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重磅干貨，第一時間送達

鑒于之前MIT的線代筆記沒有跟新完和很多童鞋希望pdf版本下載學習，這里我把相關資源放到github上并重新更新完，希望對大家學習有所幫助。

pdf下載地址與Github地址:

https://github.com/yizhen20133868/MIT-Linear-Algebra-Notesgithub.com

如有幫助，歡迎大家給個Star！！

目錄如下：

該筆記總結了我們在學習MIT線性代數課程的學習經驗和過程。

課程順序是按照麻省理工公開課的 Linear Algebra. 記錄的學習筆記。

第一課，第二課，第三課

本筆記作者介紹：
丁坤博 東北大學本科生，推免至北京大學攻讀研究生
覃立波 哈爾濱工業大學SCIR實驗室在讀博士生，導師車萬翔老師

一、知識概要

本節我們再談置換矩陣與轉置矩陣，并介紹對稱陣。之后便進入學習線代的關 鍵所在：向量空間與子空間。

二、置換矩陣

2.1 置換矩陣回顧

所謂的置換矩陣 P，就是用來完成行交換的矩陣，更具體來講，是行重新排列 了的單位矩陣。例如 I 就是一個置換矩陣，只不過 I 對矩陣沒影響。

那么對于 n 階矩陣來說，有多少個置換矩陣呢？答案是：n!種，也就是將單 位矩陣 I 各行重新排列后所有可能的情況數量。

2.2 置換矩陣的使用

在講消元法的時候，主元位置為 0 是一件很讓人頭疼的事情，這時就需要置 換矩陣 P 來完成行交換，確保消元過程順利進行。上節課學習 A = LU 分解時， 我們沒有考慮要交換行的過程，如果我們想寫出更普適的 LU 分解式的話，必須 把行交換情況考慮進去，即：

PA = LU

先用行交換使得主元位置不為 0，行順序正確。其后再用 LU 分解。

三.轉置矩陣

3.1 轉置矩陣回顧

之前簡單介紹過轉置矩陣，即

3.2 對稱陣

對稱矩陣，顧名思義，就是主對角線兩側元素對應相等的矩陣?；蛘哒f，對 矩陣 A，如果有：

四、向量空間與子空間

4.1 向量空間

首先明確“向量空間”的概念，它表示一整個空間的向量，但是要注意，不 是任意向量的集合都能被稱為向量空間。所謂的向量空間，必須滿足一定規則， 就是：該空間對線性運算（相加，數乘）封閉。類似：v → 3v 或 v，w → v+w 運算，若得到的 3v 或者 v+w 都仍然在此空間中，那么這個空間可稱為向量空間。

很明顯，這部分空間無法滿足“線性組合仍在空間中”的要求，比如數乘運算 時，隨便取個負數，向量就跑到第三象限去，脫離 D 空間范圍內了。

4.2 子空間

上面的反例已經證明了。在向量空間里隨便取其一部分，很可能得到的不是 向量空間。那如果我們取向量空間的一部分，將其打亂，構成的有沒有可能是向 量空間呢？

4.3 列空間簡要介紹

上面介紹的子空間都是基于已知的圖像來尋找的，接下來我們來通過具體的 矩陣來構造出一個子空間，比如：列向量構造出的列空間。

這里還要注意列向量之間的性質，如果列向量之間就是共線的，那么其列空 間就是一條過原點的直線。

五.學習感悟

這節算是結束了之前部分對基本運算和基本概念的介紹。介紹了向量空間和 子空間，并由子空間引出了通過具體的列向量構成的空間—列空間。如何理解空 間十分重要，本節中對低維的空間做了圖，目的主要是便于我們理解“空間”這 一概念。

筆記pdf下載地址：https://github.com/yizhen20133868/MIT-Linear-Algebra-Notes

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的附笔记pdf下载，MIT中文线性代数课程精细笔记[第四课]的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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