泛函分析3——线性空间和赋范线性空间总结
文章目錄
- 線性空間的10條特性
- 線性空間的子集
- 子空間和凸集
- 商空間
- 直和
- 賦范線性空間
- 商空間的范數和商映射
- 賦范線性空間的完備性
線性空間的10條特性
[1]x+y∈X[1] x+y \in X[1]x+y∈X whenever x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X
[2] x+y=y+xx+y=y+xx+y=y+x for all x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X
[3] There exists a unique element in X,X,X, denoted by 0 , such that x+0=0+x=xx+0=0+x=xx+0=0+x=x for all x∈Xx \in Xx∈X;
線性空間中一定存在0元素
[4] Associated with each x∈Xx \in Xx∈X is a unique element in X,X,X, denoted by ?x,-x,?x, such that x+(?x)=x+(-x)=x+(?x)= ?x+x=0-x+x=0?x+x=0
線性空間中元素一定存在唯一對應的負元素
[5] (x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z) for all x,y,z∈Xx, y, z \in Xx,y,z∈X
[6] α?x∈X\alpha \cdot x \in Xα?x∈X for all x∈Xx \in Xx∈X and for all α∈F\alpha \in \mathbb{F}α∈F
[7]α?(x+y)=α?x+α?y[7] \alpha \cdot(x+y)=\alpha \cdot x+\alpha \cdot y[7]α?(x+y)=α?x+α?y for all x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X and all α∈F\alpha \in \mathbb{F}α∈F
[8](α+β)?x=α?x+β?x[8](\alpha+\beta) \cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x[8](α+β)?x=α?x+β?x for all x∈Xx \in Xx∈X and all α,β∈F\alpha, \beta \in \mathbb{F}α,β∈F
[9](αβ)?x=α?(β?x)[9](\alpha \beta) \cdot x=\alpha \cdot(\beta \cdot x)[9](αβ)?x=α?(β?x) for all x∈Xx \in Xx∈X and all α,β∈F\alpha, \beta \in \mathbb{F}α,β∈F
[10]1?x=x[10] 1 \cdot x=x[10]1?x=x for all x∈Xx \in Xx∈X
線性空間的子集
（1）對加和，數乘封閉的子集就是該線性空間的線性子空間。
子空間和凸集
（1）對加和，數乘封閉的子集就是該線性空間的線性子空間。
（2）線性包
（3）凸包：又有絕對凸的（凸加balanced），所有線性子空間都是絕對凸的。
商空間
商空間是按照一定關系對應的，線性空間中的元素對的集合，它可以用一個元素來表示一個集合，看樣子可以用來降維。
直和
在一個線性空間X中存在兩個子線性空間M和N，X中的一個元素可以分別由M,N中唯一的一個元素相加得到。unique性質。
賦范線性空間
（1）范數是定義在線性空間上的一個實值函數，具有四條特性
N1. ∥x∥≥0\|x\| \geq 0∥x∥≥0;
N2. ∥x∥=0?x=0\|x\|=0 \Longleftrightarrow x=0∥x∥=0?x=0
N3. ∥λx∥=∣λ∣∥x∥\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|∥λx∥=∣λ∣∥x∥
N4. ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥ (Triangle Inequality).
（2）在賦范線性空間中，可以由范數定義一個測度，d(x,y)=∥x?y∥d(x, y)=\|x-y\|d(x,y)=∥x?y∥：每一個賦范線性空間都是一個測度空間，一般我們把賦范線性空間的測度用上述范數來定義。測度具有下述兩種特性
? (i) d(x,y)=d(x+z,y+z)(Translation?Invariance)?d(x, y)=d(x+z, y+z) \quad \text { (Translation Invariance) }d(x,y)=d(x+z,y+z)?(Translation?Invariance)?
? (ii) d(λx,λy)=∣λ∣d(x,y)d(\lambda x, \lambda y)=|\lambda| d(x, y) \quadd(λx,λy)=∣λ∣d(x,y) (Absolute Homogeneity),
商空間的范數和商映射
（1）商空間X/M的范數，就是對應y的下確界
∥[x]∥:=inf?y∈[x]∥y∥=inf?m∈M∥x+m∥=inf?m∈M∥x?m∥=d(x,M),where?[x]∈X/M\|[x]\|:=\inf _{y \in[x]}\|y\|=\inf _{m \in M}\|x+m\|=\inf _{m \in M}\|x-m\|=d(x, M), \text { where }[x] \in X / M ∥[x]∥:=y∈[x]inf?∥y∥=m∈Minf?∥x+m∥=m∈Minf?∥x?m∥=d(x,M),?where?[x]∈X/M
賦范線性空間的完備性
（1）賦范空間的收斂：它是定義在范數的基礎上上的，不只是一個賦范線性空間的序列號趨于無窮的時候等于一個值。所以它也叫作范數收斂或者強收斂。
lim?n→∞∥xn?x∥=0\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_{n}-x\right\|=0limn→∞?∥xn??x∥=0
（2）完備性
柯西數列：
一個柯西序列是指一個這樣一個序列，它的元素隨著序數的增加而愈發(fā)靠近。更確切地說，在去掉有限個元素后，可以使得余下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數。
完備性就是
一個度量空間X中的所有柯西數列都會收斂到X 中的一點 ，那么X被稱為是一個完備空間
（3）巴拿赫空間
[a] Banach space是一個metric由norm給出的完備賦范空間（所有的賦范空間都是度量空間）。
[b] 如果每一個賦范線性空間X中的絕對收斂級數都收斂到一個數，那么我們就叫X為巴拿赫空間。
（4）賦范線性空間的有界集，完全有界集和緊子集
[a] 有界很簡單，就是對于賦范線性空間X中所有元素的范數永遠小于一個正數。
[b] 完全有界，總是可以被一個同一賦范線性空間的子集中的元素所限制。
[c] 序列緊：賦范線性空間中的每一個序列都是一個收斂到一個數的序列，那么這個賦范線性空間就是序列緊的。其中序列緊和緊在度量空間中是等價的。
[d] 當一個賦范線性空間中的一個子集中的每一個序列都有一個柯西子序列，那么這個子集就是完全有界集。
（5）有限維賦范線性空間X特性
[a] X上所有的范數都是等價的
[b] X是完備的，且是閉合的
[c] X中一個子集如果是閉合并且有界的，那么它也是序列緊的。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的泛函分析3——线性空间和赋范线性空间总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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