題目傳送門：51nod

　　我們可以先觀察一下這個$f(x)=\sum_{d|x}\mu(d) \cdot d$。

　　首先它是個積性函數，并且$f(p^k)=1-p \ (k>0)$，這說明函數$f(x)$的值只與$x$的質因數集合有關，與每個質因數的次數無關，然后我們就容易發現$f(gcd(i,j)) \cdot f(lcm(i,j))=f(i) \cdot f(j)$。

　　于是原式化為

$$ \begin{aligned}?\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(gcd(i,j)) \cdot f(lcm(i,j)) & =\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(i) \cdot f(j) \\?& =(\sum_{i=1}^{n}f(i))^2 \\?\end{aligned} $$

　　那么我們只需求出$f(x)$的前綴和。

　　設$g(x)=x,h(x)=[x=1]$，容易證明$f \ast g=h$（這里$\ast$指狄利克雷卷積），那么我們可以用杜教篩求解。

#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<map> #define ll long long #define mod 1000000007 #define Mod1(x) (x>=mod?x-mod:x) #define Mod2(x) (x<0?x+mod:x) inline ll read() {ll x=0; char c=getchar(),f=1;for(;c<'0'||'9'<c;c=getchar())if(c=='-')f=-1;for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar())x=x*10+c-'0';return x*f; } inline void write(ll x) {static int buf[20],len; len=0;if(x<0)x=-x,putchar('-');for(;x;x/=10)buf[len++]=x%10;if(!len)putchar('0');else while(len)putchar(buf[--len]+'0'); } inline void writeln(ll x){write(x); putchar('\n');} inline void writesp(ll x){write(x); putchar(' ');} const int limit=2000000,inv2=(mod+1)/2; std::map<ll,ll>mp,mark; int p[limit+10],mn[limit+10],f[limit+10],sum[limit+10]; ll n,tot; void euler(int n) {tot=0; f[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!mn[i])p[++tot]=i,mn[i]=tot,f[i]=Mod2(1-i);for(int j=1;j<=mn[i]&&i*p[j]<=n;j++)mn[i*p[j]]=j,f[i*p[j]]=(j==mn[i]?f[i]:(ll)f[i]*f[p[j]]%mod);}sum[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=Mod1(sum[i-1]+f[i]); } ll solve(ll n) {if(n<=limit)return sum[n];if(mark[n])return mp[n];ll sum=n;for(ll i=2,j;i<=n;i=j+1){j=n/(n/i);sum-=solve(n/i)*(((i+j)%mod)*((j-i+1)%mod)%mod*inv2%mod)%mod;sum=Mod2(sum);}mark[n]=1;return mp[n]=sum; } int main() {n=read();euler(limit);mark.clear();mp.clear();ll ans=solve(n);writeln(ans*ans%mod);return 0; } 51nod2026

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【51nod2026】Gcd and Lcm（杜教筛）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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