我們學(xué)高等數(shù)學(xué)無(wú)窮級(jí)數(shù)里面有一個(gè)重要的級(jí)數(shù)叫做傅里葉級(jí)數(shù)，這個(gè)級(jí)數(shù)表述起來(lái)非常復(fù)雜，不好理解，很多人也是看到這個(gè)級(jí)數(shù)感覺(jué)摸不著頭腦，被一長(zhǎng)串公式嚇到了，這里將通俗講解傅里葉級(jí)數(shù)。

傅里葉級(jí)數(shù)是周期函數(shù)一個(gè)級(jí)數(shù)，對(duì)于一個(gè)滿(mǎn)足一定條件的周期為T(mén)的周期函數(shù)f(t)，可以分解為以下形式：

簡(jiǎn)單來(lái)講，傅里葉級(jí)數(shù)就是將一個(gè)周期函數(shù)分解為一系列正余弦函數(shù)的線性組合，看公式還是不好理解，舉個(gè)例子，下圖就是某周期函數(shù)分解出的四個(gè)正弦曲線，最上面那個(gè)頻率最小的波稱(chēng)之為基波，第二條正弦曲線的頻率為基本的兩倍，第三條曲線的頻率是基波的三倍，以此類(lèi)推，周期函數(shù)還可以分解成很多正弦函數(shù)，頻率倍數(shù)依次遞增，通過(guò)圖像可以直觀看出每條曲線的振幅和相位。

那么，為什么要干這么麻煩的事呢？數(shù)學(xué)家閑著沒(méi)事搞這些復(fù)雜的東西來(lái)干啥呢？這就要介紹一下分解在我們生活中的應(yīng)用，我們?cè)趯W(xué)高中物理時(shí)要經(jīng)常要將力進(jìn)行分解，這樣做的目的是分析物體在不同方向上的受力特征，并且分析該力會(huì)產(chǎn)生什么效果，同樣，我們的耳朵聽(tīng)到的聲音就是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的信號(hào)，這些聲音是由很多聲音疊加而成的，我們的大腦在接收聲音信號(hào)后會(huì)將這個(gè)信號(hào)分解，于是我們就會(huì)識(shí)別聲音中有哪些是人的說(shuō)話聲，哪些是動(dòng)物的叫聲，哪些是汽車(chē)聲音，哪些是噪音，于是我們就能得到對(duì)我們有用的信息，電子設(shè)備同樣可以分解信號(hào)獲得有用的信息，甚至可以過(guò)濾無(wú)用的信息。總之，分解對(duì)于信息的處理是很重要的。

既然分解的應(yīng)用很重要，那么為什么要將周期函數(shù)分解為三角函數(shù)呢？為什么不分解為簡(jiǎn)單的周期函數(shù)呢？比如這樣的鋸齒波：

這里就要討論正余弦函數(shù)的特殊性質(zhì)，正余弦函數(shù)的微分和積分運(yùn)算的結(jié)果以及同頻率的正余弦函數(shù)的線性運(yùn)算結(jié)果仍然還是正余弦函數(shù)，周期即頻率不變，只有振幅和相位會(huì)發(fā)生變化，這叫做運(yùn)算的形式不變性，而鋸齒波、方波等不具有這樣的性質(zhì)，廣義來(lái)講復(fù)指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算具有形式不變性，正余弦函數(shù)是復(fù)指數(shù)函數(shù)中的一類(lèi)。對(duì)于一個(gè)已知結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，如果輸入信號(hào)是正余弦信號(hào)，那么輸出信號(hào)也是正余弦信號(hào)，并且很容易計(jì)算出來(lái)，對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，如果輸入信號(hào)是周期信號(hào)，那么將它分解為正余弦信號(hào)，然后分別求解這些分量的輸出信號(hào)，最后再線性疊加，就可以得到最終的輸出信號(hào)。比如：

既然理解了傅里葉分解的重要性，那么傅里葉級(jí)數(shù)是如何來(lái)的呢？接下來(lái)講傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程，如果一個(gè)余弦函數(shù)為f(t)=cosω0t,其周期T=2π/ω0,另一個(gè)余弦函數(shù)cos2ω0t，角頻率為2ω0，周期也是T，余弦函數(shù)cosnω0t，角頻率為nω0，周期也是T，正弦函數(shù)也具有相同的性質(zhì)。根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，周期相同的周期函數(shù)的線性組合也是同周期的函數(shù)，比如f(t)=acosω0t+bcos2ω0t是周期為T(mén)=2π/ω0的周期函數(shù)，在加上一個(gè)常數(shù)也是如此，即f(t)=acosω0t+bcos2ω0t+c也是周期為T(mén)=2π/ω0的周期函數(shù)。根據(jù)這種思想，我們將所有周期相同但頻率不同的正余弦函數(shù)組合在一起，構(gòu)造成一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)：

這樣的一個(gè)函數(shù)就是周期為T(mén)=2π/ω0的周期函數(shù)，其中，C為常數(shù)，an和bn為各頻率余弦與正弦的系數(shù)，只要改變常數(shù)和各系數(shù)就可以表示不同的周期為T(mén)的函數(shù)。既然三角函數(shù)可以組合為周期函數(shù)，那么反過(guò)來(lái)，一個(gè)周期已知的周期函數(shù)是否可以這樣分解呢？如果可以分解，那么只要計(jì)算出常數(shù)和各系數(shù)就可以分解出來(lái)，那么，計(jì)算常數(shù)和各系數(shù)就是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。

要計(jì)算常數(shù)和各系數(shù)，首先要了解一些三角函數(shù)積分特征，如下，其中，n,m為正整數(shù)，T=2π/ω0。

將周期函數(shù)f(t)做一個(gè)積分：

于是，我們通過(guò)這樣的一個(gè)積分，把常數(shù)項(xiàng)給算出來(lái)了，接下來(lái)計(jì)算各頻率余弦的系數(shù)，構(gòu)造一個(gè)積分：

上式中，如果n=0，那么

接下來(lái)就是計(jì)算各頻率正弦系數(shù)，構(gòu)造積分：

通過(guò)這方法，我們就能計(jì)算常數(shù)和所有的系數(shù)，這樣一來(lái)，傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式就推導(dǎo)出來(lái)了，然而，不是所有的周期函數(shù)都可以這樣分解，必須滿(mǎn)足一定條件：在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積、第一類(lèi)間斷點(diǎn)數(shù)量有限、極值點(diǎn)有限、不存在第二類(lèi)間斷點(diǎn)，正切函數(shù)就不滿(mǎn)足這個(gè)條件，所以雖然正切函數(shù)是周期函數(shù)，但不能分解為傅里葉級(jí)數(shù)。

也許有些人有疑問(wèn)，鋸齒波可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)，但是鋸齒波存在很多“折點(diǎn)”，函數(shù)圖像中的“折點(diǎn)”是不可導(dǎo)的，而傅里葉級(jí)數(shù)是正余弦函數(shù)構(gòu)成的，我們知道，正余弦函數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)域都是可導(dǎo)的，那么這是否就矛盾呢？其實(shí)要解釋這個(gè)問(wèn)題不難，舉個(gè)例子，有限個(gè)有理數(shù)之和一定是有理數(shù)，如果是無(wú)限個(gè)有理數(shù)之和呢？比如：

對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)，同樣可以這樣理解，有限個(gè)正余弦函數(shù)的線性組合，依然是實(shí)數(shù)域可導(dǎo)的，但無(wú)限個(gè)正余弦函數(shù)的線性組合，就可能會(huì)存在不可導(dǎo)點(diǎn)，這是無(wú)窮級(jí)數(shù)的一個(gè)特殊性質(zhì)。

與50位技術(shù)專(zhuān)家面對(duì)面20年技術(shù)見(jiàn)證，附贈(zèng)技術(shù)全景圖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的周期三角波傅里叶级数例题_如何理解傅里叶级数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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