ICLR 2020：从去噪自编码器到生成模型
作者丨蘇劍林
單位丨追一科技
研究方向丨NLP，神經網絡
個人主頁丨kexue.fm
在我看來，幾大頂會之中，ICLR 的論文通常是最有意思的，因為它們的選題和風格基本上都比較輕松活潑、天馬行空，讓人有腦洞大開之感。所以，ICLR 2020 的投稿論文列表出來之后，我也抽時間粗略過了一下這些論文，確實發現了不少有意思的工作。?
其中，我發現了兩篇利用去噪自編碼器的思想做生成模型的論文，分別是 Learning Generative Models using Denoising Density Estimators?[1] 和 Annealed Denoising Score Matching: Learning Energy-Based Models in High-Dimensional Spaces?[2]。由于常規做生成模型的思路我基本都有所了解，所以這種“別具一格”的思路就引起了我的興趣。細讀之下，發現兩者的出發點是一致的，但是具體做法又有所不同，最終的落腳點又是一樣的，頗有“一題多解”的美妙，遂將這兩篇論文放在一起，對比分析一翻。
去噪自編碼
兩篇論文的根本出發點都是去噪自編碼器，更準確地說，它利用了去噪自編碼器的最優解。
基本結果：若，并且 x ～ p(x) , ε ～ u(ε)，這里，那么：
其中=[p?u](x)=∫p(x?ε)u(ε)dε=∫p(ε)u(x?ε)dε 指的是分布 p(x) 和 u(ε) 的卷積運算，具體含義是 x+ε 的概率密度，換言之，如果 p(x) 代表真實圖片的分布，那么如果我們能實現從中采樣，那么得到的是一批帶有高斯噪聲的真實圖片。
結果 (1) 也就是說加性高斯噪聲的最優去噪自編碼器是能顯式地計算出來，并且結果跟分布的梯度有關。這個結果非常有意思，也非常深刻，值得我們多加回味。比如，式 (1) 告訴我們 r(x)?x 實際上就是對（帶噪聲的）真實分布梯度的估計，而有了真實分布的梯度，其實可以做很多事情，尤其是生成模型相關的事情。
證明：其實 (1) 的證明并不困難，變分目標得到：
所以 ∫p(x)u(y?x)(r(y)?x)dx=0，即：
代入表達式：
即得：
曲徑通幽處
我們首先來介紹一下 Learning Generative Models using Denoising Density Estimators?[1] 的思路。按照 GAN 和 VAE 的通常習慣，我們是希望訓練一個映射 x=G(z)，使得從先驗分布 q(z) 中采樣出來的 z 都能被映射為一個真實樣本，用概率的話說，那就是希望拉近 p(x) 和下述的 q(x) 的距離：
為此，GAN 常用的優化目標是最小化 KL(q(x)∥p(x))，這個觀點可以參考《用變分推斷統一理解生成模型和能量視角下的GAN模型（二）：GAN＝“分析”＋“采樣”。但是，由于前面估計的是的梯度，我們可以換個目標：最小化。
為了，我們可以進行演算：
這個目標需要我們能得到和的估計。我們可以用神經網絡構建兩個的模型和，然后分別去最小化：
也就是用和作為去噪自編碼器，根據結果 (1)，我們就有：
也就是說在相差一個常數的情況下，正比于，也正比于，而常數不影響優化，所以我們可以將和替換到 (6) 里邊去，得到：
這就得到了一個生成模型的流程：
選定先驗分布 q(z)，初始化，事先求好。循環執行下面的 3 步直到收斂：
1. 選一批z～q(z)，選一批噪聲，合成一批帶噪聲的假樣本；
2. 利用這批帶噪聲的假樣本訓練；
3. 固定 Ep, Eq，用梯度下降根據 (9) 更新若干步。
這篇論文的實驗比較簡單，只做了 mnist 和 fashion mnist 的實驗，證明了它的可行性：
▲?fashion mnist的生成效果
峰回路轉間
另外一篇論文 Annealed Denoising Score Matching: Learning Energy-Based Models in High-Dimensional Spaces [2] 就更粗暴直接了，它相當于去噪自編碼器跟能量視角下的 GAN 模型（三）：生成模型=能量模型 [3] 的結合。
因為 (1) 已經幫我們得到了了，也就是（當然這篇論文的實際做法也不是直接用神經網絡擬合 r(x)，而是像 (7) 一樣用神經網絡擬合一個標量函數的，但這不影響思想），那么我們只需要實現從采樣就完成任務了。當然采樣出來的圖片是有噪聲的，我們還需要它采樣出來的結果傳入 r(x) 去噪一下，即：
問題是怎么從采樣呢？Langevin 方程！設，那么下述 Langevin 方程：
當 ε→0 且 t→∞ 時，序列所服從的分布就是從，換句話說，是該 Langevin 方程的靜態分布。?
于是，從這個過程，就被 Annealed Denoising Score Matching: Learning Energy-Based Models in High-Dimensional Spaces 用這么一種粗暴直接（但我覺得不優雅）的方法解決了，所以訓練完去噪自編碼后，就自動地得到了一個生成模型了。
總的過程是：
1. 訓練去噪自編碼器 r(x)，得到；
2. 用迭代過程 (10) 采樣，采樣結果是一批帶噪聲的真實樣本；
3. 將第 2 步的采樣結果傳入 r(x) 去噪，得到無噪聲的樣本。
當然，論文還有很多細節，論文的核心技巧是用了退火技巧來穩定訓練過程，提高生成質量，但筆者對這些并不是很感興趣，因為我只是想學習一些新奇的生成模型思想，拓寬視野。不過不得不說，雖然做法有點粗暴，這篇論文的生成效果還是有一定的競爭力的，在 fashion mnist、CelebA、cifar10 都有相當不錯的生成效果：
▲?fashion mnist、CelebA、cifar10上的生成效果
曲終人散時
本文介紹了投稿 ICLR 2020 的兩篇類似的論文，都是利用去噪自編碼器來做生成模型的，因為之前我沒了解過相關思路，所以就饒有興致對比閱讀了一番。?
且不說生成效果如何，我覺得它們都是頗具啟發性的，能引起我的一些思考（不僅是 CV，還包括 NLP 方面的）。比如 Bert 的 MLM 預訓練方式本質上也是一個去噪自編碼器，那有沒有類似 (1) 的結果？或者反過來，類似 (1) 的結果能不能啟發我們構造一些新的預訓練任務，又或者能不能借此說清楚 pretrain + finetune 這種流程的本質原理？
相關鏈接
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總結
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