精確覆蓋問題的定義：給定一個由0-1組成的矩陣，是否能找到一個行的集合，使得集合中每一列都恰好包含一個1

例如：如下的矩陣

就包含了這樣一個集合（第1、4、5行）

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如何利用給定的矩陣求出相應的行的集合呢？我們采用回溯法

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矩陣1：

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先假定選擇第1行，如下所示：

如上圖中所示，紅色的那行是選中的一行，這一行中有3個1，分別是第3、5、6列。

由于這3列已經包含了1，故，把這三列往下標示，圖中的藍色部分。藍色部分包含3個1，分別在2行中，把這2行用紫色標示出來

根據定義，同一列的1只能有1個，故紫色的兩行，和紅色的一行的1相沖突。

那么在接下來的求解中，紅色的部分、藍色的部分、紫色的部分都不能用了，把這些部分都刪除，得到一個新的矩陣

矩陣2：

行分別對應矩陣1中的第2、4、5行

列分別對應矩陣1中的第1、2、4、7列

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于是問題就轉換為一個規模小點的精確覆蓋問題

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在新的矩陣中再選擇第1行，如下圖所示

還是按照之前的步驟，進行標示。紅色、藍色和紫色的部分又全都刪除，導致新的空矩陣產生，而紅色的一行中有0（有0就說明這一列沒有1覆蓋）。說明，第1行選擇是錯誤的

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那么回到之前，選擇第2行，如下圖所示

按照之前的步驟，進行標示。把紅色、藍色、紫色部分刪除后，得到新的矩陣

矩陣3：

行對應矩陣2中的第3行，矩陣1中的第5行

列對應矩陣2中的第2、4列，矩陣1中的第2、7列

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由于剩下的矩陣只有1行，且都是1，選擇這一行，問題就解決

于是該問題的解就是矩陣1中第1行、矩陣2中的第2行、矩陣3中的第1行。也就是矩陣1中的第1、4、5行

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在求解這個問題的過程中，我們第1步選擇第1行是正確的，但是不是每個題目第1步選擇都是正確的，如果選擇第1行無法求解出結果出來，那么就要推倒之前的選擇，從選擇第2行開始，以此類推

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從上面的求解過程來看，實際上求解過程可以如下表示

1、從矩陣中選擇一行

2、根據定義，標示矩陣中其他行的元素

3、刪除相關行和列的元素，得到新矩陣

4、如果新矩陣是空矩陣，并且之前的一行都是1，那么求解結束，跳轉到6；新矩陣不是空矩陣，繼續求解，跳轉到1；新矩陣是空矩陣，之前的一行中有0，跳轉到5

5、說明之前的選擇有誤，回溯到之前的一個矩陣，跳轉到1；如果沒有矩陣可以回溯，說明該問題無解，跳轉到7

6、求解結束，把結果輸出

7、求解結束，輸出無解消息

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從如上的求解流程來看，在求解的過程中有大量的緩存矩陣和回溯矩陣的過程。而如何緩存矩陣以及相關的數據（保證后面的回溯能正確恢復數據），也是一個比較頭疼的問題（并不是無法解決）。以及在輸出結果的時候，如何輸出正確的結果（把每一步的選擇轉換為初始矩陣相應的行）。

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于是算法大師Donald E.Knuth（《計算機程序設計藝術》的作者）出面解決了這個方面的難題。他提出了DLX（Dancing Links X）算法。實際上，他把上面求解的過程稱為X算法，而他提出的舞蹈鏈（Dancing Links）實際上并不是一種算法，而是一種數據結構。一種非常巧妙的數據結構，他的數據結構在緩存和回溯的過程中效率驚人，不需要額外的空間，以及近乎線性的時間。而在整個求解過程中，指針在數據之間跳躍著，就像精巧設計的舞蹈一樣，故Donald E.Knuth把它稱為Dancing Links（中文譯名舞蹈鏈）。

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Dancing Links的核心是基于雙向鏈的方便操作（移除、恢復加入）

我們用例子來說明

假設雙向鏈的三個連續的元素，A1、A2、A3，每個元素有兩個分量Left和Right，分別指向左邊和右邊的元素。由定義可知

A1.Right=A2，A2.Right=A3

A2.Left=A1，A3.Left=A2

在這個雙向鏈中，可以由任一個元素得到其他兩個元素，A1.Right.Right=A3，A3.Left.Left=A1等等

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現在把A2這個元素從雙向鏈中移除（不是刪除）出去，那么執行下面的操作就可以了

A1.Right=A3，A3.Left=A1

那么就直接連接起A1和A3。A2從雙向鏈中移除出去了。但僅僅是從雙向鏈中移除了，A2這個實體還在，并沒有刪除。只是在雙向鏈中遍歷的話，遍歷不到A2了。

那么A2這個實體中的兩個分量Left和Right指向誰？由于實體還在，而且沒有修改A2分量的操作，那么A2的兩個分量指向沒有發生變化，也就是在移除前的指向。即A2.Left=A1和A2.Right=A3

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如果此時發現，需要把A2這個元素重新加入到雙向鏈中的原來的位置，也就是A1和A3的中間。由于A2的兩個分量沒有發生變化，仍然指向A1和A3。那么只要修改A1的Right分量和A3的Left就行了。也就是下面的操作

A1.Right=A2，A3.Left=A2

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仔細想想，上面兩個操作（移除和恢復加入）對應了什么？是不是對應了之前的算法過程中的關鍵的兩步？

移除操作對應著緩存數據、恢復加入操作對應著回溯數據。而美妙的是，這兩個操作不再占用新的空間，時間上也是極快速的

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在很多實際運用中，把雙向鏈的首尾相連，構成循環雙向鏈

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Dancing Links用的數據結構是交叉十字循環雙向鏈

而Dancing Links中的每個元素不僅是橫向循環雙向鏈中的一份子，又是縱向循環雙向鏈的一份子。

因為精確覆蓋問題的矩陣往往是稀疏矩陣（矩陣中，0的個數多于1），Dancing Links僅僅記錄矩陣中值是1的元素。

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Dancing Links中的每個元素有6個分量

分別：Left指向左邊的元素、Right指向右邊的元素、Up指向上邊的元素、Down指向下邊的元素、Col指向列標元素、Row指示當前元素所在的行

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Dancing Links還要準備一些輔助元素（為什么需要這些輔助元素？沒有太多的道理，大師認為這能解決問題，實際上是解決了問題）

Ans（）：Ans數組，在求解的過程中保留當前的答案，以供最后輸出答案用。

Head元素：求解的輔助元素，在求解的過程中，當判斷出Head.Right=Head（也可以是Head.Left=Head）時，求解結束，輸出答案。Head元素只有兩個分量有用。其余的分量對求解沒啥用

C元素：輔助元素，稱列標元素，每列有一個列標元素。本文開始的題目的列標元素分別是C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7。每一列的元素的Col分量都指向所在列的列標元素。列標元素的Col分量指向自己（也可以是沒有）。在初始化的狀態下，Head.Right=C1、C1.Right=C2、……、C7.Right=Head、Head.Left=C7等等。列標元素的分量Row=0，表示是處在第0行。

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下圖就是根據題目構建好的交叉十字循環雙向鏈（構建的過程后面的詳述）

就上圖解釋一下

每個綠色方塊是一個元素，其中Head和C1、C2、……、C7是輔助元素。橙色框中的元素是原矩陣中1的元素，給他們標上號（從1到16）

左側的紅色，標示的是行號，輔助元素所在的行是0行，其余元素所在的行從1到6

每兩個元素之間有一個雙向箭頭連線，表示雙向鏈中相鄰兩個元素的關系（水平的是左右關系、垂直的是上下關系）

單向的箭頭并不是表示單向關系，而因為是循環雙向鏈，左側的單向箭頭和右側的單向箭頭（上邊的和下邊的）組成了一個雙向箭頭，例如元素14左側的單向箭頭和元素16右側的單項箭頭組成一個雙向箭頭，表示14.Left=16、16.Right=14；同理，元素14下邊的單項箭頭和元素C4上邊的單向箭頭組成一個雙向箭頭，表示14.Down=C4、C4.Up=14

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接下來，利用圖來解釋Dancing Links是如何求解精確覆蓋問題

1、首先判斷Head.Right=Head？若是，求解結束，輸出解；若不是，求解還沒結束，到步驟2（也可以判斷Head.Left=Head？）

2、獲取Head.Right元素，即元素C1，并標示元素C1（標示元素C1，指的是標示C1、和C1所在列的所有元素、以及該元素所在行的元素，并從雙向鏈中移除這些元素）。如下圖中的紫色部分。

如上圖可知，行2和行4中的一個必是答案的一部分（其他行中沒有元素能覆蓋列C1），先假設選擇的是行2

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3、選擇行2（在答案棧中壓入2），標示該行中的其他元素（元素5和元素6）所在的列首元素，即標示元素C4和標示元素C7，下圖中的橙色部分。

注意的是，即使元素5在步驟2中就從雙向鏈中移除，但是元素5的Col分量還是指向元素C4的，這里體現了雙向鏈的強大作用。

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把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示

一下子空了好多，是不是轉換為一個少了很多元素的精確覆蓋問題？，利用遞歸的思想，很快就能寫出求解的過程來。我們繼續完成求解過程

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4、獲取Head.Right元素，即元素C2，并標示元素C2。如下圖中的紫色部分。

如圖，列C2只有元素7覆蓋，故答案只能選擇行3

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5、選擇行3（在答案棧中壓入3），標示該行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即標示元素C3和標示元素C6，下圖中的橙色部分。

把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示

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6、獲取Head.Right元素，即元素C5，元素C5中的垂直雙向鏈中沒有其他元素，也就是沒有元素覆蓋列C5。說明當前求解失敗。要回溯到之前的分叉選擇步驟（步驟2）。那要回標列首元素（把列首元素、所在列的元素，以及對應行其余的元素。并恢復這些元素到雙向鏈中），回標列首元素的順序是標示元素的順序的反過來。從前文可知，順序是回標列首C6、回標列首C3、回標列首C2、回標列首C7、回標列首C4。表面上看起來比較復雜，實際上利用遞歸，是一件很簡單的事。并把答案棧恢復到步驟2（清空的狀態）的時候。又回到下圖所示

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7、由于之前選擇行2導致無解，因此這次選擇行4（再無解就整個問題就無解了）。選擇行4（在答案棧中壓入4），標示該行中的其他元素（元素11）所在的列首元素，即標示元素C4，下圖中的橙色部分。

把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示

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8、獲取Head.Right元素，即元素C2，并標示元素C2。如下圖中的紫色部分。

如圖，行3和行5都可以選擇

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9、選擇行3（在答案棧中壓入3），標示該行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即標示元素C3和標示元素C6，下圖中的橙色部分。

把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示

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10、獲取Head.Right元素，即元素C5，元素C5中的垂直雙向鏈中沒有其他元素，也就是沒有元素覆蓋列C5。說明當前求解失敗。要回溯到之前的分叉選擇步驟（步驟8）。從前文可知，回標列首C6、回標列首C3。并把答案棧恢復到步驟8（答案棧中只有4）的時候。又回到下圖所示

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11、由于之前選擇行3導致無解，因此這次選擇行5（在答案棧中壓入5），標示該行中的其他元素（元素13）所在的列首元素，即標示元素C7，下圖中的橙色部分。

把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示

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12、獲取Head.Right元素，即元素C3，并標示元素C3。如下圖中的紫色部分。

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13、如上圖，列C3只有元素1覆蓋，故答案只能選擇行3（在答案棧壓入1）。標示該行中的其他元素（元素2和元素3）所在的列首元素，即標示元素C5和標示元素C6，下圖中的橙色部分。

把上圖中的紫色部分和橙色部分移除的話，剩下的綠色部分就如下圖所示

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14、因為Head.Right=Head。故，整個過程求解結束。輸出答案，答案棧中的答案分別是4、5、1。表示該問題的解是第4、5、1行覆蓋所有的列。如下圖所示（藍色的部分）

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從以上的14步來看，可以把Dancing Links的求解過程表述如下

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1、Dancing函數的入口

2、判斷Head.Right=Head？，若是，輸出答案，返回True，退出函數。

3、獲得Head.Right的元素C

4、標示元素C

5、獲得元素C所在列的一個元素

6、標示該元素同行的其余元素所在的列首元素

7、獲得一個簡化的問題，遞歸調用Daning函數，若返回的True，則返回True，退出函數。

8、若返回的是False，則回標該元素同行的其余元素所在的列首元素，回標的順序和之前標示的順序相反

9、獲得元素C所在列的下一個元素，若有，跳轉到步驟6

10、若沒有，回標元素C，返回False，退出函數。

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之前的文章的表述，為了表述簡單，采用面向對象的思路，說每個元素有6個分量，分別是Left、Right、Up、Down、Col、Row分量。

但在實際的編碼中，用數組也能實現相同的作用。例如：用Left（）表示所有元素的Left分量，Left（1）表示元素1的Left分量

在前文中，元素分為Head元素、列首元素（C1、C2等）、普通元素。在編碼中，三種元素統一成一種元素。如上題，0表示Head元素，1表示元素C1、2表示元素C2、……、7表示元素C7，從8開始表示普通元素。這是統一后，編碼的簡便性。利用數組的下標來表示元素，宛若指針一般。

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下面是代碼的講解

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1、該類的一些變量

??? Private Left() As?Integer, Right() As?Integer, Up() As?Integer, Down() As?Integer
??? Private Row() As?Integer, Col() As?Integer

??? Private _Head As?Integer

??? Private _Rows As?Integer, _Cols As?Integer, _NodeCount As?Integer
??? Private Ans() As?Integer

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前兩行表示每個元素的六個分量，用數組表示；_Head表示元素Head，在類中初始化時令其等于0；_Rows表示矩陣的行數，_Cols表示矩陣的列數，_NodeCount表示元素的個數；Ans（）用于存放答案

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2、求解的主函數，Dance函數，是個遞歸函數，參數K表示當前的調用層數。

??? Public?Function Dance() As?Integer()
??????? Return IIf(Dance(0) = True, Ans, Nothing)
??? End?Function?

??? Private?Function Dance(ByVal K As?Integer) As?Boolean

??????? Dim C1 As?Integer = Right(_Head)
??????? If (C1 = _Head) Then
??????????? ReDim?Preserve Ans(K - 1)
??????????? Return?True
??????? End?If
??????? RemoveCol(C1)

??????? Dim I As?Integer, J As?Integer

??????? I = Down(C1)
??????? Do?While I <> C1
??????????? Ans(K) = Row(I)

??????????? J = Right(I)
??????????? Do?While J <> I
??????????????? RemoveCol(Col(J))
??????????????? J = Right(J)
??????????? Loop

??????????? If Dance(K + 1) Then?Return?True

??????????? J = Left(I)
??????????? Do?While J <> I
??????????????? ResumeCol(Col(J))
??????????????? J = Left(J)
??????????? Loop

??????????? I = Down(I)
??????? Loop?

??????? ResumeCol(C1)
??????? Return?False
??? End?Function

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其中第一個函數Dance是對外開放的函數，它通過調用Dance（0）來求解問題，根據返回值來決定返回答案（當為True的時候）還是返回空（當為False的時候）

第二個函數是求解的主函數。首先通過Right（_Head）獲得_Head元素的右元素。判斷是否等于自身，若是，求解結束，因為答案保存在Ans（0）到Ans（K-1）中，所以先把答案數組中多余的部分去除（利用Redim語句）。

RemoveCol函數是用來標示列首元素的，ResumeCol函數用來回標列首元素的，其中通過Col（J）獲得J元素的列首元素。在函數中有個很聰明的設計，在標示列首元素時，順序是從I元素的右側元素開始；而在回標列首元素時，順序是從I元素的左側元素開始，正好順序和標示列首元素的順序相反。

在調用Dance（K+1）前，把當前選中的行保存到Ans（K）中，當Dance（K+1）返回True時，說明遞歸調用獲得正確的解，那直接返回True；返回False時，說明當前選擇的行不正確，回標列首元素，獲得下一個元素。

當元素C1中所在的列的其余元素所選定的行沒有求解正確的遞歸函數時（包括C1列沒有其余的元素），說明當前的求解失敗，回標列首元素C1，返回False

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3、求解的輔助函數，RemoveCol函數，標示列首函數

??? Public?Sub RemoveCol(ByVal Col As?Integer)

??????? Left(Right(Col)) = Left(Col)
??????? Right(Left(Col)) = Right(Col)

??????? Dim I As?Integer, J As?Integer

??????? I = Down(Col)
??????? Do?While I <> Col
??????????? J = Right(I)
??????????? Do?While J <> I
??????????????? Up(Down(J)) = Up(J)
??????????????? Down(Up(J)) = Down(J)
??????????????? J = Right(J)
??????????? Loop

??????????? I = Down(I)
??????? Loop

??? End?Sub

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首先，利用Left(Right(Col)) = Left(Col) 和Right(Left(Col)) = Right(Col) 把列首元素Col從水平雙向鏈中移除出去。再依次把Col所在的列的其余元素的所在行的其余元素從垂直雙向鏈中移除出去，利用的是Up(Down(J)) = Up(J) 和Down(Up(J)) = Down(J)。找尋Col所在列的其余元素的順序是從下邊（Down分量）開始，移除所在行其余元素的順序是從右邊（Right分量）開始 。可以參考之前的圖中的紫色部分。

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4、求解的輔助函數，ResumeCol函數，回標列首函數

??? Public?Sub ResumeCol(ByVal Col As?Integer)

??????? Left(Right(Col)) = Col
??????? Right(Left(Col)) = Col

??????? Dim I As?Integer, J As?Integer

??????? I = Up(Col)

??????? Do?While (I <> Col)
??????????? J = Right(I)
??????????? Do?While J <> I
??????????????? Up(Down(J)) = J
??????????????? Down(Up(J)) = J
??????????????? J = Right(J)
??????????? Loop
??????????? I = Up(I)
??????? Loop

??? End?Sub

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首先，利用Left(Right(Col)) = Col 和Right(Left(Col)) = Col 把列首元素Col恢復到水平雙向鏈中。再依次把Col所在的列的其余元素的所在行的其余元素恢復到垂直雙向鏈中，利用的是Up(Down(J)) = J 和Down(Up(J)) = J。找尋Col所在列的其余元素的順序是從上邊（Up分量）開始（和之前的RemoveCol函數相反），恢復所在行其余元素的順序是從右邊（Right分量）開始 。

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5、類的初始化函數

??? Public?Sub?New(ByVal Cols As?Integer)
??????? ReDim Left(Cols), Right(Cols), Up(Cols), Down(Cols), Row(Cols), Col(Cols), Ans(Cols)
??????? Dim I As?Integer

??????? Up(0) = 0
??????? Down(0) = 0
??????? Right(0) = 1
??????? Left(0) = Cols

??????? For I = 1 To Cols
??????????? Up(I) = I
??????????? Down(I) = I
??????????? Left(I) = I - 1
??????????? Right(I) = I + 1
??????????? Col(I) = I
??????????? Row(I) = 0
??????? Next

??????? Right(Cols) = 0

??????? _Rows = 0
??????? _Cols = Cols
??????? _NodeCount = Cols
??????? _Head = 0
??? End?Sub

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初始化函數有一個參數Cols，表示這個矩陣的列數。

初始化的時候，由于沒有傳入矩陣元素的信息。因此，在該函數中先把輔助元素完成

0表示Head元素，1-Cols表示Cols個列的列首元素

第一句，重定義六個分量的數組，表示Head元素和列首元素的六個分量。

Right(0) = 1表示Head元素的Right分量指向列首元素1（第1列的列首元素）；Left(0) = Cols表示Head元素的Left分量指向列首元素Cols（第Cols列的列首元素）

后面的一段循環，給每個列首元素指定六個分量。Up和Down分量指向自己，Left分量指向左邊的列首元素（I-1），Right分量指向右邊的列首元素（I+1），Col分量指向自己，Row分量為0，參看前面的圖。最后Right（Cols）=0，Cols列的列首元素的Right分量指向Head元素

其后是一些變量的賦值。把_Head賦值為0，表示0為Head元素，是為了后面的代碼的直觀性

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6、添加矩陣元素的函數

??? Public?Sub AppendLine(ByVal?ParamArray Value() As?Integer)
??????? _Rows += 1
??????? If Value.Length = 0 Then?Exit Sub

??????? Dim I As?Integer, K As?Integer = 0

??????? For I = 0 To Value.Length - 1
??????????? If Value(I) = 1 Then
??????????????? _NodeCount += 1
??????????????? ReDim?Preserve Left(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Right(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Up(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Down(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Row(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Col(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Ans(_NodeCount)
??????????????? If K = 0 Then
??????????????????? Left(_NodeCount) = _NodeCount
??????????????????? Right(_NodeCount) = _NodeCount
??????????????????? K = 1
??????????????? Else
??????????????????? Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1
??????????????????? Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1)
??????????????????? Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount
??????????????????? Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount
??????????????? End?If

??????????????? Down(_NodeCount) = I + 1
??????????????? Up(_NodeCount) = Up(I + 1)
??????????????? Down(Up(I + 1)) = _NodeCount
??????????????? Up(I + 1) = _NodeCount?

??????????????? Row(_NodeCount) = _Rows
??????????????? Col(_NodeCount) = I + 1
??????????? End?If
??????? Next

??? End?Sub

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把矩陣的一行元素（包括0和1）添加到類中

在前文中介紹了Dancing Links中只存儲1的元素（稀疏矩陣），因此，在添加的時候，先判斷值是否是1。

那實際上問題是如何把元素添加到雙向鏈中，在添加的過程中，自左向右添加。

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先考量如何把元素添加到水平雙向鏈中

當添加這一行的第一個元素時，由于還沒有雙向鏈，首先構造一個只有一個元素的雙向鏈。Left(_NodeCount) = _NodeCount和Right(_NodeCount) = _NodeCount。這個元素的Left和Right分量都指向自己。

從第二個元素開始。問題就轉換為把元素添加到水平雙向鏈的末尾，實際上需要知道之前的水平雙向鏈的最左邊的元素和最右邊的元素，可以肯定的是最右邊的元素是_NodeCount-1，最左邊的元素是什么？之前并沒有緩存啊。由于是循環雙向鏈，Right（_NodeCount-1）就是這雙向鏈的最左邊的元素。Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1，把當前元素的Left分量指向最右邊的元素即_NodeCount-1；Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1) ，把當前元素的Right分量指向最左邊的元素即Right（_NodeCount-1）；Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount，把最左邊的元素即Right（_NodeCount-1）的Left分量指向當前元素；Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount，把最右邊的元素即_NodeCount-1的Right分量指向當前元素

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再考量如何把元素添加到垂直雙向鏈

同樣，問題就轉換為把元素添加到垂直雙向鏈的末尾，實際上需要知道之前的垂直雙向鏈的最上邊的元素和最下邊的元素。和水平雙向鏈的不同，我們沒法知道最下邊的元素，但是我們可以利用列首元素知道最上邊的元素（列首元素就是該雙向鏈中最上邊的元素）。因此，最上邊的元素是I+1（因為I是從0開始的，故相應的列就是I+1，相應的列首元素就是I+1），那么最下邊的元素就是Up（I+1）。Down(_NodeCount) = I + 1，把當前元素的Down分量指向最上邊的元素即I+1；Up(_NodeCount) = Up(I + 1) ，把當前元素的Up分量指向最下邊的元素即Up（I+1）；Down(Up(I + 1)) = _NodeCount，把最下邊元素即Up（I+1）的Down分量指向當前元素；Up(I + 1) = _NodeCount，把最上邊元素即I+1的Up分量指向當前元素

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至此，完成了把當前元素添加到兩個雙向鏈的過程

最后，給當前元素的Row分量和Col分量賦值

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在文首的題目中，添加第一行的數據，如下調用

AppendLine（0，0，1，0，1，1，0）

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如果一行中有大量的0，那么用下面的函數比較方便

??? Public?Sub AppendLineByIndex(ByVal?ParamArray Index() As?Integer)
??????? _Rows += 1
??????? If Index.Length = 0 Then?Exit Sub

??????? Dim I As?Integer, K As?Integer = 0?

??????? ReDim?Preserve Left(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Right(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Up(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Down(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Row(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Col(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Ans(_NodeCount + Index.Length)

??????? For I = 0 To Index.Length - 1

??????????? _NodeCount += 1

??????????? If I = 0 Then
??????????????? Left(_NodeCount) = _NodeCount
??????????????? Right(_NodeCount) = _NodeCount
??????????? Else
??????????????? Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1
??????????????? Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1)
??????????????? Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount
??????????????? Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount
??????????? End?If

??????????? Down(_NodeCount) = Index(I)
??????????? Up(_NodeCount) = Up(Index(I))
??????????? Down(Up(Index(I))) = _NodeCount
??????????? Up(Index(I)) = _NodeCount

??????????? Row(_NodeCount) = _Rows
??????????? Col(_NodeCount) = Index(I)
??????? Next?

??? End?Sub

該函數的參數是這一行中值為1的元素的所在列的下標，具體就不再解釋了。和AppendLine函數類似。

在文首的題目中，添加第一行的數據，如下調用

AppendLineByIndex（3，5，6）

和AppendLine（0，0，1，0，1，1，0）效果相同。

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下面的代碼是調用該類求解文首題目的代碼

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Dim tS As New clsDancingLinks(7)

tS.AppendLineByIndex(3, 5, 6)
tS.AppendLineByIndex(1, 4, 7)
tS.AppendLineByIndex(2, 3, 6)
tS.AppendLineByIndex(1, 4)
tS.AppendLineByIndex(2, 7)
tS.AppendLineByIndex(4, 5, 7)

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Dim Ans() As Integer = tS.Dance

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Ans（）數組中的值是4，5，1

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至此，求解精確覆蓋問題的Dancing Links算法就介紹完了。利用十字循環雙向鏈這個特殊的數據結構，不可思議的完成了緩存矩陣和回溯矩陣的過程，十分優雅，十分高效。故Donald E.Knuth把它稱為Dancing Links（舞蹈鏈）。我更喜歡跳躍的舞者這個名字

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有很多問題都能轉換為精確覆蓋問題，再利用Dancing Links算法求解就方便多了。

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最后，把該類的完整代碼貼在下方

Public?Class?clsDancingLinks
??? Private Left() As?Integer, Right() As?Integer, Up() As?Integer, Down() As?Integer
??? Private Row() As?Integer, Col() As?Integer

??? Private _Head As?Integer

??? Private _Rows As?Integer, _Cols As?Integer, _NodeCount As?Integer
??? Private Ans() As?Integer

??? Public?Sub?New(ByVal Cols As?Integer)
??????? ReDim Left(Cols), Right(Cols), Up(Cols), Down(Cols), Row(Cols), Col(Cols), Ans(Cols)
??????? Dim I As?Integer

??????? Up(0) = 0
??????? Down(0) = 0
??????? Right(0) = 1
??????? Left(0) = Cols

??????? For I = 1 To Cols
??????????? Up(I) = I
??????????? Down(I) = I
??????????? Left(I) = I - 1
??????????? Right(I) = I + 1
??????????? Col(I) = I
??????????? Row(I) = 0
??????? Next

??????? Right(Cols) = 0

??????? _Rows = 0
??????? _Cols = Cols
??????? _NodeCount = Cols
??????? _Head = 0
??? End?Sub

??? Public?Sub AppendLine(ByVal?ParamArray Value() As?Integer)
??????? _Rows += 1
??????? If Value.Length = 0 Then?Exit Sub

??????? Dim I As?Integer, K As?Integer = 0

??????? For I = 0 To Value.Length - 1
??????????? If Value(I) = 1 Then
??????????????? _NodeCount += 1
??????????????? ReDim?Preserve Left(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Right(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Up(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Down(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Row(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Col(_NodeCount)
??????????????? ReDim?Preserve Ans(_NodeCount)
??????????????? If K = 0 Then
??????????????????? Left(_NodeCount) = _NodeCount
??????????????????? Right(_NodeCount) = _NodeCount
??????????????????? K = 1
??????????????? Else
??????????????????? Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1
??????????????????? Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1)
??????????????????? Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount
??????????????????? Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount
??????????????? End?If

??????????????? Down(_NodeCount) = I + 1
??????????????? Up(_NodeCount) = Up(I + 1)
??????????????? Down(Up(I + 1)) = _NodeCount
??????????????? Up(I + 1) = _NodeCount?

??????????????? Row(_NodeCount) = _Rows
??????????????? Col(_NodeCount) = I + 1
??????????? End?If
??????? Next

??? End?Sub

??? Public?Sub AppendLineByIndex(ByVal?ParamArray Index() As?Integer)
??????? _Rows += 1
??????? If Index.Length = 0 Then?Exit Sub

??????? Dim I As?Integer, K As?Integer = 0?

??????? ReDim?Preserve Left(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Right(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Up(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Down(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Row(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Col(_NodeCount + Index.Length)
??????? ReDim?Preserve Ans(_NodeCount + Index.Length)

??????? For I = 0 To Index.Length - 1

??????????? _NodeCount += 1

??????????? If I = 0 Then
??????????????? Left(_NodeCount) = _NodeCount
??????????????? Right(_NodeCount) = _NodeCount
??????????? Else
??????????????? Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1
??????????????? Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1)
??????????????? Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount
??????????????? Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount
??????????? End?If

??????????? Down(_NodeCount) = Index(I)
??????????? Up(_NodeCount) = Up(Index(I))
??????????? Down(Up(Index(I))) = _NodeCount
??????????? Up(Index(I)) = _NodeCount

??????????? Row(_NodeCount) = _Rows
??????????? Col(_NodeCount) = Index(I)
??????? Next


??? End?Sub

??? Public?Function Dance() As?Integer()
??????? Return IIf(Dance(0) = True, Ans, Nothing)
??? End?Function


??? Private?Function Dance(ByVal K As?Integer) As?Boolean

??????? Dim C1 As?Integer = Right(_Head)
??????? If (C1 = _Head) Then
??????????? ReDim?Preserve Ans(K - 1)
??????????? Return?True
??????? End?If
??????? RemoveCol(C1)

??????? Dim I As?Integer, J As?Integer

??????? I = Down(C1)
??????? Do?While I <> C1
??????????? Ans(K) = Row(I)

??????????? J = Right(I)
??????????? Do?While J <> I
??????????????? RemoveCol(Col(J))
??????????????? J = Right(J)
??????????? Loop

??????????? If Dance(K + 1) Then?Return?True

??????????? J = Left(I)
??????????? Do?While J <> I
??????????????? ResumeCol(Col(J))
??????????????? J = Left(J)
??????????? Loop

??????????? I = Down(I)
??????? Loop?

??????? ResumeCol(C1)
??????? Return?False
??? End?Function

??? Public?Sub RemoveCol(ByVal Col As?Integer)

??????? Left(Right(Col)) = Left(Col)
??????? Right(Left(Col)) = Right(Col)

??????? Dim I As?Integer, J As?Integer

??????? I = Down(Col)
??????? Do?While I <> Col
??????????? J = Right(I)
??????????? Do?While J <> I
??????????????? Up(Down(J)) = Up(J)
??????????????? Down(Up(J)) = Down(J)
??????????????? J = Right(J)
??????????? Loop

??????????? I = Down(I)
??????? Loop

??? End?Sub

??? Public?Sub ResumeCol(ByVal Col As?Integer)

??????? Left(Right(Col)) = Col
??????? Right(Left(Col)) = Col

??????? Dim I As?Integer, J As?Integer

??????? I = Up(Col)

??????? Do?While (I <> Col)
??????????? J = Right(I)
??????????? Do?While J <> I
??????????????? Up(Down(J)) = J
??????????????? Down(Up(J)) = J
??????????????? J = Right(J)
??????????? Loop
??????????? I = Up(I)
??????? Loop

??? End?Sub
End?Class

轉載于:https://www.cnblogs.com/MisdomTianYa/p/6581710.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的DLX （Dancing Links/舞蹈链）算法——求解精确覆盖问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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