1.點積：

向量點積的定義：（x1,y1)*(x2,y2)=x1*x2+y1*y2；滿足交換律

向量點積的代數意義：向量V1的模 * 向量V2的模 * cos<V1,V2>

向量點積的幾何意義：α在β的投影α’與β的長度乘積

2.叉積

向量叉積定義：（x1,y1) x (x2,y2) =x1*y2 - x2*y1;滿足反交換律；

向量叉積幾何意義：有向面積

叉積大小為兩向量圍成的平行四邊形的有向面積

結論：flag=a x b

flag>0，a在b的順時針方向（180度范圍內）

flag<0，a在b的逆時針方向（180度范圍內）

flag=0，a與b同向或反向

3.兩線段判交

在平面上兩直線，有平行、重合、相交三種關系

若兩條線段所在的直線平行，則兩條線段平行

兩條線段p1p2和Q1Q2相交的必要條件：(P2-P1) x (Q1-P1) * (P2-P1) x (Q2-P1) <= 0

還有這兩種情況：

在左圖中只滿足了一個“跨立”條件，即Q1和Q2在直線P1P2的兩側，于是我們應該做兩次跨立實驗才能保證它們是相交的；

而右圖則是邊界條件的特殊情況，不方便用跨立實驗來判斷；

不過通過觀察兩張圖后，我們發現：當兩線段不相交時，以這兩條線段為對角線的格點矩形沒有交集！

于是我們可以借助這一點來增加判交條件以保證算法的正確性，我們稱之為快速排斥實驗，如下圖：

線段的規范相交和非規范相交

#include <stdio.h> #include <math.h> #include <algorithm> #include <string.h> #include <math.h> using namespace std;const double eps = 1e-8; //三態函數：減少浮點數誤差 int sgn(double x) {if(fabs(x) < eps)return 0;if(x < 0)return -1;else return 1; } struct Point {double x,y;Point(){}Point(double _x,double _y){x = _x;y = _y;}Point operator -(const Point &b)const{return Point(x - b.x,y - b.y);}//叉積double operator ^(const Point &b)const{return x*b.y - y*b.x;}//點積double operator *(const Point &b)const{return x*b.x + y*b.y;} }; struct Line {Point s,e;Line(){}Line(Point _s,Point _e){s = _s;e = _e;}//兩直線相交求交點//第一個值為0表示直線重合，為1表示平行，為0表示相交,為2是相交//只有第一個值為2時，交點才有意義pair<int,Point> operator &(const Line &b)const{Point res = s;if(sgn((s-e)^(b.s-b.e)) == 0){if(sgn((s-b.e)^(b.s-b.e)) == 0)return make_pair(0,res);//重合else return make_pair(1,res);//平行}double t = ((s-b.s)^(b.s-b.e))/((s-e)^(b.s-b.e));res.x += (e.x-s.x)*t;res.y += (e.y-s.y)*t;return make_pair(2,res);} };//判斷線段相交 bool inter(Line l1,Line l2) {return//快速排斥實驗max(l1.s.x,l1.e.x) >= min(l2.s.x,l2.e.x) &&max(l2.s.x,l2.e.x) >= min(l1.s.x,l1.e.x) &&max(l1.s.y,l1.e.y) >= min(l2.s.y,l2.e.y) &&max(l2.s.y,l2.e.y) >= min(l1.s.y,l1.e.y) &&//跨立實驗sgn((l2.s-l1.e)^(l1.s-l1.e))*sgn((l2.e-l1.e)^(l1.s-l1.e)) <= 0 &&sgn((l1.s-l2.e)^(l2.s-l2.e))*sgn((l1.e-l2.e)^(l2.s-l2.e)) <= 0; }//向量的模 typedef Point Vector; double Length(Vector A){return sqrt(A*A); }//求向量A和向量B的夾角,弧度制 double Angle(Vector A,Vector B) {return acos((A*B)/Length(A)/Length(B)); }

4.判斷直線和線段相交

//判斷直線L1和線段L2相交 bool seg_inter_line(Line L1,Line L2) {return sgn((L2.s-L1.e)^(L1.s-L1.e))*sgn((L2.e-L1.e)^(L1.s-L1.e))<=0; }

利用叉積計算點到直線距離

//利用叉積計算：點到直線距離 double DisLine(Line l,Point p) {Vector v1=p-l.s,v2=l.s-l.e;return fabs(v1*v2)/Length(v2);//平行四邊形的面積除以底邊即平行四邊形的高 }

?點到線段的距離

點到線段距離的計算根據點與直線的位置分為兩大類 （第二類分為兩小類）

1，如左圖所示，如果點與線段的垂直線與線段所在直線 的交點在線段上，所求的距離就是點到線段的距離

2，如右圖所示，如果是在射線上，就是點到射線一端的 距離，圖中點到線段的距離就是P到A的距離

dsy的模板?

double DisSegment(Point P,Point A,Point B) {if(sgn(A.x-B.x)==0&&sgn(A.y-B.y)==0)//兩點重合return Length(A-P);//兩點之間的距離Vector v1=B-A,v2=P-A,v3=P-B;//p點投影到射線if(sgn(v1*v2)<0) return Length(v2);if(sgn(v1*v3)>0) return Length(v3);//p點投影到線段return fabs(v1*v2)/Length(v2);//點到直線距離 }

kuangbin的模板?

//兩點距離 double dist(Point a,Point b) {return sqrt((a-b)*(a-b)); }//點到線段的距離，返回點到線段最近的點 Point NearestPointToLineSeg(Point p,Line L) {Point result;double t=((p-L.s)*(L.e-L.s))/((L.e-L.s)*(L.e-L.s));if(t>=0&&t<=1){result.x=L.s.x+(L.e.x-L.s.x)*t;result.y=L.s.y+(L.e.y-L.s.y)*t;}else{if(dist(p,L.s)<dist(p,L.e))result=L.s;elseresult=L.e;}return result; }

判斷凸多邊形

//判斷凸多邊形，允許共線邊 //點的編號0~n-1，可以是順時針和逆時針 bool isConvex(Point poly[],int n){bool s[3];memset(s,false,sizeof s);for(int i=0;i<n;i++){s[sgn( (poly[(i+1)%n]-poly[i])^(poly[(i+2)%n]-poly[i]) )+1]=true;if(s[0]&&s[2]) return false;}return true; }

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二维计算几何基础知识的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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