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最大子序列和

Question：給定整數(shù)(可能有負(fù)數(shù))，求的最大值(為方便起見，如果所有整數(shù)均為負(fù)數(shù)，則最大子序列和為0)。

示例：IN????:???[-2,11,-4,13,-5,-2]
OUT????:???20??即從A2-A4

暴力求解

第一種思路很簡(jiǎn)單，暴力求解。從數(shù)組第一個(gè)整數(shù)開始遍歷每一種長(zhǎng)度的最大值，然后遍歷之后的最大值即是最大子序列和，如果最大值為負(fù)數(shù)則初始化為0，例如：指定數(shù)組為：[-2,11,-4,13,-5,-2]首先初始化最大值為-2，因?yàn)?2為負(fù)數(shù)所以最大值為0，然后計(jì)算-2+11，然后更新最大值為9，然后計(jì)算-2+11-4，保持當(dāng)前最大值，然后計(jì)算-2+11-4+13，更新最大值為18，一直加到數(shù)組最后一位數(shù)，再?gòu)?1開始求最大值，然后再?gòu)?4開始，就這樣把數(shù)組每一種子序列和都遍歷了，求得最大值。源碼(Java)：public?class?maxValueSum?{
????public?static?void?main(String[]?args)?{
????????int[]?array?=?{-2,11,-4,13,-5,-2};
????????System.out.println(Max(array));
????}
????public?static?int?Max(int[]?array)?{
????????int?maxnum?=?array[0];
????????for?(int?i=0;i????????????int?currentnum?=?0;
????????????for?(int?j=i;j????????????????currentnum?+=?array[j];
????????????????if?(currentnum>maxnum)
????????????????????maxnum?=?currentnum;
????????????}
????????}
????????return?maxnum;
????}
}
源碼(Python)：def?Max(array)?:
????maxnum?=?0
????for?i?in?range(len(array)):
????????num?=?0
????????for?j?in?range(i,len(array)):
????????????num?+=?array[j]
????????????if?num?>?maxnum:
????????????????maxnum?=?num
????return?maxnum
array?=?[-2,11,-4,13,-5,-2]
print(Max(array))
上面暴力求解法很簡(jiǎn)單，但是有個(gè)突出的問(wèn)題，就是時(shí)間復(fù)雜度為O()，當(dāng)涉及到大量輸入的時(shí)候，效率非常低。

分治+遞歸求解

通常來(lái)講，我們遇見遞歸的時(shí)候往往伴隨的還有很高的時(shí)間復(fù)雜度，但對(duì)于這個(gè)問(wèn)題來(lái)講還有一個(gè)使用遞歸+分治實(shí)現(xiàn)的稍微復(fù)雜的方法，其時(shí)間復(fù)雜度卻僅為O()，或許這個(gè)算法就是體現(xiàn)遞歸為例的最好范例了。這個(gè)算法使用一種"分治"的策略，其想法是把問(wèn)題分成兩個(gè)大致相等的子問(wèn)題，然后采用遞歸對(duì)他們求解，這是分，治是將兩個(gè)子問(wèn)題的解合并到一起并再做些少量的附加工作，最后得到整個(gè)問(wèn)題的解。假如將傳入的數(shù)組從中間分成左右兩個(gè)部分，例如：[-2,11,-4,13,-5,-2]->[-2,11,-4]和[13,-5,-2]那么問(wèn)題的解可能出現(xiàn)在三處出現(xiàn)：

左半部分[-2,-11,-4]

右半部分[13,-5,-2]

或者橫跨兩個(gè)部分，它一定包括左半部分的最后一個(gè)值和右半部分的第一個(gè)值。

對(duì)上述問(wèn)題求解得：左半部分的最大值為11，右半部分的最大值為13，而橫跨這兩個(gè)部分包含左半部分最后一個(gè)值以及右半部分第一個(gè)值的最大值為20，即11-4+13，將三者對(duì)比，則返回最大值20。而這個(gè)時(shí)候我們求各部分最大值是直接看出來(lái)的，那實(shí)際應(yīng)該怎么求呢？機(jī)器可看不出來(lái)，只能靠算法求解。那怎么求？用剛才講過(guò)的暴力求解?那樣的話我們分這一次沒有意義，因此我們需要遞歸地繼續(xù)分下去。看一下算法源碼(Java)：public?class?maxVlaueSum2?{
????public?static?void?main(String[]?args)?{
????????//?初始化數(shù)組
????????int[]?array?=?{-2,11,-4,13,-5,-2};
????????System.out.println(maxSum(array,0,array.length-1));
????}

????/**
?????*?遞歸求解函數(shù)
?????*?@param?array ：傳入要解決的數(shù)組
?????*?@param?left ?：要解決子問(wèn)題的左界
?????*?@param?right ：要解決子問(wèn)題的右界
?????*?@return??：返回三個(gè)部分的最大值
?????*/
????public?static?int?maxSum(int[]?array,int?left,int?right)?{
????????//?? BASE情況，如果遞歸到了最后一層，那么返回合適的值，小于0返回0，大于0返回該數(shù)。
????????if(left?==?right)?{
????????????if?(array[left]?>?0)
????????????????return?array[left];
????????????else?return?0;
????????}
????????int?center?=?(left+right)/2;????//??取得數(shù)組中點(diǎn)
????????int?leftSubSUM?=?maxSum(array,left,center);?????//??子問(wèn)題左半部分最優(yōu)解
????????int?rightSubSUM?=?maxSum(array,center+1,right);?????//??子問(wèn)題右半部分最優(yōu)解

????????int?leftNowSum?=?0,?maxleftSum?=?0;?????//??當(dāng)前問(wèn)題左半部分等待求和的當(dāng)前值以及最大值

????????//??遍歷求包含左半部分最后一個(gè)值的最大值
????????for?(int?i=center;i>=left;i--)?{
????????????leftNowSum?+=?array[i];
????????????if?(leftNowSum?>?maxleftSum)?{
????????????????maxleftSum?=?leftNowSum;
????????????}
????????}
????????int?rightNowSum?=?0,maxrightSum?=?0;????//??當(dāng)前問(wèn)題右半部分等待求和的當(dāng)前值以及最大值

????????//??遍歷求包含右半部分的第一個(gè)值的最大值
????????for?(int?j=center+1;j<=right;j++)?{
????????????rightNowSum?+=?array[j];
????????????if?(rightNowSum>maxrightSum)?{
????????????????maxrightSum?=?rightNowSum;
????????????}
????????}
????????//??返回當(dāng)前問(wèn)題的左半部分最大值、右半部分的最大值和橫跨兩部分最大值的最大值。即為當(dāng)前問(wèn)題的解。
????????return?Math.max(Math.max(leftSubSUM,rightSubSUM),(maxleftSum+maxrightSum));
????}
}
源碼(Python)：def?maxSUM(array,left,right):
????if?left==right:
????????if?array[left]?>?0:
????????????return?array[left]
????????else:
????????????return?0
????center?=?int((left+right)/2)
????leftSubSUM?=?maxSUM(array,left,center)
????rightSubSUM?=?maxSUM(array,center+1,right)

????leftNowNum,maxleftSum?=?0,0
????for?i?in?reversed(range(left,center+1)):
????????leftNowNum?+=?array[i]
????????if?leftNowNum?>?maxleftSum:
????????????maxleftSum?=?leftNowNum

????rightNowNum,maxrightSum?=?0,0
????for?i?in?range(center+1,right+1):
????????rightNowNum?+=?array[i]
????????if?rightNowNum?>?maxrightSum:
????????????maxrightSum?=?rightNowNum
????return?max(leftSubSUM,rightSubSUM,maxleftSum+maxrightSum)
if?__name__?==?'__main__':
????array?=?[-2,11,-4,13,-5,-2]
????print(maxSUM(array,0,len(array)-1))
兩個(gè)程序的原理相同，運(yùn)行正確，不過(guò)鄙人水平有限，如果各位發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題還煩請(qǐng)指出，謝謝！這個(gè)算法稍微復(fù)雜一點(diǎn)，程序更長(zhǎng)一點(diǎn)，不過(guò)時(shí)間復(fù)雜度只有O()，相比O()已經(jīng)好了很多，不過(guò)事實(shí)上還有一種更加有效且巧妙的算法。

算法3

這個(gè)算法我也不清楚它的名字，不過(guò)它確是最好的，首先看源代碼：源碼(Java)：public?class?maxValueSum3?{
????public?static?void?main(String[]?args)?{
????????int[]?array?=?{-2,11,-4,13,-5,-2};
????????System.out.println(maxSubSum(array));
????}
????public?static?int?maxSubSum(int?[]?array)?{
????????int?maxSum?=?0,NowSum?=?0;
????????for?(int?i?=?0;?i?????????????NowSum?+=?array[i];

????????????if?(NowSum?>?maxSum)
????????????????maxSum?=?NowSum;
????????????else?if?(NowSum?0)
????????????????NowSum?=?0;
????????}
????????return?maxSum;
????}
}
源碼(Python)：def?maxSubSum(array):
????maxSum,NowSum?=?0,0
????for?i?in?range(len(array)):
????????NowSum?+=?array[i]
????????if?NowSum?>?maxSum:
????????????maxSum?=?NowSum
????????elif?NowSum?0:
????????????NowSum?=?0
????return?maxSum
if?__name__?==?'__main__':
????array?=?[-2,11,-4,13,-5,-2]
????print(maxSubSum(array))
代碼很短，不過(guò)要想清楚原理可能比之前都稍微難點(diǎn)。它是正確可行的，并且不難看出時(shí)間復(fù)雜度為O(N)，它的效率很高，不過(guò)到底是怎么實(shí)現(xiàn)的呢？那寧哥我就用蹩腳的話來(lái)簡(jiǎn)單分享下我的理解吧。首先可以看到，該算法只是簡(jiǎn)單遍歷了一遍數(shù)組而已，就找到了最大子序列和。為什么可以這樣？首先，任何負(fù)的子序列不可能是最優(yōu)子序列的前綴。除非數(shù)組中的所有值均為負(fù)數(shù)，只要有一個(gè)正數(shù)，那么最優(yōu)子序列的和的前綴一定不可能是負(fù)數(shù)。因此這也就說(shuō)明了代碼中的else if(NowSum<0) NowSUm=0;了，也就是如果當(dāng)前子序列的和為負(fù)值，那么初始化為0，它已經(jīng)不可能是最有子序列的前綴了，就把它的記錄拋棄了，如果當(dāng)前位置在N，那問(wèn)題就變成了求array[N+1]-array[array.length-1]的最有子序列了。然后還有一個(gè)判斷語(yǔ)句if(NowSum > maxSum) maxSum = thisSum;，看起來(lái)很簡(jiǎn)單，意思就是如果當(dāng)前子序列和大于記錄的最大值，那就更新。可如果放到整個(gè)程序里如何保證能正確運(yùn)行呢？對(duì)一個(gè)子序列，如果是每一個(gè)數(shù)都遞增或者遞減比較好理解，遞增的話最大子序列值就是從第一個(gè)大于0的數(shù)開始到整個(gè)序列，如果是遞減的話就是第一個(gè)數(shù)開始到第一個(gè)小于等于0之前的那個(gè)數(shù)。還有兩種情況，子序列整體遞增或整體減小，但是數(shù)大大小小不確定。如果子序列整體是增加的，也好理解，仍然是整個(gè)序列值唄，那如果子序列是整體遞減呢？如果整體是遞減的，說(shuō)明剛開始某個(gè)地方會(huì)有一個(gè)最大值，那樣的話我們的方法在剛開始就已經(jīng)把序列最大值記錄了，后面只是更新而已，哈哈哈突然解決。明白了嗎？

???end???

走在路上

goldsunC

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的c 最大子序列和_最大子序列和暴力法、分治+递归法、妙法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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