矩陣論記號約定?zhuanlan.zhihu.com

外積與復合矩陣

• 設 ，則 ；
• [Gram行列式] ，其中 ；
• 。

證明：直接計算可得

設

構成 的規范正交基，記 。

• 構成規范正交基；注意 。

證明：任取

，有

• 設 ，任給規范正交基 和 ，對于 有 ，其中 ；
• 復合矩陣 是外冪 的矩陣表示；
• ；特別地，若 ，則 。

證明：任取

，有

設

，則

• [乘性] ；
• [Cauchy-Binet公式] 對 成立。

證明：由

可得 。

• 設 的奇異值為 ，其中 ，則 ；從而 。
• 若 ，設 的特征值為 ，則 ；從而[Sylvester-Franke] 。

證明：注意

和 ，只需考慮方陣情形。取可逆矩陣 使得 為Jordan標準型，于是 ；容易驗證上三角矩陣的情形。

• 記 的特征多項式為 ，則 。

證明：展開

即知 。

特征值/奇異值的乘積型受控

• [Horn^[1]] 將 的奇異值(計入 )排列為 ，則 ；
• 類比于Karamata不等式的證明過程，由 單調性可得 。

證明：任取

，有

最后，

。

• [Weyl] 設 的特征值和奇異值分別為 和 ，則 ；
• 從而 。

證明：任取

，由譜半徑性質可得 。最后， 。

Hodge對偶與高次伴隨矩陣

注意到

，嘗試定義同構(Hodge星算子) ，適合 ，其中 表示 的體積單位；只需對 定義 ，其中 映射為 的逆序數。易見 ，且對 有 和 。

• 設 ，則 ，其中 是 的代數余子式；
• 伴隨矩陣 是 的矩陣表示；
• 由 可得 。

證明：任取

，有

• ；
• 若 可逆，則 。

證明：應用Laplace展開[任取

，有 ]即可。

參考

^https://wj32.org/wp/2015/12/29/horns-inequality-for-singular-values-via-exterior-algebra/

總結

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