以前以為投影也就投影了，并不了解投影也可視作坐標變換，而且也是一個齊次坐標（Homogeneous Coordinate）系的坐標變換。因此書中的介紹一開始也不明白——它說透視投影會把直線映射成曲線，還特地驗證一下，發現投影為2D空間（攝像機平面）并不會發生這種情況，在仔細一看才知道，它指的是映射到3D空間，在z方向發生了畸變。而后逐漸了解，原來z方向的位置信息（depth）在渲染級模塊處（所謂的Z-Buffer）有特殊用處（直線上每個點的depth均通過直線兩端的點線性插值完成，因此可能造成depth位序異常）。當然這個問題在某些場合是不會發生的，例如完全基于光線跟蹤算法的渲染并不是這樣形成depth的。

于是，投影事實上成了投影變換。投影變換需要滿足兩個基本要求^[1]：
　　1．保持depth的位序；
　　2．將直線變換為直線。
　　在x和y方向仍根據投影方法定義（投射在攝像機平面上的坐標），而在z方向上，需要引入偽距離映射（pseudo-distance），數學上，透視投影的偽距離映射具有形式z' = A + B / z。假設z方向截斷分別為n和f = 1 / rf，截斷分別映射為pn和pf。于是列寫方程式¹：
　　pn = A + B / n?? （式1）
　　pf = A + B * rf　（式2）
　　解得：
　　A = (n * rf - pf) / (n * rf - 1)?（式3）
　　B = n * (pf - pn) / (n * rf - 1) （式4）
　　可以證明，相應的齊次坐標變換矩陣為：
　　[ d, 0, 0, 0;
　　? 0, d, 0, 0;
　　? 0, 0, A, B;
　　? 0, 0, 1, 0]??? （式5）
　　一個很賞心悅目的方案是將n=d（目屏距）映射為0，而將rf=0（無窮遠處）映射為1，這種情況下：A=1, B=-d。然而事實上，為了能夠提供較好的depth分辨效果，n和f的選擇（尤其是f）非常重要，f必須能容納所有需要關心的物體，需要足夠大，但是過大的話會導致depth分辨率的相對降低；而pn和pf則主要取決于為depth分配的位數，通常，現代顯卡為depth配置了32位定點數。而透視投影的偽距離映射的一個較好的性質是，它對較近的物體提供了較大的分辨率，較遠的物體則即使由于分辨率低而發生錯誤也是可以接受的。
　　然而在OpenGL中，用一個錐形頂點在圓點，截平面與z = 0平面平行的平截頭體(frustum)向任意矩形映射的方式定義透視投影。它是一種更一般的透視投影形式。
　　列寫關系式：
　　px = kx * x / z + dx??? （式6）
　　py = ky * y / z + dy??? （式7）
　　pz = kz / z + dz　　　（式8）
　　可以導出齊次線性變換矩陣為：
　　P = [ kx, ?0, dx, 0;
　　?????? 0, ky, dy, 0;
　　???????0,??0, dz, kz;
　　???????0,? 0,? 1, 0]??? （式9）
　　注意到：
??? M = [ 1, 0, 0, dx;
????????? 0, 1, 0, dy;
????????? 0, 0, 1,?dz;
????????? 0, 0, 0,?1]
??? A = [?kx, 0,? 0, 0;
?????????? 0, ky, 0, 0;
???????????0, 0,? 0, kz;
???????????0, 0,? 1, 0]
　　有P = M * A??? （式10）
　　即P變換矩陣由投影（A矩陣）和屏幕平移（M矩陣）兩部分變換組成。
　　根據映射關系：
　　(x0, ?, z0) -> (px0, ?, pz0), (x1, ?, z0) -> (px1, ?, pz0)??? （式11）
　　(?, y0, z0) -> (?, py0, pz0), (?, y1, z0) -> (?, py1, pz0)??? （式12）
　　(?, ?, z0) -> (?, ?, pz0), (?, ?, z1) -> (?, ?, pz1)??? （式13）
　　可以解得：
　　kx = z0 * (px1 - px0) / (x1 - x0), dx = (x1 * px0 - x0 * px1) / (x1 - x0)??? （式14）
　　ky = z0 * (py1 - py0) / (y1 - y0), dy = (y1 * py0 - y0 * py1) / (y1 - y0)??? （式15）
　　kz = z0 * (pz0 - pz1) / (1 - z0 / z1 ), dz = (pz1 - pz0 * z0 / z1) / (1 - z0 / z1)??? （式16）
　　注意到，kz是小于0的，這使得式8給出的偽距離映射是合法的。

注釋
1 本筆記采用傳統的z軸，即從眼睛指向屏幕，x從左至右，y從上至下（符合光柵掃描順序），因此它仍是右手系的。

參考文獻
[1] 3-D Computer Graphics, A Mathematical Introduction with OpenGL, Samuel R. Buss

轉載于:https://www.cnblogs.com/quanben/archive/2007/04/08/3129011.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CG笔记之一——透视投影的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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