周期三角波傅里叶级数例题_如何理解傅里叶级数
我們學(xué)高等數(shù)學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)里面有一個(gè)重要的級(jí)數(shù)叫做傅里葉級(jí)數(shù),這個(gè)級(jí)數(shù)表述起來(lái)非常復(fù)雜,不好理解,很多人也是看到這個(gè)級(jí)數(shù)感覺(jué)摸不著頭腦,被一長(zhǎng)串公式嚇到了,這里將通俗講解傅里葉級(jí)數(shù)。
傅里葉級(jí)數(shù)是周期函數(shù)一個(gè)級(jí)數(shù),對(duì)于一個(gè)滿(mǎn)足一定條件的周期為T(mén)的周期函數(shù)f(t),可以分解為以下形式:
簡(jiǎn)單來(lái)講,傅里葉級(jí)數(shù)就是將一個(gè)周期函數(shù)分解為一系列正余弦函數(shù)的線性組合,看公式還是不好理解,舉個(gè)例子,下圖就是某周期函數(shù)分解出的四個(gè)正弦曲線,最上面那個(gè)頻率最小的波稱(chēng)之為基波,第二條正弦曲線的頻率為基本的兩倍,第三條曲線的頻率是基波的三倍,以此類(lèi)推,周期函數(shù)還可以分解成很多正弦函數(shù),頻率倍數(shù)依次遞增,通過(guò)圖像可以直觀看出每條曲線的振幅和相位。
那么,為什么要干這么麻煩的事呢?數(shù)學(xué)家閑著沒(méi)事搞這些復(fù)雜的東西來(lái)干啥呢?這就要介紹一下分解在我們生活中的應(yīng)用,我們?cè)趯W(xué)高中物理時(shí)要經(jīng)常要將力進(jìn)行分解,這樣做的目的是分析物體在不同方向上的受力特征,并且分析該力會(huì)產(chǎn)生什么效果,同樣,我們的耳朵聽(tīng)到的聲音就是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的信號(hào),這些聲音是由很多聲音疊加而成的,我們的大腦在接收聲音信號(hào)后會(huì)將這個(gè)信號(hào)分解,于是我們就會(huì)識(shí)別聲音中有哪些是人的說(shuō)話聲,哪些是動(dòng)物的叫聲,哪些是汽車(chē)聲音,哪些是噪音,于是我們就能得到對(duì)我們有用的信息,電子設(shè)備同樣可以分解信號(hào)獲得有用的信息,甚至可以過(guò)濾無(wú)用的信息。總之,分解對(duì)于信息的處理是很重要的。
既然分解的應(yīng)用很重要,那么為什么要將周期函數(shù)分解為三角函數(shù)呢?為什么不分解為簡(jiǎn)單的周期函數(shù)呢?比如這樣的鋸齒波:
這里就要討論正余弦函數(shù)的特殊性質(zhì),正余弦函數(shù)的微分和積分運(yùn)算的結(jié)果以及同頻率的正余弦函數(shù)的線性運(yùn)算結(jié)果仍然還是正余弦函數(shù),周期即頻率不變,只有振幅和相位會(huì)發(fā)生變化,這叫做運(yùn)算的形式不變性,而鋸齒波、方波等不具有這樣的性質(zhì),廣義來(lái)講復(fù)指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算具有形式不變性,正余弦函數(shù)是復(fù)指數(shù)函數(shù)中的一類(lèi)。對(duì)于一個(gè)已知結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),如果輸入信號(hào)是正余弦信號(hào),那么輸出信號(hào)也是正余弦信號(hào),并且很容易計(jì)算出來(lái),對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō),如果輸入信號(hào)是周期信號(hào),那么將它分解為正余弦信號(hào),然后分別求解這些分量的輸出信號(hào),最后再線性疊加,就可以得到最終的輸出信號(hào)。比如:
既然理解了傅里葉分解的重要性,那么傅里葉級(jí)數(shù)是如何來(lái)的呢?接下來(lái)講傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程,如果一個(gè)余弦函數(shù)為f(t)=cosω0t,其周期T=2π/ω0,另一個(gè)余弦函數(shù)cos2ω0t,角頻率為2ω0,周期也是T,余弦函數(shù)cosnω0t,角頻率為nω0,周期也是T,正弦函數(shù)也具有相同的性質(zhì)。根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì),周期相同的周期函數(shù)的線性組合也是同周期的函數(shù),比如f(t)=acosω0t+bcos2ω0t是周期為T(mén)=2π/ω0的周期函數(shù),在加上一個(gè)常數(shù)也是如此,即f(t)=acosω0t+bcos2ω0t+c也是周期為T(mén)=2π/ω0的周期函數(shù)。根據(jù)這種思想,我們將所有周期相同但頻率不同的正余弦函數(shù)組合在一起,構(gòu)造成一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù):
這樣的一個(gè)函數(shù)就是周期為T(mén)=2π/ω0的周期函數(shù),其中,C為常數(shù),an和bn為各頻率余弦與正弦的系數(shù),只要改變常數(shù)和各系數(shù)就可以表示不同的周期為T(mén)的函數(shù)。既然三角函數(shù)可以組合為周期函數(shù),那么反過(guò)來(lái),一個(gè)周期已知的周期函數(shù)是否可以這樣分解呢?如果可以分解,那么只要計(jì)算出常數(shù)和各系數(shù)就可以分解出來(lái),那么,計(jì)算常數(shù)和各系數(shù)就是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。
要計(jì)算常數(shù)和各系數(shù),首先要了解一些三角函數(shù)積分特征,如下,其中,n,m為正整數(shù),T=2π/ω0。
將周期函數(shù)f(t)做一個(gè)積分:
于是,我們通過(guò)這樣的一個(gè)積分,把常數(shù)項(xiàng)給算出來(lái)了,接下來(lái)計(jì)算各頻率余弦的系數(shù),構(gòu)造一個(gè)積分:
上式中,如果n=0,那么
接下來(lái)就是計(jì)算各頻率正弦系數(shù),構(gòu)造積分:
通過(guò)這方法,我們就能計(jì)算常數(shù)和所有的系數(shù),這樣一來(lái),傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式就推導(dǎo)出來(lái)了,然而,不是所有的周期函數(shù)都可以這樣分解,必須滿(mǎn)足一定條件:在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積、第一類(lèi)間斷點(diǎn)數(shù)量有限、極值點(diǎn)有限、不存在第二類(lèi)間斷點(diǎn),正切函數(shù)就不滿(mǎn)足這個(gè)條件,所以雖然正切函數(shù)是周期函數(shù),但不能分解為傅里葉級(jí)數(shù)。
也許有些人有疑問(wèn),鋸齒波可以分解為傅里葉級(jí)數(shù),但是鋸齒波存在很多“折點(diǎn)”,函數(shù)圖像中的“折點(diǎn)”是不可導(dǎo)的,而傅里葉級(jí)數(shù)是正余弦函數(shù)構(gòu)成的,我們知道,正余弦函數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)域都是可導(dǎo)的,那么這是否就矛盾呢?其實(shí)要解釋這個(gè)問(wèn)題不難,舉個(gè)例子,有限個(gè)有理數(shù)之和一定是有理數(shù),如果是無(wú)限個(gè)有理數(shù)之和呢?比如:
對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù),同樣可以這樣理解,有限個(gè)正余弦函數(shù)的線性組合,依然是實(shí)數(shù)域可導(dǎo)的,但無(wú)限個(gè)正余弦函數(shù)的線性組合,就可能會(huì)存在不可導(dǎo)點(diǎn),這是無(wú)窮級(jí)數(shù)的一個(gè)特殊性質(zhì)。
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