微分学里的中值定理
(羅爾中值定理)設函數$f(x)$在區間$[a,b]$上連續，在區間$(a,b)$上可微.若$f(a)=f(b)$,則在區間$(a,b)$的某點處$f'(x)=0$.即存在$\xi$,使得$a<\xi<b,f'(\xi)=0$.
證明：根據閉區間上的連續函數有最大值可知，由于$f(x)$是閉區間$[a,b]$上的連續函數，因此$f(x)$在$[a,b]$上有最大值.設$f(\xi)$為$f$在$[a,b]$上的最大值.當$\xi\neq a$且$\xi\neq b$時，對于任意給定的正實數$\varepsilon$,我們有
$$\frac{f(\xi)-f(\xi+\varepsilon)}{-\varepsilon}\leq 0$$
因此
$$\lim_{x^+\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}\leq 0$$
還有
$$\frac{f(\xi)-f(\xi-\varepsilon)}{\varepsilon}\geq 0$$
因此
$$\lim_{x^-\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}\geq 0$$
由于$f$在$(a,b)$上可微，因此
$$\lim_{x^-\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}=\lim_{x^+\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}$$
因此
$$\lim_{x\to\xi}\frac{f(\xi)-f(x)}{\xi-x}=0$$
當$\xi=a$或$\xi=b$時，可得$f(a)=f(b)$是$f$在$[a,b]$上的最大值.現在該怎么辦呢？沒關系，現在咱不考慮$f$在$[a,b]$上的最大值了，而考慮$f$在$[a,b]$上的最小值(閉區間上的連續函數是有最小值的).然后仿照上面的證明照樣得證.因此羅爾中值定理得證.
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注:羅爾定理的高維推廣是不成立的.即如下命題是不成立的.
設 $E$ 是 $\mathbf{R}^n$ 的開集合,并且 $T:E\to \mathbf{R}^m$ 是在$E$上的可微函數.$\forall x_1,x_2\in E$,若有 $f(x_1)=f(x_2)$,則存在 $k\in \{\lambda x_1+(1-\lambda)x_2:\lambda\in (0,1)\}$,使得 $f'(k)=0$.
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微分中值定理:設函數$f(x)$在$[a,b]$上連續，在$(a,b)$上可微，則存在$\xi$,使得
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi),a<\xi<b$$
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證明：構造函數
$$g(x)=f(x)-[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)+f(b)]$$
(這個函數之所以能構造出來，乃是圖象啟發的緣故)
易得$g(a)=g(b)=0$,根據羅爾中值定理，存在$a<\xi<b$,使得$g'(\xi)=0$,即
$$f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$
得證.
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注1:我認為這種方法技巧性還是太強，我認為將來我要采取這樣一種方法，即不考慮XY平面上的函數，而考慮XY平面上的曲線來證明微分中指定理.我認為可導函數在旋轉一定角度之后會變成可導曲線.這一點留待將來驗證.(其實按這種想法走下去應該會得到柯西中值定理)
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注2:微分中值定理的有限形式是：
若$a_1,\cdots,a_n$是有限個實數，則
$$\min\{a_1,\cdots,a_n\}\leq\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\leq \max\{a_1,\cdots,a_n\}$$
微分中值定理的離散形式為
若$a_1,\cdots,a_n,\cdots$是可數個實數，則
$$\inf\{(a_n)_{n=1}^{\infty}\}\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\leq \limsup_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\leq\sup\{(a_n)_{n=1}^{\infty}\}$$
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柯西中值定理:設函數$f(x),g(x)$在區間$[a,b]$上連續，在區間$(a,b)$上可微，則存在$a<\xi<b$,使得
$$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$
其中$g(a)\neq g(b)$,且$\forall t\in (a,b),g'(t)\neq 0$.
證明：即證
$$[f(a)-f(b)]g'(\xi)=[g(a)-g(b)]f'(\xi)$$
令
$$P(x)=[f(a)-f(b)]g(x)-[g(a)-g(b)]f(x)$$
則易驗證
$$P(a)=P(b)$$
根據羅爾中值定理,可知存在$a<\xi<b$,使得
$$P'(\xi)=0$$
柯西中值定理得證.
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注3:柯西中值定理是微分中值定理的推廣，只要令$g(x)=x$就變成了微分中值定理.
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注4:柯西中值定理也有其鮮明的幾何意義.
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注5:我發現
$$P(a)=P(b)=
\begin{vmatrix}
f(a)&g(a)\\
f(b)&g(b)
\end{vmatrix}
$$
我還發現
$$P(x)=
\begin{vmatrix}
f(a)-f(b)&g(a)-g(b)\\
f(x)&g(x)
\end{vmatrix}
$$
我相信這里二階行列式的出現不是偶然的.行列式的出現揭示了結構.
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注6:推廣微分中指定理的有限形式，我們可以得到柯西中值定理的有限形式.
如圖，設點1的坐標是$(a_1,b_1)$,點2的坐標是$(a_2,b_2)$,點3的坐標是$(a_3,b_3)$.則易得，在式子有意義的條件下，有
$$\min\{\frac{b_2-b_1}{a_2-a_1},\frac{b_3-b_2}{a_3-a_2}\}\leq\frac{b_3-b_1}{a_3-a_1}=\frac{(b_2-b_1)+(b_3-b_2)}{(a_2-a_1)+(a_3-a_2)}\leq \max\{\frac{b_2-b_1}{a_2-a_1},\frac{b_3-b_2}{a_3-a_2}\}$$
利用數學歸納法，可以將上式推廣.
轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/20/3828109.html
與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖總結
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