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线性规划——规范型，标准型，基阵、基本解、基本可行解、基变量、非基变量.... 概念梳理

發(fā)布時間：2024/10/14 编程问答 277 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了线性规划——规范型，标准型，基阵、基本解、基本可行解、基变量、非基变量.... 概念梳理小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

前言
最優(yōu)化—線性規(guī)劃
- 模型問題
- - 線性規(guī)劃模型的一般形式（min）
  - 線性規(guī)劃規(guī)范形式
  - 線性規(guī)劃標準型
  - 模型的轉換
  - 線性規(guī)劃中的規(guī)律
  - - 規(guī)范形式頂點的數(shù)學描述
    - 標準形式頂點的數(shù)學描述
    - 標準形式頂點的等價描述之一
    - 標準形式頂點的等價描述之二
  - 線性規(guī)劃標準形式的一些基本概念
  - 線性規(guī)劃標準形式的基本定理

前言

此總結參考清華王煥剛老師的課，本人只是渣渣輝。

最優(yōu)化—線性規(guī)劃

模型問題

線性規(guī)劃模型的一般形式（min）

$min?∑j=1ncjxjs.t.?∑j=1naijxj=bi,?1≤i≤p∑j=1naijxj≥bi,?p+1≤i≤mxj≥0,?1≤j≤q∞>xj>?∞,?q+1≤j≤n\begin{array}{l} \min \sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{j} \\ \text { s.t. } \quad \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \quad \forall 1 \leq i \leq p \\ \quad \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j} \geq b_{i}, \quad \forall p+1 \leq i \leq m \\ \quad x_{j} \geq 0, \forall 1 \leq j \leq q \\ \quad \infty>x_{j}>-\infty, \forall q+1 \leq j \leq n \end{array}$

線性規(guī)劃規(guī)范形式

線性規(guī)劃標準型

$max?c1x1+c2x2+?+cnxn目標函數(shù)?s.t.?a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1a21x1+a22x2+?+a2nxn=b2?am1x1+am2x2+?+amnxn=bm}等式約束?\left.\begin{array}{ll} \max \quad c_{1} x_{1}+c_{2} x_{2}+\cdots+c_{n} x_{n} & \text { 目標函數(shù) } \\ \text { s.t. } \quad a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ \quad \quad \quad a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots \\ \quad \quad \quad a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{array}\right\} \text { 等式約束 }$

$x1≥0x2≥0?xn≥0}決策變量具有非負約束\left.\begin{array}{c} x_{1} \geq 0 \\ x_{2} \geq 0 \\ \vdots \\ x_{n} \geq 0 \end{array}\right\} \text {決策變量具有非負約束}$

$min?(or?max?)∑j=1ncjxjmin?(or?max?)CTXs.t.?∑j=1naijxj=bi,?1≤i≤m?s.t.?AX=b?xj≥0,?1≤j≤nX≥0C=(c1?cn)X=(x1?xn)A=(a11?a1n???am1?amn)b?=(b1?bm)\begin{array}{l} \min (\text { or } \max ) \sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{j} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \min (\text { or } \max ) C^{T} X \\ \text { s.t. } \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \quad \forall 1 \leq i \leq m \quad \Rightarrow \quad \text { s.t. } \quad A X=\vec{b} \\ x_{j} \geq 0, \forall 1 \leq j \leq n \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad X\geq0\\ C=\left(\begin{array}{c} c_{1} \\ \vdots \\ c_{n} \end{array}\right) \quad X=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) \quad A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right) \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array}\right) \end{array}$

以后我們所考慮的線性規(guī)劃標準型為:
$max?CTXs.t.?AX=b?X≥0\begin{array}{c} \max C^{T} X \\ \text { s.t. } A X=\vec{b} \\ X \geq 0 \end{array}$
其中 $\in R^{n}, X \in R^{n}, A \in R^{m \times n}, \vec{b} \in R^{m},$ 并假定

n > m

A

的行向量線性無關

模型的轉換

對于模型間的轉換，其實就是一些變量的添加和符號的改變

線性規(guī)劃中的規(guī)律

一維、二維、三維規(guī)劃中：

可行集中任意兩點的連線都在可行集內：凸集

最優(yōu)解都不在兩個不同點的連線上：頂點

所有頂點的個數(shù)有限：有限集

線性規(guī)劃的可行集是凸集，標準線性規(guī)劃問題也是凸集。

所以高緯要解決的問題是：1 可行集是否是凸集，2 頂點集為有限集 3 在頂點集中找到最優(yōu)解

如果這些問題確定了后，關鍵就是找到頂點了

規(guī)范形式頂點的數(shù)學描述

規(guī)范形式可行集 $Ω:∑j=1naijxj≥bi,?1≤i≤m\Omega: \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j} \geq b_{i}, \quad \forall 1 \leq i \leq m$
$xj≥0,?1≤j≤nx_{j} \geq 0, \forall 1 \leq j \leq n$
對任意的 $\in \Omega,$ 將所有的線性不等式進行如下劃分
$∑j=1naijxj=bi,i=k(1),?,k(m^),xj=0,j=k(m^+1),?,k(n^)∑j=1naijxj>bi,?i?{k(1),?,k(m^)},xj>0,?j?{k(m^+1),?,k(n^)}\begin{array}{l} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, i=k(1), \cdots, k(\hat{m}), x_{j}=0, j=k(\hat{m}+1), \cdots, k(\hat{n}) \\ \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}>b_{i}, \forall i \notin\{k(1), \cdots, k(\hat{m})\}, x_{j}>0, \forall j \notin\{k(\hat{m}+1), \cdots, k(\hat{n})\} \end{array}$
那么當且僅當?shù)仁椒匠探M的解唯一時 $X$ 是 $Ω\Omega$ 的頂點

標準形式頂點的數(shù)學描述

$Ω:∑j=1naijxj=bi,?1≤i≤mxj≥0,?1≤j≤n\begin{aligned} \Omega: & \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \quad \forall 1 \leq i \leq m \\ & x_{j} \geq 0, \forall 1 \leq j \leq n \end{aligned}$

由于由等式方程約束條件產(chǎn)生的只能是等式，所以對任意的 $\in \Omega$ 可進行如下劃分（注意 $n > m ）$
$∑j=1naijxj=bi,?1≤i≤m,xj>0,j=k(1),?,k(m^)xj=0,j=k(m^+1),?,k(n)\sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \forall 1 \leq i \leq m, \begin{array}{c} x_{j}>0, j=k(1), \cdots, k(\hat{m}) \\ x_{j}=0, j=k(\hat{m}+1), \cdots, k(n) \end{array}$
當且僅當上面的等式方程組解唯一時 $X$ 是 $Ω\Omega$ 的頂點

總結：如果一個點 $\in \Omega$ ，使得一些約束求作用（使得一些不等式的等號成立），若對于這些成立的約束構成的線性方程組來說，它的解不只是 $X$ ，那么 $X$ 不是 $Ω\Omega$ 的頂點。

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標準形式頂點的等價描述之一

$∑j=1naijxj=bi,?1≤i≤m?∑j=1n(a1j?amj)xj=(b1?bm)?∑j=1nPjxj=b?Pj=(a1j,?,amj)T,?1≤j≤nxj>0,j=k(1),?,k(m^)∑j=1naijxj=bi,?1≤i≤m,xj=0,j=k(m^+1),?,k(n)?xk(j)>0,?1≤j≤m^,∑j=1mPk(j)xk(j)=b?\begin{array}{l} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \forall 1 \leq i \leq m \Rightarrow \sum_{j=1}^{n}\left(\begin{array}{c} a_{1 j} \\ \vdots \\ a_{m j} \end{array}\right) x_{j}=\left(\begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array}\right) \\ \Rightarrow \sum_{j=1}^{n} P_{j} x_{j}=\vec{b} \quad P_{j}=\left(a_{1 j}, \cdots, a_{m j}\right)^{T}, \forall 1 \leq j \leq n \\ \qquad \begin{array}{c} x_{j}>0, \quad j=k(1), \cdots, k(\hat{m}) \\ \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}=b_{i}, \forall 1 \leq i \leq m, x_{j}=0, \quad j=k(\hat{m}+1), \cdots, k(n) \\ \Rightarrow x_{k(j)}>0, \forall 1 \leq j \leq \hat{m}, \quad \sum_{j=1}^{m} P_{k(j)} x_{k(j)}=\vec{b} \end{array} \end{array}$

當且僅當 $\in \Omega$ 的正分量對應的系數(shù)向量線性無關

標準形式頂點的等價描述之二

如果 $(P1,?,Pn)\left(P_{1}, \cdots, P_{n}\right)$ 是行滿秩矩陣，那么 $X$ 是可行集
$Ω={X=(x1,?,xn)T∣∑j=1nPjxj=b?,xj≥0,?1≤j≤n}\Omega=\left\{X=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \mid \sum_{j=1}^{n} P_{j} x_{j}=\vec{b}, x_{j} \geq 0, \forall 1 \leq j \leq n\right\}$
的頂點充要條件是：存在可逆方陣 $(Pk(1),?,Pk(m))\left(P_{k(1)}, \cdots, P_{k(m)}\right)$ , 可以把 $X$ 的分量劃分為 $xk(j),j=1,?,n,x_{k(j)}, j=1, \cdots, n,$ 使?jié)M足
$(xk(1)?xk(m))=(Pk(1),?,Pk(m))?1b?≥0,xk(j)=0,?m+1≤j≤n\left(\begin{array}{c}x_{k(1)} \\ \vdots \\ x_{k(m)}\end{array}\right)=\left(P_{k(1)}, \cdots, P_{k(m)}\right)^{-1} \vec{b} \geq 0, \quad x_{k(j)}=0, \forall m+1 \leq j \leq n$
主要理由 $:∑j=1mPk(j)xk(j)=b??正分量對應的系?數(shù)向量線性無關?\large : \sum_{j=1}^{m} P_{k(j)} x_{k(j)}=\vec{b} \Rightarrow \begin{array}{l}\text { 正分量對應的系 } \\ \text { 數(shù)向量線性無關 }\end{array}$

線性規(guī)劃標準形式的一些基本概念

基陣、基本解、基本可行解、基變量、非基變量
稱可逆矩陣 $(Pk(1),?,Pk(m))\left(P_{k(1)}, \cdots, P_{k(m)}\right)$ 為基陣
稱其分量由下式?jīng)Q定的 $X$ 為基本解
$(xk(1)?xk(m))=(Pk(1),?,Pk(m))?1b?,xk(j)=0,?m+1≤j≤n\left(\begin{array}{c} x_{k(1)} \\ \vdots \\ x_{k(m)} \end{array}\right)=\left(P_{k(1)}, \cdots, P_{k(m)}\right)^{-1} \vec{b}, x_{k(j)}=0, \forall m+1 \leq j \leq n$
稱可行的基本解為基本可行解 稱基陣對應變量為基變量，其余變量為非基變量
標準線性規(guī)劃的基本可行解就是可行集的頂點
標準線性規(guī)劃的可行集的頂點個數(shù)總是有限的

線性規(guī)劃標準形式的基本定理

【定理1】一個標準形式線性規(guī)劃問題若有可行解，則至少存在一個基本可行解
【定理2】一個標準形式線性規(guī)劃問題若有有限的最優(yōu)目標值，則一定存在一個基本可行解是最優(yōu)解
【定理3】如果標準線性規(guī)劃問題的某個基可行解的相鄰的基可行解都不比它好，那么這個基可行解就是最優(yōu)解

綜上所述：對于線性規(guī)劃，只用求得它的基本可行解，就能在有限的基本可行解中找到最優(yōu)解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性规划——规范型，标准型，基阵、基本解、基本可行解、基变量、非基变量.... 概念梳理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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