整數(shù)劃分問題是算法中的一個經(jīng)典命題之一，有關(guān)這個問題的講述在講解到遞歸時基本都將涉及。所謂整數(shù)劃分，是指把一個正整數(shù)n寫成如下形式：
???????n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數(shù)，并且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}為n的一個劃分。

?????? 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬于n的一個m劃分。這里我們記n的m劃分的個數(shù)為f(n,m);
??????例如但n=4時，他有5個劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};?
??????注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同一個劃分。
????該問題是求出n的所有劃分個數(shù)，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法；
??????
??????
?????根據(jù)n和m的關(guān)系，考慮以下幾種情況：

（1）當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種劃分即{1};

（2）當m=1時，不論n的值為多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,...,1};

（3）當n=m時，根據(jù)劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：

（a）劃分中包含n的情況，只有一個即{n}；

（b）劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數(shù)字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。

因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

（4）當n<m時，由于劃分中不可能出現(xiàn)負數(shù)，因此就相當于f(n,n);

（5）但n>m時，根據(jù)劃分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況：

（a）劃分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi}?的和為n-m，可能再次出現(xiàn)m，因此是（n-m）的m劃分，因此這種劃分個數(shù)為f(n-m, m);

（b）劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數(shù)為f(n,m-1);

因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

?

綜合以上情況，我們可以看出，上面的結(jié)論具有遞歸定義特征，其中（1）和（2）屬于回歸條件，（3）和（4）屬于特殊情況，將會轉(zhuǎn)換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬于遞推的方法，其本質(zhì)主要是通過減小m以達到回歸條件，從而解決問題。其遞推表達式如下：

????源碼如下：

Code
?1?#include?<stdio.h>
?2?int?split(int?n,?int?m)
?3?{
?4?????if(n?<?1?||?m?<?1)?
?5?????return?0;
?6?????if(n?==?1?||?m?==?1)?
?7?????return?1;
?8?????if(n?<?m)?
?9?????return?split(n,?n);
10?????if(n?==?m)?
11?????return?(split(n,?m?-?1)?+?1);
12?????if(n?>?m)?
13?????return?(split(n,?m?-?1)?+?split((n?-?m),?m));
14?}
15?
16?int?main()
17?{
18?????printf("12的劃分數(shù):?%d",?split(12,?12));
19?????return?0;
20?}
21?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/sophist/archive/2009/10/04/1577912.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的整数划分问题（一）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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