前言：想起專接本的時候，不定積分的計算可把我折磨慘了，現在好點了，遇到大部分的題目知道該怎么解了，但是有些題還是屬實讓我有些苦惱，我在這里寫一篇超長文章來進行對癥下藥，也希望給大家一些幫助，參考書目我會放在最后

這或許是有史以來本公眾號以來最長文章

這也或許是我近一年最后一次寫大篇幅文章

今年就要考研了，請允許我自私一次，以后少更文了，感謝以來大家對我的支持，筆芯

正文：

題型Ⅰ—利用湊微分法求不定積分

解題思路：把被積函數和相似基本積分公式進行比較，被積函數中找到復合函數，大概率復合函數是突破口，用復合函數以外的元素進行湊復合部分，再用基本積分公式從而達到化簡的效果

一些常見的湊微分的形式我放在這里

1.

經分析可以看出sin5x是復合函數，而復合部分就是5x

恰好5x的導數就是5，也就是說∫5dx=5x+C，所以把5放到微分后面

設5x=u，再利用∫sinx=-cosx+C基本積分公式進行求解

熟練了以后中間設u這一步可以不用寫

2.

復合函數為cos(2x-π/4)，復合部分為2x-π/4

而放眼望去什么也沒有啊，此時要返回來想(2x-π/4)的導數是誰？

是2啊，π/4是常數，常數的導數為0，∫2dx=2x+C

多出來的2倍需要在前面乘以1/2平衡系數即可完成

3.

千萬不要被他的外表所嚇倒，以為100次方就很難解

還是冷靜地分析，復合函數為(1+x2)^100，復合部分為1+x2

剩余部分還有個x，想起2x的原函數不就是1+x2嗎？

前面乘以1/2平衡系數即可完成

4.

這個題咋一看也是，(e^(e^x)+x)什么玩意

但是如果你能聯想到指數函數的性質

那應該就沒什么問題了

5.

這個題很有特點的是分母是由兩部分相乘而成，而分子上什么也沒有

恰好本題解決關鍵不是去湊cos2x，而是去湊1+tanx，要知道

6.

本題難點在于如果你不知道復合的部分和剩余部分是什么關系

就很難處理往往被搞得很復雜，所用的guo'ch

7.

本題屬于一類題型，需要各位注意一下，之前的文章里有提到過，鏈接如下

不定積分—sinx與cosx型(可點擊)

在這里放一下我總結的結論，應該是沒問題的

8.

這個題明顯比前面幾個稍微上了點難度，做本體的關鍵在于你要知道兩個公式

9.

這個其實算跟BT類型了，我曾經還做到一個湊微分的，我硬是找不到怎么湊

本質還是找復合函數復合部分跟其他部分比較找關聯

10.

這個就是我所說的很BT的題，我不看答案實在想不起來到底該怎么湊

甚是苦惱，估計過個幾天再回頭做沒多少印象了

題型Ⅱ—利用變量代換法求不定積分

解題思路：將被積函數與相似的基本積分公式作比較是做這一題型的基本思路

如何進行變量替換，以下是常見的變量替換表格

11.

12.

13.

14.

15.

16.

本題就非常典型，屬于標準的變量替換法，其實湊微分跟它有點交集，本質都是換元，遇到根號要條件反射，想起整體替換，分子要想和分母相消一定要想到+n-n這個技巧，然后再用基本積分公式計算，屬于入門難度

17.

要學以致用鴨，上面說到了，遇到根號要想到什么？對，想起根號整體替換，因為要消掉根號鴨，然后把常數提到不定積分號的外面再用基本積分公式進行求解計算即可

18.

遇到a2-x2，要想到三角代換，令x=asint，則dx=acostdt，三角代換方法我放在這里

另外解決這個題還需要一個公式，還需要注意一些點

ln(a*b)=lna+lnb，ln(a/b)=lna-lnb

19.

遇到a2+x2，要想到三角代換，令x=atant，則dx=asec2tdt

具體不會的操作可以看上面的我用ipad截圖的圖片，相信會對你有幫助

20.

遇到x2-a2，要想到三角代換，令x=asect，則dx=asecttantdt

這里需要注意的是這里是-9，是3的平方，要設a倍的時候記得注意為3

21.

若m是分子中的最高次冪，n是分母中最高次冪，當n-m>1時，用倒代換90%成功

原本答案最后一步寫的比較跳躍，我這里展開寫了，應該不會覺得突兀了

22.

遇到這種題型呢，看分母有個很明顯的特征，n次多項式，一般有兩種思路，能因式分解就因式分解，不能的話只能湊完全平方公式然后用基本積分公式來求解，分母比分子的次數要大于1階，所以可以用倒代換來進行求解

23.

一題多解是我向往喜歡的理想題型，這個題目就很典型，你也可以選擇整體替換，你也可以三角代換，希望大家能靈活運用方法

24.

遇到根號，里面的項無法因式分解(a2-b2=(a+b)(a-b))，所以只能湊完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，然后湊基本積分求解即可，這個題另外的一個特點是分母的次數較高，也可以嘗試倒代換，這個題目也很好

25.

這個題的確有點難想，我跟你分享一下我怎么想的，首先沒法換元，可以考慮根式替換，但這個題有個更顯著的特點，你看復合函數部分，(1+cosx)'=-sinx，假如分子要是也有個sinx就好了，那就分子分母同時乘以sinx，那分母的sin2x該怎么辦怎么處理啊！別忘了一個最基本的公式sin2x+cos2x=1，那么推出sin2x=1-cos2x，還有后面的√1+cosx=u，那么推出cosx=u2-1，遇到cos2x直接替換即可，可能還有小伙伴不會因式分解的，這個需要自己在下面補習了

26.

不僅可以倒代換，三角代換，如果遇見指數較多的情況還可以指數代換，效果也不錯

那么把指數替換的一些技巧放在下面以供參考

27.

這個題相較于前面的指數替換要稍微復雜一些，用了兩次替換然后求解更容易一些

題型Ⅲ—利用分部積分法求不定積分

解題思路：(1)首先要將它寫成∫udv(或∫uv'dx)的形式

(2)多次應用分部積分法，每分部積分一次得以簡化，直至最后求出。

(3)用分部積分法有時可導出∫f(x)dx的方程，然后解出。

(4)有時用分部積分法可導出遞推公式

28.

本題屬于典型的用分部積分法，因為標志是被積函數中

還記得分部積分法確定U的口訣嗎？對了，反對冪三指(指三)

當一個被積函數中出現三角函數和指數函數的時候是同一優先級

可以看我下方的文章鏈接，還有表格法，相信你已經想到了

分部積分法(指三or三指)(可點擊跳轉至該文章)

分部積分法—公式法與表格法的終極對決(可點擊跳轉至該文章)

分部積分法之表格法(可點擊跳轉至該文章)

該題目的表格法如上

29.

這個題看著是蠻多項的哈，其實你也可以按乘法分配律一個個展開，然后相當于算三個小的不定積分題目，其實我覺得拆開更簡單一點吧

30.

還是按照一般的套路，口訣，反對冪三指，這個被積函數里只有冪函數和反三角函數，因此反三角函數當U，冪函數當V，然后對其化間即可

31.

這種題又是不定積分中的另一類題型，是回頭積分型，也就是說積著積著等號兩邊出現相同的部分，此時一定要注意不要不看你算的，一直循環下去就沒完沒了了，移項到等號的一邊除以系數即可求解，不熟悉這套路的話我再給你舉個例子，如下題

32.

相信你上面的那個題如果會的話，這個題也應該不在話下啦哈哈哈

這雖然并不是看起來表面上有兩種函數，但你知道的其實相當于已經湊好了

舊文新發--分部積分法(可點擊跳轉至該文章)

如果對分部積分法不是那么了解，可點擊本篇文章里有詳細介紹，還有視頻

33.

這個題的要點在于如何處理sin2x，高中的時候我們背過一個公式

叫做sin2x=2sinxcosx，相信這個公式對你來說一定沒有那么陌生

然后其實相當于把sinx當作t來運算了，熟練了就像這樣不用設t了

34.

這個題遇到兩項之和可以試著拆開分別積分，前面的題也有這樣做的

還有分母1±cosx一定要條件反射想到半角公式，不用問為什么就是這樣

35.

如果最后一步覺得突兀的話，那是因為用到了這個公式

所以啦公式，還是那句話不能死記硬背，我都沒想起來要用

我是翻了翻書才發現，誒，回頭還得從新推導一遍

題型Ⅳ—利用恒等變形的不定積分

解題思路：要熟記以下的公式以及常用的恒等變形

36.

這種題型需要你一上手來進行一個恒等變形然后求解，在上面我們也說過一種情況是令e^x=t來進行換元，具體問題具體分析

37.

這個題目你也可以按照下面專門一個類型叫做部分分式來進行求解，其實前三部用脫式除法就能完成，具體的做法看我文章后半部分的專門例子吧

38.

這個題按說可以用根式替換，看我下面的另外一種解法

39.

這個題突破點是arctan1/x，我們知道arctanx的導數是1/1+x^2，從這里下手應該會簡單一些，剩下的就不用我說了，基本公式

40.

這個例子很入門也很經典，希望大家能通過這個栗子對恒等變換有一個深深的記憶

題型Ⅴ—有理函數的不定積分

解題思路：

第一步——首先觀察分子與分母的最高次冪的大小，如果有必要請做除法。那什么情況下有必要呢？

若分子的最高次冪小于分母的最高次冪，那么你運氣很好直接進入第二步。

若不是，就要進行多項式的除法，然后再進入第二步。

第二步——對分母進行因式分解，使用二次公式或者猜想一個根，然后再做除法，以便因式分解被積函數的分母。

第三步——分部，像之前的描述那樣，分別寫出帶有未知常數的“分部”，寫下來一個像這樣的等式：被積函數=分部。

第四步——計算常數的值，把方程兩邊同時乘以分母，通過任一方法計算常數的值：(a)換掉x的值；(b)系數相等法；或者結合使用(a)和(b)兩種方法，現在你能用幾個有理函數的和來表示這個被積函數，這些有理函數可能是分子為常數，分母為線性函數的冪，或者分子為線性函數分母為二次函數。

第五步——求解分母為線性項次冪的積分，求解分母是線性函數次冪的積分，答案將會是對數形式或該線性項的負次冪。

第六步——對分母是二次函數的被積函數求積分，對于分母是二次函數且不能因式分解的被積函數求微分，先配方，再換元，然后把它盡可能分解為兩個積分，前者會涉及對數，而第二個會涉及正切函數的反函數，如果僅僅有一個積分，它可能是對數形式又可能是正切函數的反函數形式，這個公式通常是非常實用的。

有的題目是不需要都要經歷這六步，有時候可能直接跳到最后一步

但下面這個題是要完整經歷的吖

感興趣童鞋們可以做做

41.

這種題目，在于觀察分子與分母的關系，例如差了哪些項，差了幾倍，然后+n-n技巧，跟分子分母相消拆成若干個小式子分別求不定積分

42.

這個題看到分子和分母既不是差幾項幾倍的關系，不妨同乘同除一些東西會有不一樣的效果，然后再用完全平方公式進行湊，最后基本積分公式解決

43.

遇到這種假分式(“分子最高次冪比分母要高的”)，要用除法脫式計算把他拆成一個整式和一個真分式之和，具體的詳細操作，我把文章鏈接放在下面，非常詳細

有理函數積分的完整方法(可點擊跳轉)

只要你有耐心看相信你會看懂的，這種題型都是一個套路

44.

這個題目難度蠻大的，主要考的是分母的因式分解還有完全平方公式

45.

凡是三角函數都能用第二個方法萬能公式來解，理論上

但實際上可能操作起來比較麻煩，到萬不得已的時候不要用第二種方法

46.

分母因式分解，通過待定系數法確定各個項的式子，也可以設特殊值來求解未知項

47.

分子次數跟分母次數差一次，就能湊微分了，也可以分母因式分解，但可能比較麻煩

48.

分母是兩項相乘，就直接拆開，然后平衡系數，并逐項求不定積分

49.

主要用的是倍角公式，然后逐項拆，再用萬能角公式

50.

看到括號里的部分，然后+n-n，做好幾次這個方法，逐項求不定積分

題型Ⅵ—含根式的不定積分解法

解題思路：

51.

把根式換成次冪的形式，有時會比直接換元法要簡單些

52.

分母用完全平方公式，然后湊微分即可

53.

這個題目的做法跟上面的一樣再用基本積分公式求得

54.

分子與分母差常數項+n-n，然后湊微分即可

55.

方法與上面同上

56.

分子與分母通分，然后拆項各自求不定積分

57.

令整個根號為t，然后再拆分各自求不定積分

58.

設整個根號為t，然后約分，然后+n-n

59.

分母+n-n，然后拆項用基本積分公式求解

60.

這個題跟59題的方法一樣

題型Ⅶ—三角有理式的不定積分

61.

遇見1要想起來它的變形，然后各自求不定積分

62.

還是考慮1的變形，湊完全平方公式

63.

方法同上

64.

方法同上

65.

用被角公式與分子分母約分

66.

看到好幾個三角函數相乘，用積化和差

67.

用倍角函數預處理，在各自求不定積分

68.

sin2x=1-cos2x，再各自求不定積分

69.

看見一大堆三角函數，可以用tanx萬能公式求解即可

70.

cosx用基本積分公式換元成sinx，分子加項減項再拆項即可

71.

sinx用基本積分公式換元成cosx，分子加項減項再拆項即可

72.

分母都是四次方，用完全平方公式再用基本求解公式求解即可

題型Ⅷ—含反三角函數的不定積分

解題思路：一般設反三角函數為u換元即可

73.

看到反三角函數，然后又看到分母的a2-x2的標準形式

用x=cost進行替換即可化簡即可

74.

還是一樣，表面上一個函數，直接用分部積分法求解即可，然后遇到根號換元

75.

看到兩個反三角函數，直接用分部積分法求解即可

76.

設反三角函數為u，然后反解即可

題型Ⅸ—抽象函數的不定積分

77.

觀察復合函數用其他的項來求它

78.

觀察整個式子既有導數又有次方，求解的時候稍微有點亂

習題部分

79.

湊微分然后用分部積分法求解

80.

這個題目不止一種解法，其他的算法各位再想想拓展一些思路

81.

觀察(x+2)^-2的導數與(x+1)只差常數倍，然后用分部積分法求解即可

82.

用分部積分法求解即可

83.

還是分部積分法，誒，都是一個套路

84.

設次冪為換元然后再拆項求不定積分即可

85.

看見復合函數x-1然后再去換元各項求不定積分

86.

還是一樣的步驟，求不定積分

87.

分母有理化，然后次冪相加各自求不定積分即可

88.

分母是兩部分項相乘，然后再拆項

分別求不定積分

89.

用分部積分法，e^x宜放在dv部分，而另一因式比較繁瑣，應該拆項化簡

90.

貌似是一個函數，其實已經給你湊好了，直接用分部積分法求解即可

91.

遇到根號換元，然后tan2x=sec2x-1求解即可

92.

復合函數的部分復合的導數等于其余項，這個題目比較簡單

93.

遇到被積函數中大部分項目都是指數函數，那就設指數函數為t，同時除以e^2x，再湊完全平方公式即可

94.

看到1，sin2x+cos2x=1，然后分子分母約分，以此類推循環

求導不能再拆為止

95.

遇到奇次冪然后乘開，各自用基本積分公式求解即可

96.

遇到根號換元，然后乘法分配律各自求不定積分

97.

把分母放到d的后面然后分部積分法

98.

看到復合函數部分，復合部分的導數等于剩余部分，然后用半角公式求解

99.

看到了根號要想起換元然后再用分部積分法求解再用+n-n

這個題目不是很難

100.

最后的這個題目是群里有人問的，網上的答案普遍不是很詳細

這次我寫了個完整版，相信會對你有所幫助

對文章有什么疑問或錯誤，歡迎與我一起討論

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筆耕不輟，有你支持

總結

以上是生活随笔為你收集整理的不定积分24个基本公式_不定积分计算—典型题及解题技巧的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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