1.Manacher算法

一個串中，找到最長的回文子串。

1.1 暴力解決

得解決長度為奇數的回文和長度為偶數的回文。

1.1.1 奇回文

• i位置自己肯定構成回文；長度為1
• i+1位置和i-1位置相不相等？相等，構成回文。長度為3
• i+2位置和i-2位置相不相等？相等，構成回文。長度為5

1.1.2 偶回文

1.1.1 中的方法不適用

1.1.3 解決方法

向字符串的開頭、中間和結尾加東西。

既有奇回文：11311

又有偶回文：11

處理：

然后計算每一位的回文長度：

最終結果是：11/2=5

此方法適用于奇回文和偶回文。

添加的字符無論啥都可以。因為添加的字符不會和原字符串中的字符進行比較，只是和添加的字符比較（實軸永遠和實軸比較，虛軸和虛軸比較）。

時間復雜度：

2.概念

2.1 回文直徑

回文半徑

在Manacher算法中，需要準備一個數組——回文半徑數組。存以每個位置為中心的情況下，可括出來的回文半徑的長度。

加速：數組后面的位置的值能否利用前面的值，減少計算，實現加速。

2.2 最右回文右邊界

所有回文半徑中最靠右的位置。

初始：R在-1的位置；

0位置：只能擴到自己；

1位置：可以擴到2位置（#1#）

2位置：不行

3位置：可擴到6位置(#1#2#1#)

表示的是：每個位置下，R最右能到的位置。

3右邊擴到了最右的0位置。

2.3 回文右邊界的中心

C表示：第一次取得這個最右邊界的中心位置。

0位置時，它的C是3.

3的右邊界到它右邊的1，后面的2的右邊界也是2后面的1，但是1的C=3的位置（記錄的是第一次到達的）。

3.分情況討論

3.1 i位置不在回文右邊界中——

比如剛開始的時候，R在-1位置，i在1位置。就是i不在回文右邊界。

則暴力擴。

時間復雜度：R的變化范圍是從0~N，所有擴的范圍都在推后R，而且不會回退，所以總的時間復雜度是

3.2 i位置在回文右邊界的里面

位置1的回文右邊界在2位置，當i為2時，它在回文右邊界的里面。

3.2.1 i'的回文半徑在L里面——

由C和R得到回文左邊界L，假設此時i的位置如圖所示：

C肯定在i的左邊。關于C做i的對稱點i'：

由回文數組中i'的回文半徑，可得到一下多個可能性：

可能性1：i'的回文區域在L和C的中間

舉例：

C：在F的位置

F的R和L在K位置

i'和i在b的位置

i'為重新的回文是aba，完全在L和C中間。

結論：i位置的回文半徑和i'的相等

證明：

小R'到小L'之間肯定是回文結構

且這個范圍不會擴的更大。

3.2.2 L和R沒包住小L和小R——

舉例：

此時i的回文半徑就是i到R。

證明：

過程：

3.2.3 L壓線

舉例：

這種i的回文半徑能不能擴的更大需要嘗試。上例中，由于k=k，所以可以擴。

如下圖，k≠s，不可以擴

時間復雜度同3.1：

4.應用

給定一個字符串，要求只能在串后面添加字符，使之成為一個回文串。要求添加的字符數最少。

比如，給定：

添加cba會使上串變為回文串，且最短。

它就是在求必須包含最后一個字符（"1"）的情況下，最長回文串是多少。前面不是的部分（“abc”）逆序過來，就是答案。

改寫Manacher：

• 一直求每個位置的回文半徑。
• 當R到達最后一個位置的時候，停。得到回文半徑到R的位置C。此時有R和C。
• 然后將R以C為中心，對稱到R’。即得包含最后一個位置的最長回文串。
• 然后將前面剩余部分逆序，添加到給定字符串的后面。

?

比如：

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法练习day18——190409（Manacher）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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