深度学习中常见的损失函数
文章來(lái)源于AI的那些事兒，作者黃鴻波
2018年我出版了《TensorFlow進(jìn)階指南 基礎(chǔ)、算法與應(yīng)用》這本書，今天我把這本書中關(guān)于常見(jiàn)的損失函數(shù)這一節(jié)的內(nèi)容公開(kāi)出來(lái)，希望能對(duì)大家有所幫助。?
在深度學(xué)習(xí)分類任務(wù)中，我們經(jīng)常會(huì)使用到損失函數(shù)，今天我們就來(lái)總結(jié)一下深度學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的損失函數(shù)。
0-1損失函數(shù)
在分類問(wèn)題中，可以使用函數(shù)的正負(fù)號(hào)來(lái)進(jìn)行模式判斷，函數(shù)值本身大小并不重要，該函數(shù)衡量的是預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的符號(hào)是否相同，具體形式如下所示：
?
其等價(jià)于下述函數(shù)：
?
由于0-1損失函數(shù)只取決于正負(fù)號(hào)，是一個(gè)非凸的函數(shù)，在求解過(guò)程中，存在很多的不足，通常在實(shí)際應(yīng)用中使用其替代函數(shù)。
對(duì)數(shù)（Log）損失函數(shù)
Log損失函數(shù)是0-1損失函數(shù)的一種替代函數(shù)，其形式如下：
?
運(yùn)用Log損失函數(shù)的典型分類器是logistic（邏輯）回歸算法。為什么邏輯回歸不用平方損失呢？原因在于平方損失函數(shù)是線性回歸在假設(shè)樣本是高斯分布的條件下推導(dǎo)得到的（為什么假設(shè)高斯分布？其實(shí)就是依據(jù)中心極限定理）。而邏輯回歸的推導(dǎo)中，它假設(shè)樣本服從于伯努利分布（0-1分布），然后求得滿足該分布的似然函數(shù)，接著求取對(duì)數(shù)等（Log損失函數(shù)中采用log就是因?yàn)榍蠼膺^(guò)中使用了似然函數(shù)，為了求解方便而添加log，因?yàn)樘砑觢og并不改變其單調(diào)性）。但邏輯回歸并沒(méi)有極大化似然函數(shù)，而是轉(zhuǎn)變?yōu)樽钚』?fù)的似然函數(shù)，因此有了上式。
已知邏輯函數(shù)（sigmoid函數(shù)）為：
?
可以得到邏輯回歸的Log損失函數(shù)：
?
上式的含義就是：如果y=1，我們鼓勵(lì)趨向于1，趨向于0，如果y=1，我們鼓勵(lì)也趨向于0，也趨向于0，即滿足損失函數(shù)的第二個(gè)條件，因?yàn)樾∮?，為了保證損失函數(shù)的非負(fù)性，即滿足第一個(gè)條件，所以添加負(fù)號(hào)。此時(shí)將其合并可得單個(gè)樣本的損失函數(shù)：
?
則全體樣本的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為：
該式就是sigmoid函數(shù)的交叉熵，這也是上文說(shuō)的在分類問(wèn)題上，交叉熵的實(shí)質(zhì)是對(duì)數(shù)似然函數(shù)。在深度學(xué)習(xí)中更普遍的做法是將softmax作為最后一層，此時(shí)常用的仍是對(duì)數(shù)似然損失函數(shù)，如下所示：
其中為真時(shí)，否則為0。
該式其實(shí)是式（1）的推廣，正如softmax是sigmoid的多類別推廣一樣，在TensorFlow里面根據(jù)最后分類函數(shù)softmax和sigmoid就分為softmax交叉熵以及sigmoid的交叉熵，并對(duì)這兩個(gè)功能進(jìn)行統(tǒng)一封裝。
先看tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits,targets)函數(shù)，它的實(shí)現(xiàn)和之前的交叉熵算法定義是一樣的，也是TensorFlow最早實(shí)現(xiàn)的交叉熵算法。這個(gè)函數(shù)的輸入是logits和targets，logits就是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中的W*X矩陣，注意不需要經(jīng)過(guò)sigmoid，因?yàn)樵诤瘮?shù)中會(huì)對(duì)其進(jìn)行sigmoid激活，而targets的shape和logtis相同，就是正確的label值。其計(jì)算過(guò)程大致如下：
?
tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(logits,targets)同樣是將softmax和交叉熵計(jì)算放到一起了，但是需要注意的是，每個(gè)樣本只能屬于一個(gè)類別，即要求分類結(jié)果是互斥的，因此該函數(shù)只適合單目標(biāo)的二分類或多分類問(wèn)題。補(bǔ)充一點(diǎn)，對(duì)于多分類問(wèn)題，例如我們分為5類，并且將其人工編碼為0，1，2，3，4，因?yàn)檩敵鲋凳?維的特征，因此需要人工做onehot enconding，即分別編碼為00001，00010，00100，01000，10000，才能作為該函數(shù)的輸入。理論上不做onehot encoding也可以，做成和為1的概率分布也可以，但需要保證和為1，否則TensorFlow會(huì)檢查這些參數(shù)，提醒用戶更改。
TensorFlow還提供了一個(gè)softmax_cross_entropy_with_logits的易用版本，tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(),除了輸入?yún)?shù)不同，作用和算法實(shí)現(xiàn)都是一樣的。softmax_cross_entropy_with_logits的輸入必須是類似onehot encoding的多維特征，但像CIFAR-10、ImageNet和大部分分類場(chǎng)景都只有一個(gè)分類目標(biāo)，label值都是從0編碼的整數(shù)，每次轉(zhuǎn)成onehot encoding比較麻煩，TensorFlow為了簡(jiǎn)化用戶操作，在該函數(shù)內(nèi)部高效實(shí)現(xiàn)類似onehot encoding，第一個(gè)輸入函數(shù)和前面一樣，shape是[batch_size,num_classes]，第二個(gè)參數(shù)以前必須也是[batch_size,num_classes]否則無(wú)法做交叉熵，而這里將其改為[batch_size]，但值必須是從0開(kāi)始編碼的int32或int64，而且值的范圍是[0，num_class）。如果我們從1開(kāi)始編碼或者步長(zhǎng)大于1，則會(huì)導(dǎo)致某些label值超過(guò)范圍，代碼會(huì)直接報(bào)錯(cuò)退出。其實(shí)如果用戶已經(jīng)做了onehot encoding，那就可以不使用該函數(shù)。
還有一個(gè)函數(shù)tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits()，是sigmoid_cross_entropy_with_logits的拓展版，輸入和實(shí)現(xiàn)兩者類似，與后者相比，多支持一個(gè)pos_weight參數(shù)，目的是可以增加或減小正樣本在算交叉熵時(shí)的loss.其計(jì)算原理如下：
?
還有一個(gè)計(jì)算交叉熵的函數(shù)，sequence_loss_by_example?(logits,targets,weights)，用于計(jì)算所有examples（假設(shè)一句話有n個(gè)單詞，一個(gè)單詞及單詞所對(duì)應(yīng)的label就是一個(gè)example，所有examples就是一句話中所有單詞）的加權(quán)交叉熵?fù)p失，logits的shape為[batch_size,num_decoder_symbols]，返回值是一個(gè)1D float類型的tensor，尺寸為batch_size，其中每一個(gè)元素代表當(dāng)前輸入序列example的交叉熵。另外，還有一個(gè)與之類似的函數(shù)sequence_loss，它對(duì)sequence_loss_by_example函數(shù)的返回結(jié)果進(jìn)行了一個(gè)tf.reduce_sum運(yùn)算。
值得一提的是，當(dāng)最后分類函數(shù)是sigmoid和softmax時(shí)，不采用平方損失函數(shù)除上文中提到的樣本假設(shè)分布不同外，還有一個(gè)原因是如果采用平方損失函數(shù)，則模型權(quán)重更新非常慢，假設(shè)采用平方損失函數(shù)如下式所示：
采用梯度下降算法調(diào)整參數(shù)的話，則有
?
?
可知w和b的梯度跟激活函數(shù)的梯度成正比，但是因?yàn)閟igmoid的性質(zhì)，導(dǎo)致在z取大部分值時(shí)都會(huì)很小，這樣導(dǎo)致w和b更新非常慢，如圖所示。
?
而如果采用交叉熵或者說(shuō)對(duì)數(shù)損失函數(shù)，則參數(shù)更新梯度變?yōu)?#xff1a;
?
?
可以看到，沒(méi)有這一項(xiàng)，權(quán)重的更新受誤差影響，誤差越大權(quán)重更新越快，誤差越小權(quán)重更新就慢，這是一個(gè)很好的性質(zhì)。
為什么一開(kāi)始我們說(shuō)log損失函數(shù)也是0-1損失函數(shù)的一種替代函數(shù)，因?yàn)閘og損失函數(shù)其實(shí)也等價(jià)于如下形式：
?
Hinge損失函數(shù)
Hinge損失函數(shù)也是0-1函數(shù)的替代函數(shù)，具體形式如下：
?
對(duì)可能的輸出和分類器預(yù)測(cè)值, 預(yù)測(cè)值的損失就是上式。運(yùn)用Hinge損失函數(shù)的典型分類器是SVM算法，。可以看出當(dāng)和y同符號(hào)時(shí)，意味著hinge loss為0，但是如果它們的符號(hào)相反，?則會(huì)根據(jù)線性增加。
指數(shù)損失
具體形式如下：
這也是0-1函數(shù)的一種替代函數(shù)，主要用于AdaBoost算法。
感知機(jī)損失
這也是0-1函數(shù)的一種替代函數(shù)，具體形式如下：
運(yùn)用感知機(jī)損失的典型分類器是感知機(jī)算法，感知機(jī)算法只需對(duì)每個(gè)樣本判斷其是否分類正確，只記錄分類錯(cuò)誤的樣本，類似hinge損失，不同之處在于，hinge損失對(duì)判定邊界附近的點(diǎn)的懲罰力度較高，而感知損失只要樣本的類別判定正確即可，而不需要其離判別邊界的距離，這樣的變化使得其比hinge損失簡(jiǎn)單，但是泛化能力沒(méi)有hinge損失強(qiáng)。
這幾種損失函數(shù)形式如下，可以看出，除了0-1函數(shù)，其他函數(shù)都可認(rèn)為是0-1函數(shù)的替代函數(shù)，目的在于使函數(shù)更平滑，提高計(jì)算性，如圖所示。
?
平方（均方）損失函數(shù)
具體形式為：
?
平方損失函數(shù)較多應(yīng)用于回歸任務(wù)，它假設(shè)樣本和噪聲都是服從高斯分布的，是連續(xù)的。它有幾個(gè)特點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單方便；歐式距離是一種很好的相似度度量標(biāo)準(zhǔn)；在不同的表示域變換后特征性質(zhì)不變。因此平方損失函數(shù)也是一種應(yīng)用較多的形式。
在TensorFlow中計(jì)算平方損失，一般采用tf.pow(x,y)，其返回值是x^y。舉例來(lái)說(shuō)：
loss = tf.reduce_mean(tf.pow(y-y_, 2))
絕對(duì)值損失函數(shù)
具體形式為：
?
絕對(duì)值損失函數(shù)與平方損失函數(shù)類似，不同之處在于平方損失函數(shù)更平滑，計(jì)算更簡(jiǎn)便，因此實(shí)際應(yīng)用中更多地使用平方損失函數(shù)。
以上主要講了損失函數(shù)的常見(jiàn)形式，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用較多的是對(duì)數(shù)損失函數(shù)（交叉熵）和平方損失函數(shù)。可以看出，損失函數(shù)的選擇與模型是密切相關(guān)的，如果是square loss，就是最小二乘了，如果是hinge loss，就是SVM了；如果是exp-loss，那就是boosting了；如果是log loss，那就是logistic regression了，等等。不同的loss函數(shù)，具有不同的擬合特性，就需要具體問(wèn)題具體分析。
自定義損失函數(shù)
Tensorflow不僅支持經(jīng)典的損失函數(shù)，還可以優(yōu)化任意的自定義損失函數(shù)。自定義的損失函數(shù)原則上滿足上文中講的兩個(gè)條件即可。TensorFlow提供了很多計(jì)算函數(shù)，基本可以滿足自定義損失函數(shù)可能會(huì)用到的計(jì)算操作。舉例來(lái)說(shuō)，預(yù)測(cè)商品銷量時(shí)，假設(shè)商品成本為1元，銷售價(jià)為10，如果預(yù)測(cè)少一個(gè)，意味著少掙9元，但預(yù)測(cè)多一個(gè)，意味只損失1元，希望利潤(rùn)最大化，因此損失函數(shù)不能采用均方誤差，需要自定義損失函數(shù)，定義如下：
?
在TensorFlow中可以這樣定義：其中tf.greater()用于比較輸入兩個(gè)張量每個(gè)元素的大小，并返回比較結(jié)果。Tf.select()會(huì)根據(jù)第一個(gè)輸入是否為true，來(lái)選擇第二個(gè)參數(shù)，還是第三個(gè)參數(shù)，類似三目運(yùn)算符。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的深度学习中常见的损失函数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
- 上一篇： Python 2退出历史舞台 一句话证明
- 下一篇： 【深度学习】Coursera的Tenso