題目鏈接??Maximum Element

題意? 現在有這一段求序列中最大值的程度片段：

（假定序列是一個1-n的排列）

int fast_max(int n, int a[]) { int ans = 0;int offset = 0;for (int i = 0; i < n; ++i)if (ans < a[i]) {ans = a[i];offset = 0;} else {offset = offset + 1;if (offset == k)return ans;}return ans; }

顯然這段程序是錯誤的……有很多可以X掉這段程序的排列

求這樣的排列有多少個。

題目是讓我們求符合這樣條件的排列個數：

1、存在某個數，他比前面的數都大并且小于$n$；

2、他比他后面$k$個數都要大。

假設“中間這個數”為$cnt$

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假設$D(i)$為滿足$p(i) = i$的這樣的排列個數

我們可以把$D(i)$的求解分成兩個過程。

1、計算$cnt$等于$i - 1$的排列個數

2、計算$cnt$不等于$i - 1$的排列個數

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首先如果$i <= k + 1$，則$D(i) = 0$

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當這個序列的$cnt$為$i - 1$時，只要滿足$i - 1$和$i$之間的數大于等于$k$個即可。

于是對于$i - 1$這個數的位置的選擇，我們有$i - k - 1$種。

然后呢，除了$i - 1$和$i$這兩個數，其他數的位置隨意（因為$i$排在最后，所以排在$i - 1$前的數字都比$i - 1$要小）

所以當前這種情況對答案的貢獻為$(i - k - 1) * (i - 2)!$

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考慮另外一種情況。

當$cnt$不等于$i - 1$的時候，一定有$cnt < i - 1$

設$i - 1$所在位置為$pos$，我們把$i - 1$之前的$pos - 1$個數離散化成一個$1$到$pos - 1$的排列

然后在這個排列的最后加上$pos$，就構成了一個$1$到$pos$并且以$pos$結尾的排列

那么如果這個排列是符合要求的，那么整個排列也是符合要求的。

于是我們枚舉$i - 1$的位置$pos$，滿足條件的位置為$i - k <= pos <= i - 1$

我們在剩下的$i - 2$個數中選出$pos - 1$個放到前$pos - 1$個位置，然后乘上$D(pos)$。

然后還要乘上$(i - pos - 1)!$，因為$i - 1$到$i$之間的數都是隨意亂放的……

于是當前這種情況對答案的貢獻為

于是我們終于推出了D(n)的公式

最后的答案怎么計算呢

我們假設$n$的位置為$pos$

那么當$p(pos) = n$的時候，前pos個數的方案數為$D(pos) * C(n - 1, pos - 1)$

后$n - pos$個數的方案數為$(n - pos)!$

所以當$p(pos) = n$的時候對答案的貢獻為$D(pos) * C(n - 1, pos - 1)*(n - pos)!$

枚舉$pos$，累加即可。

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#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define rep(i, a, b) for (int i(a); i <= (b); ++i) #define dec(i, a, b) for (int i(a); i >= (b); --i)const int N = 1e6 + 10; const int mod = 1e9 + 7; int n, k; int f[N], s[N]; int fac[N], inv[N]; int ans = 0;inline int Pow(int a, int b, int mod){int ret(1);for (; b; b >>= 1, a = (1ll * a * a) % mod) if (b & 1) (ret = 1ll * ret * a) % mod;return ret; } void init(){fac[0] = 1;rep(i, 1, 1e6 + 1) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;rep(i, 1, 1e6 + 1) inv[i] = Pow(fac[i], mod - 2, mod); }inline void up(int &a, int b) { a = (0ll + a + b) % mod;} inline void mulup(int &a, int b){ a = 1ll * a * b % mod;}int main(){scanf("%d%d", &n, &k);init();rep(i, k + 2, n){f[i] = i - k - 1;up(f[i], s[i - 1] - s[i - k - 1]);mulup(f[i], fac[i - 2]);s[i] = (0ll + s[i - 1] + 1ll * f[i] * inv[i - 1] % mod) % mod;}rep(i, 1, n) up(ans, (int)1ll * f[i] * fac[n - 1] % mod * inv[i - 1] % mod);printf("%d\n", ans);return 0; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/cxhscst2/p/7935561.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Codeforces 889C Maximum Element（DP + 计数）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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