學(xué)習(xí)階段：大學(xué)物理。

前置知識(shí)：多元微積分、磁場(chǎng)高斯定理、磁場(chǎng)環(huán)路定理、力與功。

tetradecane：電磁學(xué)（8）——磁場(chǎng)高斯定理，磁場(chǎng)環(huán)路定理?zhuanlan.zhihu.com

1. 磁場(chǎng)對(duì)電流的作用力——安培力

電流是由一連串穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的電荷形成的。運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中會(huì)受到洛倫茲力，而電荷被束縛在載流導(dǎo)線中，自然載流導(dǎo)線在磁場(chǎng)中也會(huì)受到磁場(chǎng)的作用力，這個(gè)力被稱(chēng)為安培力。法國(guó)物理學(xué)家安培在磁場(chǎng)對(duì)電流的作用上做出了杰出貢獻(xiàn)。

圖1 電流元的安培力分析

考慮一段電流元

處在磁場(chǎng) 中，假設(shè)在 時(shí)間中恰有該電流元中的所有正電荷 勻速離開(kāi)了，則（考慮通過(guò)該電流元右側(cè)截面的電荷量可知）電流的大小為 ，且電荷運(yùn)動(dòng)的速率為 .

由下文

tetradecane：電磁學(xué)（7）——磁場(chǎng)，電流的磁效應(yīng)，畢奧薩伐爾定律?zhuanlan.zhihu.com

中1.2節(jié)洛倫茲力的公式

知

那么一段曲線為

的載流導(dǎo)線受到的安培力就是上式做曲線積分的結(jié)果，即

這就是安培力的計(jì)算公式。

在

為勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，可以把它從積分中拿出來(lái)，得到

這里

表示曲線 從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量。也就是說(shuō)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，載流導(dǎo)線所受的安培力只與導(dǎo)線的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，而與其曲線形狀無(wú)關(guān)。

進(jìn)一步，若

和 垂直，則 ，這與高中所學(xué)的安培力和左手定則是相容的，如圖2所示：

圖2 安培力與左手定則

2. 安培力的應(yīng)用

2.1 兩平行直導(dǎo)線的相互作用力

圖3 兩平行直導(dǎo)線的相互作用力

在 處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以用磁場(chǎng)環(huán)路定理計(jì)算：

則導(dǎo)線

每長(zhǎng)度 受到的安培力為

根據(jù)安培力的方向可知：同向電流相互吸引，異向電流相互排斥。

2.2 平面載流線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的受力

圖4 分解勻強(qiáng)磁場(chǎng)

如圖4所示，磁場(chǎng)

可以分解為垂直分量 和平行分量 ，顯然垂直分量只會(huì)導(dǎo)致線圈擴(kuò)張或收縮，安培力的合力和合力矩均為零。這里我們假設(shè)線圈是剛性的，不會(huì)形變，那么線圈的受力只與平行分量有關(guān)。

記垂直于載流線圈且符合右手螺旋關(guān)系的單位法向量為

，則 .

圖5 將線圈切割為小矩形

如圖5所示，可以將線圈切割為無(wú)數(shù)小矩形，設(shè)小矩形的邊長(zhǎng)分別為

與 . 其中每一塊小矩形的上下兩條邊與磁場(chǎng)平行，無(wú)安培力，而左右兩條邊的安培力等大反向，也就是說(shuō)合力為零，而力偶矩為

任意兩個(gè)相鄰的矩形合并時(shí)，力矩相加（如矩形1與2，矩形2與3），電流等效為最外側(cè)的一圈。也就是說(shuō)，整個(gè)線圈的受力情況等效于這些小矩形的受力情況之和，那么整個(gè)線圈的合力也為零，而合力矩為

其中

是線圈的面積。我們稱(chēng) 為線圈的磁偶極矩/磁矩，那么 是線圈受到的磁力矩，它的方向與一般力矩的方向一致，符合右手螺旋關(guān)系。

2.3 安培力做功

考慮一段電流元在磁場(chǎng)中移動(dòng)：

圖6 一段電流元在磁場(chǎng)中移動(dòng)

設(shè)電流

不變。電流元的方向、磁場(chǎng)可變，記為關(guān)于 的函數(shù)。

電流元受到的安培力為

這整個(gè)過(guò)程中安培力做的功為

而電流元掃過(guò)的磁通量為

根據(jù)向量混合積的性質(zhì)，有恒等式

故

恒成立。既然電流元滿足這種關(guān)系，則積分后可知安培力對(duì)任意載流導(dǎo)線的功都有該恒等式：

其中

表示載流導(dǎo)線掃過(guò)曲面 的磁通量，曲面的正側(cè)可用如下方法判定：將 的邊界 視為回路，由導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后的電流方向確定其繞行方向，則曲面 的正側(cè)與其邊界 符合右手螺旋關(guān)系。

再考慮載流線圈在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)：

圖7 載流線圈在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

線圈在初始狀態(tài)有一個(gè)自己的磁通量

，在終止?fàn)顟B(tài)也有一個(gè)磁通量 .

線圈掃過(guò)的曲面的磁通量記為

，根據(jù)上文的結(jié)論，安培力對(duì)線圈做的功等于

因?yàn)檎w構(gòu)成一封閉曲面，由磁場(chǎng)高斯定理得

故

，即安培力對(duì)線圈做的功等于線圈本身磁通量的變化量乘以電流。

---

總結(jié)

安培力公式：

.

平面載流線圈的磁偶極矩/磁矩

，其中 是線圈的面積， 是線圈符合右手螺旋關(guān)系的單位法向量。線圈受到的磁力矩 .

載流導(dǎo)線移動(dòng)時(shí)，安培力做功

，其中 表示載流導(dǎo)線掃過(guò)曲面 的磁通量，曲面的正側(cè)可用如下方法判定：將 的邊界 視為回路，由導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后的電流方向確定其繞行方向，則曲面 的正側(cè)與其邊界 符合右手螺旋關(guān)系。

載流線圈移動(dòng)時(shí)，安培力做功

，其中 表示線圈在初始狀態(tài)的磁通量， 表示線圈在終止?fàn)顟B(tài)的磁通量。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的两条平行导线同向电流_电磁学（9）——磁场对电流的作用，安培力的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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