這道題目題面真長，廢話一堆。

另外：這大概是我第一道獨立做出來的HNOI2011年以后的題目了吧。像我水平這么差的都能做出來，dalao您不妨試一下自己想想？

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題目大意：給一個DAG，其中1號點沒有入度，現(xiàn)在新加入一條不重復(fù)的邊，使得它可能有環(huán)。求它的生成子圖個數(shù)，使得子圖正好包含N-1條邊且1號點與其它的所有點連通。

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題目分析：

我們首先要發(fā)現(xiàn)這是一個樹的結(jié)構(gòu)！有向的樹。

分析樹的特點，樹的父親只有一個，我們不妨從這里入手。

在這一個生成子圖中，誰是誰的父親？

我們知道1號點一定是root，這是為什么呢？

原因在于一號點沒有入度，我們就認為了它是root。

那么假設(shè)有一條x->y的路徑，那么x就是y的父親，這樣的定義是合理的。

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考慮不加邊之前的情況，圖是一個DAG，我們求它的生成樹(姑且這么叫吧)。

根據(jù)我們上面的分析，我們猜想：除一號點外所有點的入度乘積為該圖的生成樹數(shù)量。

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證明如下：

首先我們考慮這個是怎么來的。每個點選擇一個父親，則根據(jù)乘法原理得到上面的猜想。

那么我們的命題是：每個點選一個父親，則這個方案必定合法。

我們一共對N-1個點選了到fa的邊，每次選擇都合并了兩個點，共合并了N-1次，因此共N個點被合并，又由于不存在環(huán)的情況，所以這樣的方案是合法的。

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考慮多了一條邊的情況。那么我們由于已經(jīng)求得了所有不包含這條邊的情況，我們只需要分析多了這條邊的情況。

假設(shè)這是一條從x到y(tǒng)的邊。當這條邊必選的時候，y點必定不被考慮。因為它的父親已經(jīng)確定。

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那么我們對剩下的點重新做一遍乘法，得到了ans2。

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考慮答案多了什么。

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當選出的邊與當前邊成環(huán)的時候，這個并不是一個生成樹，我們沒辦法解決了嗎？當然不是。

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我們不妨單獨拿出一個環(huán)考慮。當形成了這個環(huán)的時候，對答案的影響是多少。實際上這不難統(tǒng)計，把剩下的點的入度全部乘起來就是答案。嘿嘿，這不就是總和除以現(xiàn)在的點數(shù)嗎。

那么我們考慮求y到x的路徑的點的入度的逆，DP一發(fā)輕松解決。然后乘法分配率證明正確性。

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后記：這題我先寫了個錯的然后發(fā)現(xiàn)我想錯了，答案小了，調(diào)了調(diào)變大了，然后又調(diào)，結(jié)果搜索出了正解233。

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代碼：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 102000; const int mod = 1000000007; int n,m,x,y; ll ans,ans2; int in[maxn],arr[maxn]; ll dist[maxn],inv[maxn]; vector <int> g[maxn]; vector <int> ng[maxn];ll fast_pow(int now,int p){if(p == 1) return now;if(p == 0) return 1;ll z = fast_pow(now,p/2); z*=z; z %= mod;if(p & 1){z*=now;z%=mod;}return z; }void read(){scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);for(int i=1;i<=m;i++){int a,b; scanf("%d%d",&a,&b);g[a].push_back(b);in[b]++;ng[b].push_back(a);}for(int i=2;i<=n;i++) inv[i] = fast_pow(in[i],mod-2); }void dfs(int now){if(arr[now]) return;arr[now] = 1;for(int i=0;i<ng[now].size();i++){dfs(ng[now][i]);dist[now] += (dist[ng[now][i]]*inv[now])%mod;dist[now] %= mod;} }void work(){ans = ans2 = 1;for(int i=2;i<=n;i++) ans = (ans*in[i]) % mod;if(x == y){printf("%lld\n",ans);return;}if(y == 1){printf("%lld\n",ans);return;}for(int i=2;i<=n;i++) if(i != y) ans2 = (ans2*in[i]) % mod;in[y]++;inv[y] = fast_pow(in[y],mod-2);dist[y] = inv[y];arr[y] = 1;dfs(x);ans += ans2; ans %= mod;ans -= (ans*dist[x])%mod; ans += mod; ans %= mod;printf("%lld\n",ans); }int main(){read();work();return 0; }

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/1-1-1-1/p/8596753.html

總結(jié)

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