題目：

現在有10000個電燈，假設有10000個人經過這些電燈，當第1個人經過時，拉一下所有的燈，當第2個人經過時，拉一下所有2的倍數的燈，就這樣，當第i個人經過時，就拉一下所有i的倍數的燈。假設所有燈的初始狀態都是滅，那么當10000個人經過之后，還有多少燈是亮著的？

思路：

我們以10個燈泡，10個人為例，拉一下表示1，不拉表示0，橫軸表示燈，豎軸表示人，因此可以得到以下的矩陣：

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

可以看出，最后亮燈的就是1,4,9，因為它們被拉了奇數次。一種通用的方法就是將上述矩陣所有列進行異或操作，如果為1則亮，為0則滅。

那么亮燈的數字有什么規律嗎？如上面的1,4,9....，好像很容易猜到是某個數的完全平方，為什么呢？我們來驗證一下：

上面提到了，亮燈的是被拉了奇數次，而完全平方數的分解因子（即約數）一定為奇數個。下面通過歸納法來驗證一下。

假設完全平方數為N，N=1*A^2，它的約數個數為奇數個；

假設A為質數，那么N的約數為1，A，N三個，為奇數；

假設A為完全平方數，那么N的約數為1，A，N，加上A的約數減去1和自身A，依舊為就奇數；

假設A為非完全平方數，那么N可以表示為A=B*C，這一步暫時不知怎么證明，但結果就是奇數；

總之，只有完全平方數，其約數個數為奇數，就是亮燈的情況。

因此，10000剛好為100的完全平方，因此有100盞燈亮著。

也可以通過代碼來驗證一下（很簡單，通過兩個循環就可以實現，這里就不貼代碼了）

轉載于:https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/4966186.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的（数学）灯泡亮灭问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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