的權(quán)值printf("%d\n",KM());}return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二分图最大权匹配 KM算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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