本文介紹了馬爾可夫決策過程，首先給出了馬爾可夫決策過程的定義形式，其核心是在時(shí)序上的各種狀態(tài)下如何選擇最優(yōu)決策得到最大回報(bào)的決策序列，通過貝爾曼方程得到累積回報(bào)函數(shù)；然后介紹兩種基本的求解最優(yōu)決策的方法，值迭代和策略迭代，同時(shí)分析了兩種方法的適用場(chǎng)景；最后回過頭來介紹了馬爾科夫決策過程中的參數(shù)估計(jì)問題：求解-即在該狀態(tài)下采取該決策到底下一狀態(tài)的概率。

作者 | 文杰

編輯 | yuquanle

馬爾科夫決策過程

A、馬爾科夫決策過程

機(jī)器學(xué)習(xí)算法（有監(jiān)督，無監(jiān)督，弱監(jiān)督）中，馬爾科夫決策過程是弱監(jiān)督中的一類叫增強(qiáng)學(xué)習(xí)。增加學(xué)習(xí)與傳統(tǒng)的有監(jiān)督和無監(jiān)督不同的地方是，這些方法都是一次性決定最終結(jié)果的，而無法刻畫一個(gè)決策過程，無法直接定義每一次決策的優(yōu)劣，也就是說每一次的決策信息都是弱信息，所以某種程度上講，強(qiáng)化學(xué)習(xí)也屬于弱監(jiān)督學(xué)習(xí)。從模型角度來看，也屬于馬爾科夫模型，其與隱馬爾科夫模型有非常強(qiáng)的可比性。

下面是一個(gè)常用的馬爾科夫模型的劃分關(guān)系

不考慮動(dòng)作考慮動(dòng)作

狀態(tài)完全可見	馬爾科夫鏈(MC)	馬爾科夫決策過程(MDP)
狀態(tài)不完全可見	隱馬爾科夫模型(HMM)	不完全可觀察馬爾科夫決策過程(POMDP)

馬爾科夫決策過程：

馬爾科夫決策過程由五元組組成

：表示狀態(tài)集合

：表示一組動(dòng)作

：表示在某一狀態(tài)下，采取動(dòng)作，轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)態(tài)的概率，也就是說在確定的狀態(tài)下采取相應(yīng)的動(dòng)作之后不能完全確定下一狀態(tài)，而是以一定的概率確定下一狀態(tài)。

：表示決策過程的一個(gè)阻尼系數(shù)，用戶定義回報(bào)在決策過程中隨時(shí)間打折扣，加快決策國(guó)產(chǎn)的收斂

：表示在該狀態(tài)下的一個(gè)回報(bào)，有時(shí)由動(dòng)作和狀態(tài)共同決定回報(bào)該時(shí)刻的回報(bào)。

有了上面的定義之后，一個(gè)完整的馬爾科夫決策過程狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：

該過程表示從出發(fā)，有決策函數(shù)來選擇相應(yīng)的動(dòng)作，然后以概率到達(dá)下一狀態(tài)，這里的只是表示第時(shí)刻的狀態(tài)，而的值屬于狀態(tài)集。

回報(bào)函數(shù)定義之后，整個(gè)決策過程的累積回報(bào)如下：

當(dāng)回報(bào)函數(shù)與狀態(tài)無關(guān)累積回報(bào)如下：

其中為折扣因子，隨著決策不斷進(jìn)行，回報(bào)不斷打折扣。

當(dāng)定義不同決策函數(shù)時(shí)，我們會(huì)得到不同的回報(bào)，因此就定義了一個(gè)決策到回報(bào)的函數(shù)。在整個(gè)決策過程中，給定決策函數(shù)—在狀態(tài)下采取動(dòng)作。因此，從狀態(tài)出發(fā)，采用決策函數(shù)，有累積回報(bào)函數(shù)如下：

直接最大化累積回報(bào)函數(shù)不易，從遞推角度來看，由貝爾曼方程有：

其中為立即回報(bào)，表示由采取動(dòng)作之后轉(zhuǎn)移到下一個(gè)狀態(tài)集中，具體到哪個(gè)狀態(tài)的概率為。其解釋性可以理解為下象棋最終的累積回報(bào)為輸贏，在第狀態(tài)下的累積回報(bào)則是當(dāng)前狀態(tài)下的立即回報(bào)以及未來的回報(bào)。第一項(xiàng)為立即回報(bào)，第二項(xiàng)就是未來的回報(bào)。

有了上面的貝爾曼方程，我們的目標(biāo)就是最大化任意狀態(tài)下出發(fā)的累積回報(bào)函數(shù)，其中也是一個(gè)決策函數(shù)，但是在累積回報(bào)函數(shù)中它是我們需要優(yōu)化的變量。目標(biāo)函數(shù)如下：

由目標(biāo)函數(shù)可以看出，最優(yōu)回報(bào)和最優(yōu)決策一一對(duì)應(yīng)。最大化累積回報(bào)對(duì)應(yīng)的決策函數(shù)就是最有決策，最有決策對(duì)應(yīng)的累積回報(bào)也是最大累積回報(bào)，所以最有決策如下：

有了最優(yōu)決策和最大累積回報(bào)，那么必定有下式：

也就是說最優(yōu)決策下對(duì)應(yīng)的累積回報(bào)一定不小于一般的決策下的累積回報(bào)。

值得注意是，最優(yōu)決策是出于全局考慮的，是從所有狀態(tài)下出發(fā)到得到的累積回報(bào)的加和最大，這就意味著決策函數(shù)不保證其中每一個(gè)狀態(tài)出發(fā)根據(jù)決策函數(shù)得到的累積回報(bào)都是最大的。

最優(yōu)決策：

也許上面的目標(biāo)函數(shù)還不清晰，如何求解最有決策，如何最大化累積回報(bào)

下面結(jié)合例子來介紹如何求解上面的目標(biāo)函數(shù)。且說明累積回報(bào)函數(shù)本身就是一個(gè)過程的累積回報(bào)，回報(bào)函數(shù)才是每一步的回報(bào)。

下面再來看求解上述最優(yōu)問題，其中 就是以s為初始狀態(tài)沿著決策函數(shù)走到結(jié)束狀態(tài)的累積回報(bào)。

值迭代：

將每一個(gè)初始狀態(tài)為s的初始化為0,目標(biāo)狀態(tài)累積回報(bào)為1

循環(huán)直到收斂{

對(duì)于每一個(gè)初始狀態(tài)，對(duì)進(jìn)行更新：

}

可以看出，更新第一次所有的，也就是說都只看眼下的立即回報(bào)，然后由于獎(jiǎng)勵(lì)狀態(tài)和懲罰狀態(tài)的分布不同，由靠近獎(jiǎng)勵(lì)狀態(tài)和懲罰狀態(tài)的狀態(tài)決策逐漸導(dǎo)向到初始狀態(tài)的決策，這也就是累積回報(bào)不斷更新的原因（動(dòng)力）。但是值得思考的還是最終會(huì)不會(huì)收斂到最優(yōu)累積回報(bào)（暫時(shí)不作討論）。

內(nèi)循環(huán)迭代的的處理方法有兩種：

同步迭代：即在一次循環(huán)過程中，累積回報(bào)不更新，而是計(jì)算完所有的累積回報(bào)之后，再統(tǒng)一更新。

異步迭代，即在一次循環(huán)過程中，每計(jì)算完一個(gè)初始狀態(tài)下累積回報(bào)就立即更新，不需要等到所有的累積回報(bào)都計(jì)算出來之后再更新。

可以看出兩種迭代方式造成不同的原因是第二項(xiàng)，因?yàn)榱⒓锤轮?#xff0c;再計(jì)算下一個(gè)初始狀態(tài)下的累積回報(bào)與暫時(shí)不更新得到的累積回報(bào)肯定不一樣，拿第一次更新為例，同步更新第一次?，而異步更新則第一次內(nèi)循環(huán)中，除了第一次更新的s會(huì)出現(xiàn)?，剩下的都有?，值得肯定的是異步迭代的收斂速度肯定是快于同步迭代。

策略迭代：

值迭代是使累積回報(bào)值最優(yōu)為目標(biāo)進(jìn)行迭代，而策略迭代是借助累積回報(bào)最優(yōu)即策略最優(yōu)的等價(jià)性，進(jìn)行策略迭代。

隨機(jī)指定一個(gè)策略??。

循環(huán)直到收斂{

a:令

b:對(duì)于每一個(gè)狀態(tài)s，對(duì)做更新

}

這里要說明的是a步是通過前面的貝爾曼方程，以解方程的形式求解出每一個(gè)狀態(tài)下的累積回報(bào)：

在b步則是根據(jù)累積回報(bào)值，重新更新決策?。

同樣，收斂性也是值得探討的，這里簡(jiǎn)單的思考一下，由于獎(jiǎng)勵(lì)狀態(tài)和懲罰狀態(tài)的分布，以及累積回報(bào)唯一確定決策函數(shù)，那么未達(dá)到最優(yōu)決策，必然累積回報(bào)和決策函數(shù)處于不穩(wěn)定的狀態(tài)，而只有當(dāng)?shù)竭_(dá)最優(yōu)決策時(shí)，才有：

所以該過程就是在a步由決策函數(shù)確定累積回報(bào)，然后最大化累積回報(bào)來更新決策，如此反復(fù)，則有最優(yōu)決策。值迭代和策略迭代比較：可以看出策略迭代涉及從決策函數(shù)到累積回報(bào)的解線性方程組的步驟，值迭代則是反復(fù)的，所以策略迭代更適合處理少量狀態(tài)的情況，一般10000以內(nèi)還是可以接受的。

MDP中的參數(shù)估計(jì)：

回過頭來再來看前面的馬爾科夫決策過程的定義是一個(gè)五元組，一般情況下，五元組應(yīng)該是我們更加特定的問題建立馬爾科夫決策模型時(shí)該確定的，并在此基礎(chǔ)上來求解最優(yōu)決策。所以在求解最優(yōu)決策之前，我們還需更加實(shí)際問題建立馬爾科夫模型，建模過程就是確定五元組的過程，其中我們僅考慮狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，那么也就是一個(gè)參數(shù)估計(jì)過程。（其他參數(shù)一般都好確定，或設(shè)定）。

假設(shè)，在時(shí)間過程中，我們有下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑：

其中表示步，第條轉(zhuǎn)移路徑對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，是狀態(tài)下執(zhí)行的動(dòng)作，每一條轉(zhuǎn)移路徑中狀態(tài)數(shù)都是有限的，在實(shí)際過程中，每一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑都要進(jìn)入終結(jié)狀態(tài)。如果我們獲得了很多上面的轉(zhuǎn)移路徑，那么我們就可以來估計(jì)參數(shù)。

分子是在狀態(tài)下采取動(dòng)作都轉(zhuǎn)移到的次數(shù)，分母是在狀態(tài)下采取動(dòng)作的次數(shù)。為了避免的情況，同樣采用拉普拉斯平滑。也就是說當(dāng)?shù)竭_(dá)的狀態(tài)是樣本中為為到達(dá)過的狀態(tài)，那么在該狀態(tài)下的執(zhí)行的動(dòng)作達(dá)到下一狀態(tài)的概率均分。上面的這種估計(jì)方法是從歷史數(shù)據(jù)中進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的，同樣該方法適合于在線更新。對(duì)于立即回報(bào)函數(shù)的估計(jì)，一般根據(jù)實(shí)際情況學(xué)習(xí)或者設(shè)定。

所以整個(gè)馬爾科夫決策過程流程如下（以策略迭代為例）：

隨機(jī)初始化策略 ??? 。

循環(huán)直到收斂{

a 在樣本上統(tǒng)計(jì)該策略下每個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的次數(shù)，來估計(jì)和

b 使用估計(jì)到參數(shù)來更新對(duì)應(yīng)決策函數(shù)下的累積回報(bào)

c 根據(jù)更新的累積回報(bào)重新進(jìn)行決策，即更新

}

整個(gè)流程就是在策略迭代的基礎(chǔ)上，同時(shí)進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)。

代碼實(shí)戰(zhàn)

A、馬爾可夫決策過程值迭代

/***馬爾科夫決策過程值迭代，關(guān)鍵在于第一次迭代要例外，因?yàn)槟繕?biāo)狀態(tài)是一個(gè)終止?fàn)顟B(tài)，放到迭代循環(huán)里面會(huì)出現(xiàn)臨近的狀態(tài)回報(bào)函數(shù)無限的，發(fā)散。迭代過程采用的是異步迭代，即每一次內(nèi)層循環(huán)找到更優(yōu)的回報(bào)就立即更新最大回報(bào)，以便與之相鄰的狀態(tài)能立即更新到最優(yōu)*/?/****值迭代同步更新12*12*7*/?while(!flag){flag=1;for(i=0; i<size; i++){if(action[i]>0||action[i]==0)maxreward[i]=reward[i]+maxreward[action[i]];else?maxreward[i]=reward[i];}//放到這意味著同步更新，count=1008是12*12的7倍，即掃了7遍for(i=0; i<size; i++)//對(duì)每一個(gè)狀態(tài)求最大的V(s){for(j=0; j<size; j++)//策略迭代的話這里其實(shí)可以換做掃一遍策略集，這也就是和值迭代不同的地方{//cout<<"i="<<i<<" "<<maxreward[i]<<" "<<endl;if(matrix[i][j]==1&&maxreward[j]>maxreward[i]-reward[i]+0.0001)//更新累積回報(bào){action[i]=j;//if(action[i]>0||action[i]==0)//maxreward[i]=reward[i]+maxreward[action[i]];//放到這是異步更新，//else// maxreward[i]=reward[i];flag=0;//當(dāng)累積回報(bào)不再更新，即不進(jìn)入該if，那么就結(jié)束迭代}count++;}}}

B、馬爾可夫決策過程策略迭代

while(!flag){flag=1;for(i=0; i<size; i++)//對(duì)每一個(gè)狀態(tài)求最大的V(s){for(j=0; j<ACTION; j++)//策略迭代的話這里其實(shí)可以換做掃一遍策略集，這也就是和值迭代不同的地方{//cout<<"i="<<i<<" "<<maxreward[i]<<" "<<endl;if(matrix[i][ac[j]+i]==1&&maxreward[ac[j]+i]>maxreward[i]-reward[i]+0.0001){action[i]=j;//if(reward[i]!=1&&reward[i]!=-1)maxreward[i]=reward[i]+maxreward[ac[j]+i];//else// maxreward[i]=reward[i];flag=0;}count++;}}}

C、馬爾可夫決策過程動(dòng)態(tài)規(guī)劃版

/**4 非遞歸動(dòng)態(tài)規(guī)劃從最終狀態(tài)出發(fā)，采用廣度遍歷不斷的更新其上一狀態(tài)的累積回報(bào)*/?/*while(q!=NULL)//這里圖的廣度遍歷沒有用到隊(duì)列，但也用到了隊(duì)列的思想//對(duì)于當(dāng)前步能到達(dá)的節(jié)點(diǎn)用鏈表連接起來，然后逐漸進(jìn)行下一步的能到達(dá)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行入鏈（入隊(duì)列），同樣是一種先進(jìn)先出思想{for(i=0; i<size; i++) //由于不是策略迭代，只能遍歷所有的狀態(tài)，找出能到的，且更優(yōu)的{if(matrix[i][q->data]==1&&maxreward[i]<0)//double類型比較大小的偏差，加上一個(gè)小數(shù)作為精度{maxreward[i]=reward[i]+maxreward[q->data];p=(subset *)malloc(sizeof(subset)*1);p->data=i;p->next=NULL;q=maxsubset;while((q->next)!=NULL)q=q->next;q->next=p;}count++;}maxsubset->next=maxsubset->next->next;//刪除當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，即當(dāng)前步下能到達(dá)的節(jié)點(diǎn)都已經(jīng)走完了，可出隊(duì)列了q=maxsubset->next;//}

The End

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【强化学习入门】马尔科夫决策过程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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