算法合集之《分治算法在樹的路徑問題中的應用》
論文下載地址
樹被定義為沒有圈的連通圖，有幾個性質

在樹中去掉一條邊后，得到的圖是不連通的

在樹中添加一條邊后，一定存在一條邊

樹的每一對頂點U和V之間有且只有一條路徑

分治

分而治之，將一個問題分割成一些規模較小的相互獨立的子問題 ,通常在一個線性結構上分治，分至算法在樹結構上的應用稱為樹分治算法

• 基于點的分治
  首先，選取一個點將無根樹轉化為有根樹，再遞歸處理以根節點的兒子為根的子樹
  我們選取一個點，要求將其刪除后，節點最多的樹的節點個數最小，這個點被稱為 樹的重心 .
  可以用樹上的動態規劃解決，時間復雜度為O(n),n為樹的節點總數

• 基于邊的分治
  在樹中選取一條邊，將原樹分為兩棵不相交的樹，遞歸處理
  選取的邊要滿足所分離出來的兩棵子樹的節點個數盡量平均，這條邊稱為 中心邊。
  可以用樹上的動態規劃解決，時間復雜度為O(n),n為樹的節點總數
  

定理1
存在一個點使得分出的子樹的節點個數均不大于 N/2

定理2
如果一棵樹中，每個點的度均不大于D，那么存在一條邊使得分出兩棵子樹的節點個數在 [N/(D+1),N*(D+1)],(N>=2)

POJ1741

題意
給定一個N個節點的帶權樹，定義dist(u,v)為u，v兩點之間的最短路徑長度，路徑長度定義為路徑上所有邊的權和。對于兩個不同的點a，b，如果滿足dist(a,b)<=k,稱為合法點對，求合法點對的個數

#include<iostream> #include<map> #include<string> #include<cstring> #include<vector> #include<algorithm> #include<set> #include<sstream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<climits> using namespace std; const int maxn=1e4+7; const int inf=0x3f3f3f3f; typedef long long ll; const int mod=1e9+7; int n,k,allnode; int head[maxn*2]; int num; int dp[maxn]; int size[maxn]; int Focus,M; ll dist[maxn]; int deep[maxn]; bool vis[maxn]; ll ans; struct Edge {int u,v,w,next; }edge[maxn<<2]; void addEdge(int u,int v,int w) {edge[num].u=u;edge[num].v=v;edge[num].w=w;edge[num].next=head[u];head[u]=num++; } void init() {memset(head,-1,sizeof(head));memset(dist,0,sizeof(dist));memset(vis,0,sizeof(vis));num=0; } void getFocus(int u,int pre) {size[u]=1;dp[u]=0;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(v==pre||vis[v]) continue;getFocus(v,u);size[u]+=size[v];dp[u]=max(dp[u],size[v]);}dp[u]=max(dp[u],allnode-size[u]);if(M>dp[u]){M=dp[u];Focus=u;} } void dfs(int u,int pre) {deep[++deep[0]]=dist[u];for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v,w=edge[i].w;if(v==pre||vis[v]) continue;dist[v]=dist[u]+w;dfs(v,u);} } int cal(int x,int now) {dist[x]=now,deep[0]=0;dfs(x,0);sort(deep+1,deep+deep[0]+1);int ans=0;for(int l=1,r=deep[0];l<r;){if(deep[l]+deep[r]<=k){ans+=r-l;l++;}else r--;}return ans; } void solve(int x) {vis[x]=1;ans+=cal(x,0);for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(vis[v]) continue;ans-=cal(v,edge[i].w);allnode=size[v];Focus=0,M=1e9;getFocus(v,x);solve(Focus);} } int main() {#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);#endifwhile(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF&&(n+k)){init();for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);addEdge(u,v,w);addEdge(v,u,w);}Focus=ans=0;allnode=n,M=1e9;getFocus(1,0);solve(Focus);printf("%lld\n",ans);}return 0; }

聰聰可可 HYSBZ - 2152

鏈接

題意

這道題和POJ1741非常類似，這里只不過多了一步轉化，要處理3的倍數，在建圖和統計的時候都進行模3操作，這樣最后兩個點之間的距離只可能是0，1，2，然后就可以用他們組合為3的倍數，首先0和0組合，1和2組合，2和1組合【題中（1，2）和（2，1）不同】 分子可以由樹分治求出來，分母必然是N*N

#include<iostream> #include<map> #include<string> #include<cstring> #include<vector> #include<algorithm> #include<set> #include<sstream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<climits> using namespace std; const int maxn=2e4+7; const int inf=0x3f3f3f3f; typedef long long ll; const int mod=1e9+7; int n,k,allnode; int head[maxn*2]; int num; int dp[maxn]; int size[maxn]; int Focus,M; ll dist[maxn]; int deep[maxn]; bool vis[maxn]; int ans; int cnt[4]; struct Edge {int u,v,w,next; }edge[maxn<<2]; void addEdge(int u,int v,int w) {edge[num].u=u;edge[num].v=v;edge[num].w=w;edge[num].next=head[u];head[u]=num++; } void init() {memset(head,-1,sizeof(head));memset(dist,0,sizeof(dist));memset(vis,0,sizeof(vis));num=0; } void getFocus(int u,int pre) {size[u]=1;dp[u]=0;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(v==pre||vis[v]) continue;getFocus(v,u);size[u]+=size[v];dp[u]=max(dp[u],size[v]);}dp[u]=max(dp[u],allnode-size[u]);if(M>dp[u]){M=dp[u];Focus=u;} } void dfs(int u,int pre) {cnt[deep[u]]++;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(v==pre||vis[v]) continue;deep[v]=(deep[u]+edge[i].w)%3;dfs(v,u);} } int cal(int x,int now) {deep[x]=now;cnt[0]=cnt[1]=cnt[2]=0;dfs(x,0);return cnt[1]*cnt[2]*2+cnt[0]*cnt[0]; } void solve(int x) {ans+=cal(x,0);vis[x]=1;for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;if(vis[v]) continue;ans-=cal(v,edge[i].w);allnode=size[v],M=1e9,Focus=0;getFocus(v,x);solve(Focus);} } int main() {#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);#endifscanf("%d",&n);init();for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);addEdge(u,v,w%3);addEdge(v,u,w%3);}allnode=n,Focus=0,M=1e9;getFocus(1,0);solve(Focus);int t=__gcd(ans,n*n);printf("%d/%d\n",ans/t,n*n/t);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的POJ1741 Tree 树中点对统计【树分治入门】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。