一.數學的作用

數學是科學之母,科學技術離不開數學,它通過建立數學模型與數學產生緊密聯系。數學又以各種形式應用于科學技術各領域。數學擅長于處理各種復雜的依賴關系,精細刻畫量的變化以及可能性的評估。它可以幫助人們探討原因、量化過程、控制風險、優化管理、合理預測。

二.科學計算

科學計算是指利用計算機來完成科學研究和工程技術中提出的數學問題的計算,是一種使用計算機解釋和預測實驗中難以驗證的、復雜現象的方法。科學計算是伴隨著計算機的出現而迅速發展并獲得廣泛應用的新興交叉學科,是數學及計算機應用于高科技領域必不可少的紐帶和工具。

隨著計算機技術的飛速發展,科學計算在工程技術中發揮著愈來愈大的作用,已成為繼科學實驗和理論研究之后科學研究的第三種方法。了解或掌握科學計算的基本方法、數學建模的過程和基本方法已成為科技人才必需的技能。因此,科學計算與數學建模的基本知識和方法是當代科技人員,尤其是理工科大學生必備的數學素質。

三.數學建模的過程

實際問題 ---> 數學模型

(1).分析問題?--->?將與問題相關的因素都分析出來。(X1，X2，...? ,Xn)。

(2).問題假設?--->?簡化問題--->?問題相關的主要因素取，問題相關的次要因素去。

(3).模型的構成 ---> 找出主要因素的關系，將問題轉化為數學問題。

(4).求解問題?---> 用數學方法求解，解析法，數值法。

(5).解分析?---> 分析解的可靠性? 精度，穩定，收斂?--->?解對模型可靠。

(6).解的檢驗 ---> 用實際數據驗證解與真實問題結果相符--->?解對現實問題可靠。

(7).模型迭代 ---> 用實際數據驗證解與真實問題結果相符--->?解對現實問題可靠。

(8).解的應用 ---> 應用用于實際問題的解決。

(9).解的推廣 ---> 推廣普適。

四.數學建模的重要意義

作為用數學方法解決實際問題的第一步,數學建模自然有著與 數學同樣悠久的歷史。進入20世紀以來,隨著數學以空前的廣度和深度向一切領域的滲透,以及計算機的出現與飛速發展,數學建 模越來越受到人們的重視,數學建模在現實世界中有著重要意義。

?在高新技術領域,數學建模是必不可少的工具

?在一般工程技術領域,數學建模大有用武之地

?數學建模是使數學迅速進入一些新領域的先導

“數學是一種關鍵的、普遍的、可以應用的技術”, 數學“由研究到工業領域的技術轉化,對加強經濟競爭力是有重要意義”,而“計算和建模重新成為中心課題, 它們是數學科學技術轉化的主要途徑”。

五.解析解，精確解，數值解，近似解

六.數值方法與算法評價

算法定義:數值方法是指將所欲求解的數學模型(數學問題)簡化成一系列算術運算和邏輯運算,以便在計算機上求出問題的數值解,并對算法的收斂性和誤差進行分析、計算。這里所說的“算法”,不只是單純的數學公式,而且是指由基本的運算和運算順序的規定所組成的整個解題方案和步驟。

選定適合的算法是整個數值計算中非常重要的一環。算法取得不恰當,不僅影響到計算的速度和 效率,還會由于計算機計算的近似性和誤差的傳播、 積累直接影響到計算結果的精度,甚至直接影響到計算的成敗。不合適的算法會導致計算誤差達到不能容許的地步,而使計算最終失敗,這就是算法的數值穩定性問題。

按不同算式和近似計算出的結果各不相同,因此在研究算法的同時,還必須正確掌握誤差 的基本概念,誤差在近似值運算中的傳播規律,誤差 分析、估計的基本方法和算法的數值穩定性概念,否 則,一個合理的算法也可能會得出一個錯誤的結果。

衡量一個算法的好壞時,計算時間的多少是非常重要的一個標志。由于實際的執行時間依賴于計算機的性能,因此所謂算法所花時間是用它執行的所有基本運算,如算術運算、比較運算等的總次數來衡量的。這樣時間與運算的次數直接聯系起來了。當然,即使用一個算法計算同一類型的問題時,由于各問題的數據不同,計算快慢也會不同,一般是用最壞情況下所花的時間來作討論。

七.誤差的種類及其來源

誤差的積累與傳播是影響算法的重要因素,什么叫做誤差?在數學建模過程中哪些環節會產生誤差呢?在數值計算和數學建模過程中會出現各種誤差, 可分為“過失誤差” 和“非過失誤差” 兩大類。“過失誤差”或“疏忽誤差”:在工作中的粗心大意而產生的,例如筆誤以及誤用公式等。它完全是人為造成的,只要工作中仔細、謹慎,可以盡量減少和避免。

“非過失誤差”:在數值計算中這往往是 無法避免的,例如近似值帶來的誤差,模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差等。對于“非過失誤差”,應該設法盡量降低其數值,尤其要控制住經多次運算后誤差的積累,以確保計算結果的精度。數值計算中, 除了可以避免的過失誤差外,還有不少來源不同而又無法避免的非過失誤差,主要有如下幾種：

綜上所述,數值計算中除了可以完全避免的過失 誤差外,還存在難以避免的模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差。數學模型一旦建立,進入具體計算時所要考慮和分析的就是觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差了。在計算機上經過千百次運算后所積累起來的總誤差不容忽視,有時可能會大得驚人,甚至到達 “淹沒”所欲求解的真值的地步,而使計算結果失去根本的意義。因此,在討論算法時,有必要對其觀測誤差的傳 播、截斷誤差的估算和舍入誤差的控制作適當的分析。

六.絕對誤差和相對誤差

定義1.5.1 設某一個準確值(稱為真值)為 x ,其近似值為x* ,則ε(x)=x-x*稱為近似值 x* 的“絕對誤差”,簡稱“誤差”。當ε(x)>0時,稱為虧近似值或弱近似值,反之 則稱為盈近似值或強近似值。

ε(x)由于真值往往是未知或無法知道的,因此, 的準確值(真值)也就無法求出。但一般可估計絕對誤差的上限,即可以求出一個正值η ,使|ε(x)|=|x-x*| ≤η。η稱為近似值 x* 的“絕對誤差限”,簡稱“誤差限”,或稱“精度”。 有時也用x = x* ±η來表示|ε(x)|=|x-x*| ≤η式,這時等式右端的兩個數值 x*+η和x*-η代表了x所在范圍的上、下限。η越小,表示該近似值x*的精度越高。用絕對誤差還不能完全評價近似值的精確度。

這說明要評價一個近似值的精確度,除了要看其絕對誤差的大小外,還必須考慮該量本身的大小,這就需要引進相對誤差的概念。

定義1.5.2 絕對誤差與真值之比,即：

總結

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