作者丨蘇劍林

單位丨廣州火焰信息科技有限公司

研究方向丨NLP，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

個人主頁丨kexue.fm

不知道從什么時候開始，我發(fā)現(xiàn)我也掉到了 GAN 的大坑里邊了，唉，爭取早日能跳出來。

本文介紹的是我最近提交到 arXiv 的一個關(guān)于 GAN 的新框架，里邊主要介紹了一種對概率散度的新理解，并且基于這種理解推導(dǎo)出了一個新的 GAN。整篇文章比較偏理論，對這個 GAN 的相關(guān)性質(zhì)都做了完整的論證，自認為是一個理論完備的結(jié)果。

先擺結(jié)論：

1. 論文提供了一種分析和構(gòu)造概率散度的直接思路，從而簡化了構(gòu)建新 GAN 框架的過程；

2. 推導(dǎo)出了一個稱為 GAN-QP 的 GAN 框架，這個 GAN 不需要像 WGAN 那樣的 L 約束，又不會有 SGAN 的梯度消失問題，實驗表明它至少有不遜色于、甚至優(yōu)于 WGAN 的表現(xiàn)。

▲?GAN-QP效果圖

論文的實驗最大做到了 512 x 512 的人臉生成（CelebA HQ），充分表明了模型的有效性（效果不算完美，但是模型特別簡單）。有興趣的朋友，歡迎繼續(xù)閱讀下去。

直面對偶空間

我們現(xiàn)在要構(gòu)建一個 GAN 框架，一般包含三個步驟：

• 尋求一種良好的概率散度；

• 找出它的對偶形式；?

• 轉(zhuǎn)化為極小-極大游戲（min-max game）。

問題是：真正對訓(xùn)練過程有用的是第二、第三步，第一步并不是那么必要。

事實上，從原空間要定義一個新的散度很難，定義了之后也不一定容易轉(zhuǎn)化為對偶形式。然而，我們可以直接在對偶空間分析，由此可以發(fā)現(xiàn)一批新的、形態(tài)良好的散度。換言之，我們其實可以直接在對偶空間中論述一個式子是否滿足散度的定義，從而直接給出可優(yōu)化的目標，而不需要關(guān)心它具體是 JS 散度還是 W 距離了。

下面我們來舉例說明這個思路。

散度

首先我們來給出散度的定義：

如果 D[p,q] 是關(guān)于 p,q 的標量函數(shù)，并且滿足：

• D[p,q]≥0 恒成立；

• D[p,q]=0?p=q。

那么稱 D[p,q] 為 p,q 的一個散度，散度與“距離”的主要差別是散度不用滿足三角不等式，也不用滿足對稱性。但是散度已經(jīng)保留了度量差距的最基本的性質(zhì)，所以我們可以用它來度量 p,q 之間的差異程度。

SGAN

基本定義

我們先來看 SGAN 中的判別器 loss，定義：

這其實就是 JS 散度的對偶形式。但是我們可以直接基于這個定義來證明它是一個散度，然后討論這個散度本身的性質(zhì)，而根本不需要知道它是 JS 散度。

怎么證明？只需要證明這個結(jié)果滿足剛才說的散度的兩點要求。注意，按照我們的邏輯，我們不知道它是 JS 散度，但我們可以從數(shù)學(xué)角度證明它是一個散度。

其實如果讀者真的明白了式 (1) 的含義，證明就不困難了。式 (1) 先定義了一個期望的式子，然后對 T 取最大（用更準確的說法是求“上確界”），取最大的結(jié)果才是散度。再強調(diào)一遍，“取最大之后的結(jié)果才是散度”，這個式子并不是散度。

具體的證明過程略微冗長，就不完整擺出來了，請讀者自行去看原文的附錄?；蛘呖聪旅娴?WGAN 的部分，因為 WGAN 的部分相對簡單。

對抗網(wǎng)絡(luò)

假如有了散度之后，我們就可以通過縮小兩個概率分布的散度，來訓(xùn)練生成模型了。也就是說接下來要做的事情應(yīng)該是：

注意 D[p(x),q(x)] 是通過 maxT 操作實現(xiàn)的，所以組合起來就是一個 min-max 的過程，比如前面的例子，等價地就是：

這就是 SGAN。

所以我們發(fā)現(xiàn)，GAN 的過程其實就兩步：1）通過 max 定義一個散度；2）通過 min 縮小兩個分布的散度。這里的新觀點，就是將 max 直接作為散度的定義的一部分。

性能分析

我們知道 SGAN 可能有梯度消失的風(fēng)險，這是為什么呢？我們考察一個極端情形：

其中 α≠β。這樣一來，兩個分布分別只是單點分布，完全沒有交集。這種情況下代入 (1)，結(jié)果就是：

注意我們對 T 沒有任何約束，所以為了取最大，我們可以讓 T(α)→+∞,T(β)→?∞，從而得到上確界是一個常數(shù) log2。即這種情況下 D[p(x),q(x)]=log2。

這就是說，對于兩個幾乎沒有交集的分布，式 (1) 定義的散度給出的度量結(jié)果是常數(shù) log2，常數(shù)就意味著梯度是 0，無法優(yōu)化。而 WGAN 的那兩篇文章則表明，“沒有交集”理論上在 GAN 中是很常見的，所以這是 SGAN 的固有毛病。

一般的f散度

上面的幾個小節(jié)已經(jīng)完整了呈現(xiàn)了這種理解的流程：

1. 我們通過 max 定義一個數(shù)學(xué)式子，然后可以從數(shù)學(xué)角度直接證明這是一個散度，而不用關(guān)心它叫什么名字；

2. 通過 min 最小化這個散度，組合起來就是一個 min-max 的過程，就得到了一種 GAN；

3. 為了檢查這種散度在極端情況下的表現(xiàn)，我們可以用 p(x)=δ(x?α),q(x)=δ(x?β) 去測試它。

上述關(guān)于 SGAN 的論述過程，可以平行地推廣到所有的 f-GAN 中（參考《f-GAN簡介：GAN模型的生產(chǎn)車間》[1]），各種 f 散度其實沒有本質(zhì)上的差異，它們有同樣的固有毛病（要不就梯度消失，要不就梯度爆炸）。

WGAN

基本定義?

現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向一類新的散度：Wasserstein 距離。注意 Wasserstein 距離是一個嚴格的、滿足公理化定義的距離，不過我們這里只關(guān)心它的散度性質(zhì)。定義：

這里：

而 d(x,y) 是任意一種現(xiàn)成的距離。

可以直接證明它是一個散度。這個證明還算經(jīng)典，所以將它寫在這里：

1. 不管是什么 p(x),q(x)，只要讓 T(x)≡0，我們就得到，因為散度的定義是要遍歷所有的 T 取最大的，所以它至少不會小于 0，這就證明了第一點非負性；

2. 證明 p(x)=q(x) 時，W[p(x),q(x)]=0，也就是 W[p(x),p(x)]=0，這幾乎是顯然成立的了；

3. 證明 p(x)≠q(x) 時（嚴格來講是它們不等的測度大于 0），W[p(x),q(x)]>0。這個相對難一點，但其實也很簡單，只需要令 T0(x)=sign(p(x)?q(x))，那么顯然有：

這樣我們就直接地證明了 W[p(x),q(x)] 是滿足散度的定義的。

對抗網(wǎng)絡(luò)

同樣地，有了新散度，就可以定義新 GAN 了：

這就是 WGAN，相應(yīng)的參考資料有互懟的藝術(shù)：從零直達WGAN-GP、WGAN-div：一個默默無聞的WGAN填坑者。

性能分析

同樣地，用 p(x)=δ(x?α),q(x)=δ(x?β) 去測試 W[p(x),q(x)] 散度的性能，我們得到：

注意我們有 L 約束 ‖T‖L≤1，這意味著 |T(α)?T(β)|≤d(α,β)，等號可以取到，所以：

結(jié)果不是常數(shù)，所以即使在這種極端情況下我們可以也拉近兩個分布的距離。所以從這一點看，WGAN 要比 SGAN 要好。

L約束

WGAN 的遺留問題就是如何往判別器加入 L 約束，目前有三種方案：參數(shù)裁剪、梯度懲罰、譜歸一化，請參考深度學(xué)習(xí)中的Lipschitz約束：泛化與生成模型和WGAN-div：一個默默無聞的WGAN填坑者。

參數(shù)裁剪基本已經(jīng)被棄用了。梯度懲罰原則上只是一個經(jīng)驗方法，有它的不合理之處，而且要算梯度通常很慢。譜歸一化看起來最優(yōu)雅，目前效果也挺好，不過也有限制的太死的可能性。進一步討論請看WGAN-div：一個默默無聞的WGAN填坑者。

新散度，新GAN

現(xiàn)在的結(jié)論是：SGAN 可能有梯度消失的風(fēng)險，WGAN 雖然很好，但需要額外的 L 約束。那么很自然就會問：有沒有不需要 L 約束，又不會梯度消失的 GAN？魚與熊掌能否兼得？

還真的可以，下面帶你找一個。不對，其實不止一個，帶你找一批都行。

平方勢散度

基本定義

下面要給出的散度，形式是這樣的：

其中 λ>0 是一個超參數(shù)，d 可以是任意距離。?

這個形式好像就在 WGAN 的基礎(chǔ)上加了一個平方形式的勢能，所以稱為平方勢散度（QP-div，quadratic potential divergence）。?

論文的附錄已經(jīng)證明了式 (12) 確實是一個散度。

性能分析

用 p(x)=δ(x?α),q(x)=δ(x?β) 去測試這個散度，結(jié)果是：

設(shè) z=T(α,β)?T(β,α) 就得到，很熟悉有沒有？這只是個二次函數(shù)的最大值問題呀，最大值是呀，所以我們就有：

這不就跟 WGAN 差不多了嘛，哪怕對于極端分布，也不會有梯度消失的風(fēng)險。魚與熊掌真的可以兼得。

GAN-QP

對抗網(wǎng)絡(luò)

有了散度就可以構(gòu)建對抗網(wǎng)絡(luò)，我們最終給出的形式為：

我在論文中稱之為 GAN-QP。

注意不要把二次項這一項加入到生成器的 loss 中（理論上不成問題，但是用梯度下降優(yōu)化時會有問題。），因為這一項的分母是 d(xr,xf)，一旦最小化二次項，等價于最小化 d(xr,xf)，也就是用 d(xr,xf) 來度量圖片的差距，這是不科學(xué)的。

解的分析

通過變分法可以證明（還是在附錄），判別器的最優(yōu)解是：

由這個最優(yōu)解，我們可以得到兩點結(jié)論。首先，不難證明最優(yōu)解滿足：

也就是說最優(yōu)解自動滿足 L 約束。所以我們可以認為 GAN-QP 是一種自適應(yīng) L 約束的方案。

其次，將最優(yōu)解代入生成器的 loss，那么得到判別器的目標是：

這也是一個概率散度，并且我們也從理論上證明了它不會梯度消失/爆炸（跟柯西不等式有關(guān)）。此外，還可以看到 λ 只是一個縮放因子，事實上并不重要，從而這個 GAN-QP 對 λ 是魯棒的，λ 不會明顯影響模型的效果。

實驗結(jié)果

論文在 CelebA HQ 數(shù)據(jù)集上，比較了多種 GAN 與 GAN-QP 的效果，表明 GAN-QP 能媲美甚至超越當前最優(yōu)的模型。?

注意，模型 (15) 中，T 是 (xr,xf) 的二元函數(shù)，但實驗表明，取最簡單的一元特例 T(xr,xf)≡T(xr) 即可，即 T(xr,xf)?T(xf,xr) 用 T(xr)?T(xf) 就夠了，改成二元函數(shù)并沒有明顯提升（但也可能是我沒調(diào)好）。這樣的話，形式上就跟 WGAN-GP 非常相似了，但理論更完備。?

代碼開源：

https://github.com/bojone/gan-qp

128 x 128

在 128 x 128 分辨率上，我們進行了較為全面的比較，定量指標是 FID。結(jié)果如下圖：

▲?不同GAN的FID定量曲線

以及下表：

256 與 512

在 128 分辨率上，最好的表現(xiàn)是 GAN-QP 和 SGAN-SN，不過在 256 x 256 分辨率上，它們的表現(xiàn)就拉開了差距：

我最大把 GAN-QP 的實驗做到了 512 x 512 的人臉生成，效果還是不錯的，最終的 FID 是 26.44：

▲?512 x 512人臉效果圖

論文綜述

這篇文章源于我對概率散度的思考，企圖得到一種更直接的理解概率散度的方案，其中還受啟發(fā)于 WGAN-div。

幸好，最后把這條路走通了，還得到了一些新結(jié)果，遂提交到 Github 中，供各位參考，希望得到各位前輩高手的指點。事實上，基于類似的思路，我們可以構(gòu)造很多類似的散度，比如將平方換成 4 次、6 次方等，只不過理論分析起來就會困難一些了。

限于算力，加之我不是專門研究 GAN 的，所以實驗方面可能做得不夠完善，基本能論證結(jié)論即可，請大家體諒，當然也歡迎各位的指導(dǎo)。

相關(guān)鏈接

[1]. https://kexue.fm/archives/6016

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總結(jié)

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