吳恩達老師在coursea上的機器學習課程的作業是OCTAVE（matlab）做的，當時python還不怎么流行，現在吳恩達老師也用python了，我把原課程作業用python重新寫了一遍，并放在我的github上。（黃海廣）

本文是第一部分，回歸作業的重構。

機器學習練習 1 - 回歸

單變量線性回歸

代碼修改并注釋：黃海廣，haiguang2000@qq.com

import?numpy as?np import?pandas as?pd import?matplotlib.pyplot as?pltpath = 'data/ex1data1.txt'#這里讀取原始作業的數據 data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit']) data.head()

數據長這樣：

看下數據長什么樣子：

data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(8,6)) plt.show()

現在讓我們使用梯度下降來實現線性回歸，以最小化成本函數。

首先，我們將創建一個代價函數：

其中：

def computeCost(X, y, theta):inner = np.power(((X * theta.T)?- y), 2)# (m,n)?@ (n, 1)?->?(n, 1) # return np.sum(inner) / (2 * len(X))return?np.sum(inner) / (2?* X.shape[0])

讓我們在訓練集中添加一列，以便我們可以使用向量化的解決方案來計算代價和梯度。

data.insert(0, 'Ones', 1) data.head()

# set X (training data) and y (target variable) cols?= data.shape[1] X?= data.iloc[:,:cols-1]#X是所有行，去掉最后一列 y?= data.iloc[:,cols-1:]#X是所有行，最后一列

代價函數是應該是numpy矩陣，所以我們需要轉換X和Y，然后才能使用它們。我們還需要初始化theta。

X?= np.matrix(X.values) y?= np.matrix(y.values) theta?= np.matrix(np.array([0,0]))

看下維度:

X.shape, theta.shape, y.shape

輸出：

((97, 2), (1, 2), (97, 1))

計算代價函數 (theta初始值為0).

computeCost(X, y, theta)32.072733877455676

batch gradient decent（批量梯度下降）

def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))parameters = int(theta.ravel().shape[1])cost = np.zeros(iters)for?i in?range(iters):error = (X * theta.T) - yfor?j in?range(parameters):term = np.multiply(error, X[:,j])temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))theta = tempcost[i] = computeCost(X, y, theta)return?theta, cost

初始化一些附加變量 - 學習速率alpha和要執行的迭代次數。

alpha?= 0.01 iters?= 1000

現在讓我們運行梯度下降算法來將我們的參數theta合于訓練集。

g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters) gmatrix([[-3.24140214, 1.1272942 ]])

最后，我們可以使用我們擬合的參數計算訓練模型的代價函數（誤差）。

computeCost(X, y, g)4.515955503078912

現在我們來繪制線性模型以及數據，直觀地看出它的擬合。

x?= np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100) #np.linspace在指定的間隔內返回均勻間隔的數字。 f?= g[0, 0] + (g[0, 1] * x) fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,6)) ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction') ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data') ax.legend(loc=2) ax.set_xlabel('Population') ax.set_ylabel('Profit') ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size') plt.show()

由于梯度方程式函數也在每個訓練迭代中輸出一個代價的向量，所以我們也可以繪制。請注意，代價總是降低 - 這是凸優化問題的一個例子。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8)) ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r') ax.set_xlabel('Iterations') ax.set_ylabel('Cost') ax.set_title('Error vs. Training Epoch') plt.show()

多變量線性回歸

練習1還包括一個房屋價格數據集，其中有2個變量（房子的大小，臥室的數量）和目標（房子的價格）。我們使用我們已經應用的技術來分析數據集。

path = 'data/ex1data2.txt' data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price']) data2.head()

對于此任務，我們添加了另一個預處理步驟 - 特征歸一化。這個對于pandas來說很簡單

data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std() data2.head()

現在我們重復第1部分的預處理步驟，并對新數據集運行線性回歸程序。

#?添加一列 data2.insert(0, 'Ones', 1)#?設置X和y cols = data2.shape[1] X2 = data2.iloc[:,0:cols-1] y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]#?轉為矩陣并且初始化theta X2 = np.matrix(X2.values) y2 = np.matrix(y2.values) theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters) #?得到模型誤差 computeCost(X2, y2, g2)0.13070336960771892

我們也可以快速查看這一個的訓練進程。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8)) ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r') ax.set_xlabel('Iterations') ax.set_ylabel('Cost') ax.set_title('Error vs. Training Epoch') plt.show()

normal equation（正規方程）

正規方程是通過求解下面的方程來找出使得代價函數最小的參數的：?。 假設我們的訓練集特征矩陣為 X（包含了）并且我們的訓練集結果為向量 y，則利用正規方程解出向量??。 上標 T 代表矩陣轉置，上標-1 代表矩陣的逆。設矩陣，則：

梯度下降與正規方程的比較：

梯度下降：需要選擇學習率 α，需要多次迭代，當特征數量 n 大時也能較好適用，適用于各種類型的模型

正規方程：不需要選擇學習率 α，一次計算得出，需要計算，如果特征數量 n 較大則運算代價大，因為矩陣逆的計算時間復雜度為，通常來說當小于 10000 時還是可以接受的，只適用于線性模型，不適合邏輯回歸模型等其他模型。

# 正規方程 def?normalEqn(X, y):theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等價于X.T.dot(X)return?thetafinal_theta2=normalEqn(X, y)#感覺和批量梯度下降的theta的值有點差距 final_theta2

輸出：

matrix([[-3.89578088],[ 1.19303364]])

備注：

代碼和數據都在：

https://github.com/fengdu78/Coursera-ML-AndrewNg-Notes/tree/master/code/ex1-linear%20regression

參考：

https://www.coursera.org/course/ml

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總結

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