學習階段：大學物理。

前置知識：多元微積分、磁場高斯定理、磁場環路定理、力與功。

tetradecane：電磁學（8）——磁場高斯定理，磁場環路定理?zhuanlan.zhihu.com

1. 磁場對電流的作用力——安培力

電流是由一連串穩定運動的電荷形成的。運動電荷在磁場中會受到洛倫茲力，而電荷被束縛在載流導線中，自然載流導線在磁場中也會受到磁場的作用力，這個力被稱為安培力。法國物理學家安培在磁場對電流的作用上做出了杰出貢獻。

圖1 電流元的安培力分析

考慮一段電流元

處在磁場 中，假設在 時間中恰有該電流元中的所有正電荷 勻速離開了，則（考慮通過該電流元右側截面的電荷量可知）電流的大小為 ，且電荷運動的速率為 .

由下文

tetradecane：電磁學（7）——磁場，電流的磁效應，畢奧薩伐爾定律?zhuanlan.zhihu.com

中1.2節洛倫茲力的公式

知

那么一段曲線為

的載流導線受到的安培力就是上式做曲線積分的結果，即

這就是安培力的計算公式。

在

為勻強磁場時，可以把它從積分中拿出來，得到

這里

表示曲線 從起點指向終點的向量。也就是說，在勻強磁場中，載流導線所受的安培力只與導線的起點與終點有關，而與其曲線形狀無關。

進一步，若

和 垂直，則 ，這與高中所學的安培力和左手定則是相容的，如圖2所示：

圖2 安培力與左手定則

2. 安培力的應用

2.1 兩平行直導線的相互作用力

圖3 兩平行直導線的相互作用力

在 處產生的磁感應強度可以用磁場環路定理計算：

則導線

每長度 受到的安培力為

根據安培力的方向可知：同向電流相互吸引，異向電流相互排斥。

2.2 平面載流線圈在勻強磁場中的受力

圖4 分解勻強磁場

如圖4所示，磁場

可以分解為垂直分量 和平行分量 ，顯然垂直分量只會導致線圈擴張或收縮，安培力的合力和合力矩均為零。這里我們假設線圈是剛性的，不會形變，那么線圈的受力只與平行分量有關。

記垂直于載流線圈且符合右手螺旋關系的單位法向量為

，則 .

圖5 將線圈切割為小矩形

如圖5所示，可以將線圈切割為無數小矩形，設小矩形的邊長分別為

與 . 其中每一塊小矩形的上下兩條邊與磁場平行，無安培力，而左右兩條邊的安培力等大反向，也就是說合力為零，而力偶矩為

任意兩個相鄰的矩形合并時，力矩相加（如矩形1與2，矩形2與3），電流等效為最外側的一圈。也就是說，整個線圈的受力情況等效于這些小矩形的受力情況之和，那么整個線圈的合力也為零，而合力矩為

其中

是線圈的面積。我們稱 為線圈的磁偶極矩/磁矩，那么 是線圈受到的磁力矩，它的方向與一般力矩的方向一致，符合右手螺旋關系。

2.3 安培力做功

考慮一段電流元在磁場中移動：

圖6 一段電流元在磁場中移動

設電流

不變。電流元的方向、磁場可變，記為關于 的函數。

電流元受到的安培力為

這整個過程中安培力做的功為

而電流元掃過的磁通量為

根據向量混合積的性質，有恒等式

故

恒成立。既然電流元滿足這種關系，則積分后可知安培力對任意載流導線的功都有該恒等式：

其中

表示載流導線掃過曲面 的磁通量，曲面的正側可用如下方法判定：將 的邊界 視為回路，由導線運動到終點后的電流方向確定其繞行方向，則曲面 的正側與其邊界 符合右手螺旋關系。

再考慮載流線圈在磁場中的運動：

圖7 載流線圈在磁場中的運動

線圈在初始狀態有一個自己的磁通量

，在終止狀態也有一個磁通量 .

線圈掃過的曲面的磁通量記為

，根據上文的結論，安培力對線圈做的功等于

因為整體構成一封閉曲面，由磁場高斯定理得

故

，即安培力對線圈做的功等于線圈本身磁通量的變化量乘以電流。

---

總結

安培力公式：

.

平面載流線圈的磁偶極矩/磁矩

，其中 是線圈的面積， 是線圈符合右手螺旋關系的單位法向量。線圈受到的磁力矩 .

載流導線移動時，安培力做功

，其中 表示載流導線掃過曲面 的磁通量，曲面的正側可用如下方法判定：將 的邊界 視為回路，由導線運動到終點后的電流方向確定其繞行方向，則曲面 的正側與其邊界 符合右手螺旋關系。

載流線圈移動時，安培力做功

，其中 表示線圈在初始狀態的磁通量， 表示線圈在終止狀態的磁通量。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的两条平行导线同向电流_电磁学（9）——磁场对电流的作用，安培力的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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