@Author：Runsen

曾幾何時，才記得自己還是大一軍訓的菜鳥，帶著 迷茫和憧憬踏入大學，踏入化工學院，卻踏入這個行業，殊不知歲月是最高明的小偷，偷走時間，帶走青春，一點線索也不留。大學的玩命學習，一轉眼，就大四了，一不小心就成了學校最老的學長！

前面已經介紹完了01背包和完全背包，今天介紹最后一種背包問題——多重背包。

題目是這樣的：來源：https://www.acwing.com/problem/content/4/

有 $N$ 種物品和一個容量是$V$ 的背包。

第 $i$ 種物品最多有 $si$件，每件體積是$Vi$，價值是 $wi$。

求解將哪些物品裝入背包，可使物品體積總和不超過背包容量，且價值總和最大。
輸出最大價值。

輸入格式
第一行兩個整數，$N$，$V$，用空格隔開，分別表示物品種數和背包容積。

接下來有 $N$ 行，每行三個整數 $Vi$,$wi$,$si$，用空格隔開，分別表示第 $i$ 種物品的體積、價值和數量。

輸出格式
輸出一個整數，表示最大價值。

輸入樣例 4 5 1 2 3 # 體積、價值和數量 2 4 1 3 4 3 4 5 2 輸出樣例： 10

狀態表示：dp[j]

集合：當前價值j的最大值

屬性：最大值

多重背包問題的思路跟完全背包的思路非常類似，只是取值是有限制的，因為每件物品的數量是有限制的，狀態轉移方程為：dp [j] = max(dp [j], dp [j - k*b] + k*w) 這里的b和w指的是當前遍歷的體積和價值。

這里一維動態規劃和01背包基一樣，就是多了一個k的循環，具體的查看下面代碼。

n, v = map(int, input().split())dp = [0 for _ in range(v+1)]for i in range(n):b, w, s = map(int, input().split())for j in range(v, -1, -1):k = 1while k <= s and j >= k * b:dp [j] = max(dp [j], dp [j - k*b] + k*w)k += 1 print(dp[v])

除了上面的方法，還有用最原始的方法，將多個同一物品轉化成不同物品，再用01背包求解

n,v = map(int, input().split()) goods = [] for i in range(n):goods.append([int(i) for i in input().split()])new_goods = []for i in range(n):for j in range(goods[i][2]):new_goods.append(goods[i][0:2])goods = new_goods n = len(goods)dp = [0 for i in range(v+1)]for i in range(n):# 01背包倒序for j in range(v,-1,-1):if j>= goods[i][0]:dp[j] = max(dp[j], dp[j - goods[i][0]] + goods[i][1]) print(dp[-1])

關于多重背包問題中的二進制解法，Runsen下一篇再寫。如今就是體現自己的實力的時候了。Leetcode刷起來。

Leetcode 面試題 17.16. 按摩師

`一個有名的按摩師會收到源源不斷的預約請求，每個預約都可以選擇接或不接。在每次預約服務之間要有休息時間，因此她不能接受相鄰的預約。給定一個預約請求序列，替按摩師找到最優的預約集合（總預約時間最長），返回總的分鐘數。

注意：本題相對原題稍作改動

示例 1：

輸入： [1,2,3,1]
輸出： 4
解釋： 選擇 1 號預約和 3 號預約，總時長 = 1 + 3 = 4。
示例 2：

輸入： [2,7,9,3,1]
輸出： 12
解釋： 選擇 1 號預約、 3 號預約和 5 號預約，總時長 = 2 + 9 + 1 = 12。

題目，其實就是不連續最大子序列。

每個預約都可以選擇接或不接來做出思考，每次都有兩種選擇，那么就是狀態轉移方程：
$$dp[k]=max(dp[k?1],nums[k]+dp[k?2])$$

class Solution:def massage(self, nums: List[int]) -> int:if len(nums) == 0:return 0# 求最值用0 dp = [0] * (len(nums))dp[0] = nums[0]for k in range(1,len(nums)):dp[k] = max(dp[k - 1], nums[k] + dp[k - 2])return dp[-1]

Leetcode 面試題 08.11. 硬幣

硬幣。給定數量不限的硬幣，幣值為25分、10分、5分和1分，編寫代碼計算n分有幾種表示法。(結果可能會很大，你需要將結果模上1000000007)

示例1:

輸入: n = 5
輸出：2
解釋: 有兩種方式可以湊成總金額:
5=5
5=1+1+1+1+1
示例2:

輸入: n = 10
輸出：4
解釋: 有四種方式可以湊成總金額:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

class Solution:def waysToChange(self, n: int) -> int:# 不就是一個零錢對換問題 的完全背包問題? 這里需要將結果模上 10**9 + 7# 求最大值dp = [0] * (n+1)# f(11) = min(f(10),f(9),f(6)) + 1dp[0] = 1for i in [1,5,25,10]:for j in range(i, n + 1):dp[j] += dp[j - i]return dp[-1] % 1000000007

總結

以上是生活随笔為你收集整理的九十、动态规划系列背包问题之多重背包的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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