6. 設 $A,B\in M_n$, $A$ 是正定矩陣, $B$ 是 Hermite 矩陣. 則 $$\bex A+B\mbox{ 正定當且僅當 }\lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n. \eex$$

?

?

證明: $$\beex \bea &\quad A+B\mbox{ 正定}\\ &\lra E+A^{-1/2}BA^{-1/2}\mbox{ 正定}\\ &\lra \lm_j(A^{-1/2}BA^{-1/2})>-1,\quad \forall\ j=1,\cdots,n\\ &\lra \lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n, \eea \eeex$$ 最后一步是因為 $AB$ 與 $BA$ 的特征值相同.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.6的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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