研究一個群，自然的想法是先從最簡單的一個元素"a" 開始，與"a" 有關的自然是a和自己以及它的逆的一些運算構成的冪

。a的冪跟單位元的關系得到元素的階的概念，a的冪構成的集合是一個結構清楚的群---循環群。

一、群元素的階

研究一個群，自然的想法是先從最簡單的一個元素"a" 開始",與"a" 有關的自然是下面的元素：

第一個自然的想法是：a的冪和最特殊的元素---單位元e有沒有關系？

定義1（群元素的階） 設a是群G中的一個元素，使得 的最小正整數n稱為a的階，記作|a|. 若這樣的n不存在，則稱a是無限階的,記為|a|=+∞。注： （1）單位元|e|=1； （2） ； （3） .

第2條

很容易驗證，由這一條性質可以得到：有限群中階大于2的元素一定是偶數個；從而偶數階群中一定有2階元素。（思考一下為什么？）

例1：整數加群中0的階為1，1的階為+∞。

例2：4次單位根群 G={1,-1,i,-i}中

觀察

次數與階數的關系。定義2：若群G中每個元素的階都有限，則稱G為周期群；若G中除e外，其余元素的階無限，則稱G為無扭群；既不是周期群也不是無扭群的群稱為混合群。定理1：有限群中每個元素的階都有限 。
證明：處理有限群的方法我們用過很多遍了，就是形式地寫出很多個元素，其中必有相等的元。例如此定理： 中必有相等的，設 ，則 注：無限群中元素的階可能有限也可能無限，甚至可能都有限。

例3 ：設

是全體i 次單位根對普通乘法作成的i次單位根群。令 ，?則U對普通乘法作成一個群，且是一個無限交換群，其中每個元素的階都有限。

接著例2，給了一個元素a的階數之后，我們自然的想知道a的冪次的階和a的階是否有關系。

定理2：設群G中元素a的階是n,則
證明：對m用一下帶余除法:m=nq+r,考慮階數n的最小性即可。定理3：設群G中元素a的階是n,則

證明一個元素x的階數為r，只需證明(1)

并且(2)r是最小的正整數即可。證明r最小的時候，一般的處理方法是設還有s使得 ,則 r 整除 s，從而 (接下來的幾個證明都是如此) 定理3的證明：為了方便書寫，設
(1)
(2) 設還有 ，由定理2， 而 故 ，從而 , 是 的階。推論1：設|a|=st, 則 , 其中s,t 是正整數。推論2：設|a|=n, 則

接下來自然考慮兩個元素乘積的階數，遺憾的是，通常情況下兩個元素a,b的乘積ab的階數與a的階和b的階沒有什么關系，只有附加上乘法交換，并且兩個元素的階互素的時候才有如下結論。

定理4：若群中元素|a|=m,|b|=n, 則當ab=ba,且 (m,n)=1時， |ab|=mn.
定理4的證明：(1)
（2）設還有 (那么為了建立s和m,n的關系，我們給這個式子做m次方，建立s和m,n的橋梁) 故 由 及定理2知, 同理 .故 |ab|=mn.

反例4：在一般線性群中，

的階為2， 的階也為2. |AB|=+∞.定理5: 設G 為交換群，且G中所有元素有最大階m，則G中每個元素的階都是m的因數。
定理5的證明：設G中元素a有最大階m，任取另一個元素b，設其階為n。若 .則必然存在素數p，使得 。
(這是兩個整數，n不整除m的等價條件，也是處理不整除的通常做法，想想為什么？)
由|a|=m,|b|=n,得 因此我們只需要構造一個G中階大于 的元即可，所以令 ,由定理4, 矛盾。

共軛元是非交換代數、非結合代數中非常重要的概念。實際上共軛元的階數相等。證起來很容易。

定理6：元素b與其共軛元 階相同。

關于元素的階數可以做幾個練習：

練習1：證明定理6以及：（1）ab與ba階相同；（2）abc,bca,cab階相同；（3）設a是群G中唯一的一個2階元，證明：對任意G中元素x，均有ax=xa。

練習2：有限群中階大于2的元素一定是偶數個；從而偶數階群中一定有2階元素。

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二、循環群

接下來我們考慮由a的所有冪次構成的集合，根據我們開頭寫的冪的運算規則，很容易驗證這些元素構成一個群。這是一個比較簡單的群，其結構我們已經完全清楚了。

首先，給出生成的概念。假設M是群G里面的一個非空真子集，那么G中包含M的子群總是存在的，因為G本身就是一個包含M的子群。用<M>表示群G中包含M的一切子群的交集，之前的內容已經證明了任意個子群的交還是子群，所以<M>就是G中包含M的一個子群。并且<M>是包含M的最小子群。這和閉包的概念是類似的，一個集合的閉包是包含它的所有閉集的交集，也就是包含它的一個最小的閉集。<M>稱為由群中元素M生成的子群，M叫做生成系。

定義3：若G=<a>,則稱G為由a生成的一個循環群，并稱a為G的一個生成元。

顯然，由冪的運算規則，循環群一定是交換群。

運算用乘法表示時：

運算用加法表示時：

若循環群G=<a>是無限群，那么 互不相同，否則的話，若 ,則 ,從而 ,群G中最多有i-j個互不相同的元素，與G是無限群矛盾。

若循環群G=<a>是n階有限群，則|a|必須是n,從而由 知：. （n階群G是循環群?G 有n階元素。）

例5：整數加群是一個無限循環群，生成元為1或-1.

例6：n次單位根群

是循環群，生成元為本原單位根。并且當(k,n)=1時， 均是本原單位根，也就是生成元。

有了上面兩個例子，我們自然的想，對于下面的有限群，是不是同構的？

， .定理7（循環群的結構定理）設G=<a>。則：（1）若G是無限循環群，則 (2) 若G是n階有限循環群，則 ,(實際上我們更常用： )

所以：無限循環群彼此同構（同構于整數加群）；有限同階的循環群彼此同構（同構于n 次單位根群或模n剩余類群）；不同階的循環群不同構。

定理7的證明：只需構造從群G到我們要證的群，例如整數加群的一個映射。證明這個映射是雙射，并且是群同態，從而是群同構。
（1）令 . 顯然是雙射，且是同態，從而是同構：
（2）令 ，顯然是雙射，且是同態，從而是同構：

由例5和例6，以及上面的循環群的結構定理，馬上可以知道下面的結論：

定理8：（1）無限循環群有兩個生成元; （2）n階循環群有φ(n)個生成元。
證：（1）無限循環群<a>有兩個生成元，即 與 。
（2） 是n階循環群<a>的生成元，當且僅當

注：φ(n)為歐拉函數：在0和n之間，與n互素的整數的個數。歐拉函數在現在的RSA密碼體制中有重要地位。

歐拉函數實際上很容易得到：例如最簡單情況:

,p為素數。那與n互素的元素，實際上就是去掉和它不互素的元素。一共有多少個與它不互素的元素呢？看下圖就知道了。

歐拉函數

歐拉是科學史上最多產的一位杰出的數學家。大家可以搜索一下歐拉輝煌的一生。可參考https://zhuanlan.zhihu.com/p/148603379?zhuanlan.zhihu.com

循環群的結構我們已經清楚了，那下一步自然是要考慮其子結構。

定理9：循環群的子群仍是循環群.
定理9的證明：設H是循環群<a>的子群。若H=｛e｝, 則H顯然是循環群；若 則H中必含有 我們取一個最特殊的元素：取 為H中最小的正整數冪。往證 顯然有
另一方面，對任意的 ,由帶余除法， 得 由m最小知r=0。從而 定理10：無限循環群有無限多個子群; 當< >為ｎ階循環群時，對ｎ的每個正因數ｋ， < >有且只有一個ｋ階子群 .
定理10的證明：（1）無限循環群有 無窮個互不相同的子群（低次冪不能被高次冪生成的子群包含）。（2）若 ,則 ， 是一個k階子群。唯一性顯然，若還有一個k階子群 ,則 ,故 ; ,均有k個元素，所以兩者相等。推論：n階循環群有且僅有T(n)個子群。

練習3：證明：n階有限循環群同構于模n剩余類群：

參考文獻：楊子胥. 近世代數,第3版.高等教育出版社, 2011.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的素数p阶群乘法循环群啥意思_抽象代数2-3 群元素的阶和循环群的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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