挖墳

最近整理一些基礎(chǔ)知識(shí)的時(shí)候，也被這個(gè)問題困惑著。

書上的解釋是，任何矩陣通過初等變換都可以化成標(biāo)準(zhǔn)型(單位陣+一些全零行或列)。顯然行秩和列秩是相等的。

但是相比代數(shù)上的解釋，我更想要尋求幾何上的解釋。

高贊大佬從幾何角度解釋的原因，但更接近是公式推導(dǎo)出來的結(jié)論，仍然很抽象，難以理解。

反復(fù)琢磨后，想到了一個(gè)更加通俗的角度。

空間變換的角度，A是變換矩陣，X是變換前的坐標(biāo)，Y是變換后的。

A中的列向量組構(gòu)成一組基，來替換當(dāng)前的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

A滿秩的情況下，就是同維的線性變換。比如R(A)=2，變換前是個(gè)平面，變換后仍是個(gè)平面。

現(xiàn)在考慮升維的情況，

拆解：

，

盡管β是個(gè)三維向量，但是變換后的空間仍然只有兩個(gè)基底，也就是說，變換前是個(gè)平面，變換后仍是個(gè)平面。

這意味著A和B的效果是等價(jià)的。則將A、B補(bǔ)零成3階方陣后滿足，

。

Rr(B)=Rr(A)， Rc(B)=Rc(A)，A的行秩和列秩相等，則B的行秩和列秩也相等。

這個(gè)結(jié)論從一維向高維推廣，就可以給出答案。

矩陣的行代表空間的維度，列代表空間中基底的數(shù)量。矩陣的行秩等于列秩意味著，n個(gè)基底的線性組合只能表示一個(gè)n維子空間。

總結(jié)

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