@Author：Runsen

@Date：2020/9/15

動(dòng)態(tài)規(guī)劃需要搞定三個(gè)系列：三個(gè)背包，零錢問題和股票問題。今天就開始干掉三個(gè)背包問題。

三個(gè)背包問題：01背包，多重背包，完全背包。上次搞定了01背包，那么繼續(xù)學(xué)習(xí)完全背包。

我們有$N$種物品，物品$i$的重量為$w[i]$，價(jià)格為$p[i]$。我們假定所有物品的重量和價(jià)格都是非負(fù)的，背包所能承受的最大重量W，每種物品都有無限件可用，則該問題成為完全背包問題 。

題目來源：https://www.acwing.com/problem/content/description/3/

先上代碼，和01背包問題的解法有略微的改動(dòng)，區(qū)別在于遍歷體積$j$時(shí)從逆序改為順序，就只有這一個(gè)不同，在上一篇博客中有關(guān)于01背包問題的理解。

# 代碼基本一樣 n, v = map(int, input().split()) goods = [] for i in range(n):goods.append([int(i) for i in input().split()]) dp = [0 for i in range(v+1)] for i in range(n):for j in range(v+1): # 從前往后if j >= goods[i][0]:dp[j] = max(dp[j], dp[j-goods[i][0]]+goods[i][1]) print(dp[-1])# 測(cè)試代碼 5 10 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 20

下面是有關(guān)完全背包的題目

Leetcode 279. 完全平方數(shù)

給定正整數(shù) n，找到若干個(gè)完全平方數(shù)（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它們的和等于 n。你需要讓組成和的完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)最少。示例 1:輸入: n = 12 輸出: 3 解釋: 12 = 4 + 4 + 4. 示例 2:輸入: n = 13 輸出: 2 解釋: 13 = 4 + 9

首先，明確dp，然后找dp的轉(zhuǎn)移方程。

這里，dp[i]：表示完全平方數(shù)和為i的 最小個(gè)數(shù)。這個(gè)是沒有任何問題的，關(guān)鍵是dp的轉(zhuǎn)移方程。

對(duì)于Runsen這個(gè)菜鳥來說，也很快指的這是轉(zhuǎn)移方程，就是i減去k 加上1。本質(zhì)上就是斐波那契數(shù)列的一個(gè)變形。

$$dp[i]=min(dp(i),dp[i?k]+1)，k指的是平方和的數(shù)$$

問題就轉(zhuǎn)為了求n的最大平方和的序列。

i = 1 nums = [] while i*i <= n:nums.append(i*i)i = i + 1

然后就是完全背包的反例的問題了。那么這個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問題基本解決了。

n = int(input()) i = 1 nums = [] while i*i <= n:nums.append(i*i)i = i + 1 print(nums) # dp = [0] * (n+1) 是求最大值，[float('inf')] * (n+1)求最小值 # 如果寫成 dp = [0] * (n+1) ，那么永遠(yuǎn)0最小 dp = [float('inf')] * (n+1) dp[0] = 0 for i in range(1,n+1):# j 是平方數(shù)for j in nums:if i<j:breakdp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + 1) print(dp[-1])

下面代碼來源官方的動(dòng)態(tài)規(guī)劃，和Runsen的基本一樣。

import math def numSquares(n):""":type n: int:rtype: int"""square_nums = [i ** 2 for i in range(0, int(math.sqrt(n)) + 1)]dp = [float('inf')] * (n + 1)# bottom casedp[0] = 0for i in range(1, n + 1):for square in square_nums:if i < square:breakdp[i] = min(dp[i], dp[i - square] + 1)return dp[-1]

順便補(bǔ)充一下：四平方定理： 任何一個(gè)正整數(shù)都可以表示成不超過四個(gè)整數(shù)的平方之和。 推論：滿足四數(shù)平方和定理的數(shù)n（四個(gè)整數(shù)的情況），必定滿足$n=4^a(8b+7)$

這個(gè)自己是不知道的，大家想深入：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/wan-quan-ping-fang-shu-by-leetcode/

下面是四平方定理的代碼

def numSquares(self, n):""":type n: int:rtype: int"""while n % 4 == 0: n /= 4 if n % 8 == 7: return 4 a = 0 while a**2 <= n: b = int((n - a**2)**0.5) if a**2 + b**2 == n: return (not not a) + (not not b) a += 1 return 3

Leetcode 300 最長(zhǎng)上升子序列

給定一個(gè)無序的整數(shù)數(shù)組，找到其中最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度。

示例:

輸入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
輸出: 4
解釋: 最長(zhǎng)的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的長(zhǎng)度是 4。
說明:

可能會(huì)有多種最長(zhǎng)上升子序列的組合，你只需要輸出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度即可。
你算法的時(shí)間復(fù)雜度應(yīng)該為 O(n2) 。

對(duì)于Runsen這個(gè)菜鳥來說，關(guān)鍵還是怎么找出dp和轉(zhuǎn)移方程，dp[i]是第i個(gè)最長(zhǎng)上升子序列。那么

$$dp[i]=max(dp[i],dp[k]+1)其中0<k<i?1$$

class Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:# 如果定義dp dp[i] 最長(zhǎng)上升子序列 那么 dp[i] = max(dp[i], dp[k] + 1) 0<k<i-1m = len(nums)if m <= 1:return mdp = [ 1 for _ in range(m)]for i in range(1,m):for j in range(i):if nums[i] > nums[j]:dp[i] = max(dp[i], dp[j]+ 1 ) return max(dp)

Leetcode 322 零錢兌換

給定不同面額的硬幣 coins 和一個(gè)總金額 amount。編寫一個(gè)函數(shù)來計(jì)算可以湊成總金額所需的最少的硬幣個(gè)數(shù)。如果沒有任何一種硬幣組合能組成總金額，返回 -1。

示例 1:

輸入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
輸出: 3
解釋: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:

輸入: coins = [2], amount = 3
輸出: -1

零錢兌換實(shí)際上就是完全背包的題目，也可以看作下樓梯的問題的變種

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:# 第一步：定義dp數(shù)組或變量，首先明確題目說每種硬幣的數(shù)量是無限的，但是會(huì)給定一個(gè)固定的 amount 金額，我們需要用最少的硬幣數(shù)湊出這個(gè)金額，如果是01背包問題就是[0]開始；# 因此這個(gè)是一個(gè)完全背包的題目，還是下樓梯的問題的變種。完全背包求最小，那么初始就要時(shí)最大dp = [float('inf')] * (amount + 1)# 計(jì)算的起點(diǎn) 0 塊錢當(dāng)然是 0dp[0] = 0# 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程： f(11) = min(f(10),f(9),f(6)) + 1 for i in range(amount + 1):for j in coins:if i-j >=0 :dp[i] = min(dp[i],dp[i-j] + 1 )if dp[amount] > amount:# 如果dp[amount] 是amount + 1 ，說明了沒有匹配的方式return -1return dp[-1]

至此完全背包就到這里結(jié)束了，完全背包注意dp的定義，求最大還是最小，完全背包的關(guān)鍵詞就次數(shù)是無限的

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的八十九、动态规划系列背包问题之完全背包的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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