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什么是堆

「堆」首先是一個完全二叉樹，「堆」分為「大頂堆」和「小頂堆」；
「大頂堆」 :
每個節點的值大于或等于其左右孩子節點的值，稱為大頂堆。
「小頂堆」同理就是每個節點的值小于或等于其左右孩子節點的值。
「注意」:
每個節點的左右孩子節點的大小關系并沒有限定。

大頂堆舉例

如圖：

大頂堆舉例

首先其為一個完全二叉樹，且其每個節點的值都大于或者等于其左右孩子節點的值。
完全二叉樹從上到下，從左到右依次編號，就可以將其進行順序存儲，我們從根節點開始，從0開始編號，存入數組如下：

大頂堆存入數組舉例

堆特點

由大頂堆定義知道，如果我們從上到下，從左到右，根節點開始從0編號進行順序存儲的話，并將數組記為arr；
我們可以得到如下式子：
arr[i] >= arr[ 2i + 1] ?&& arr[ i ] >= arr[ 2i + 2];
其中 2i + 1為第 i 個節點的左孩子節點的編號。2i + 2為第 i 個節點的右孩子節點的編號；
同理得小頂堆的特點：
arr[i] <= arr[ 2i + 1] ?&& arr[ i ] <= arr[ 2i + 2];

堆排序基本思想

本文以大頂堆為例，進行講解。
算法步驟如下：
1、首先將待排序序列構建成一個大頂堆(存入數組中)，那么這時，整個序列的最大值就是堆頂的根節點；
2、將堆頂元素與最后一個元素交換，那么末尾元素就存入了最大值；
3、將剩余的 n - 1個元素重新構建成一個大頂堆，重復上面的操作；
反復執行，就能得到一個有序序列了。

舉例

給定一個待排序序列數組 arr = [ 0 , 2, ?4, ?1 , 5 ]；
先構建成一個完全二叉樹如下;

初始狀態

構建堆

「我們從最后一個非葉子節點開始，從左至右，從下到上，開始調整」；
最后一個非葉子節點的索引即 arr.length / 2向下取整 - 1 ，對于此例就是 5 / 2向下取整 - 1 = 2 - 1 = 1；
即值為2的節點；

構建堆1

我們用左右孩子節點的最大值與該節點進行比較；
此時我們發現它的左右孩子節點的最大值為5，大于2，進行交換；

構建堆2

然后處理下一個非葉子節點，即剛才的索引減去1；1 - 1 = 0；
即：

構建堆3

左右孩子節點為5和4，5最大，且大于該節點的值，發生交換；

構建堆4

這時我們發現了一個問題:
「值為0的節點的左右節點又比該節點大了，又不滿足大頂堆的定義了」

繼續進行調整:

構建堆5

對非葉子節點調整完畢，構建大頂堆完成。

交換

將堆頂元素與末尾元素進行交換，使得末尾元素最大。

堆頂元素與末尾元素交換

當交換完畢后最大的元素已經到達數組末尾；

第一次交換后

對數組中其他元素進行排序即可。

剩下的四個元素進行調整

進行交換：

第二大元素歸位

剩下的元素調整并交換后：

第三大元素歸位

剩下的元素調整并交換后：

第三大元素歸位第四大元素歸位置

此時也意味著排序完成了。

代碼

先說下調整的代碼；
我們需要三個參數，待排序的數組，數組的長度，還有一個就是調整的哪一個非葉子節點；

?/***?author:微信公眾號:code隨筆*?@param?arr?待排序的數組*?@param?i???表示等待調整的哪個非葉子節點的索引*?@param?length?待調整長度*/public?static?void?adjustHeap(int?arr[],int?i,int?length){//非葉子節點的值int?notLeafNodeVal?=?arr[i];//k的初始值為當前非葉子節點的左孩子節點的索引//k?=?2?*?k?+?1表示再往左子節點找for(int?k?=?i?*?2?+?1;k<length;k=2?*k?+?1){//如果k?+?1還在待調整的長度內，且右子樹的值大于等于左子樹的值//將k++，此時為當前節點的右孩子節點的索引if(k+1<length?&&?arr[k]?<?arr[k+1]){k++;}//如果孩子節點大于當前非葉子節點if(arr[k]?>?notLeafNodeVal){arr[i]?=?arr[k];//將當前節點賦值為孩子節點的值i?=?k;//將i賦值為孩子節點的值，再看其孩子節點是否有比它大的}else{break;//能夠break的保證是，我們是從左至右，從下到上進行調整的//只要上面的不大于，下面的必不大于}}//循環結束后，將i索引處的節點賦值為之前存的那個非葉子節點的值arr[i]?=?notLeafNodeVal;}

再說下堆排序代碼,看好注釋；

//堆排序方法public?static?void?heapSort(int?arr[]){//進行第一次調整for(int?i=arr.length/2?-?1;i>=0;i--){adjustHeap(arr,i,arr.length);}for(int?j=arr.length?-?1;j>0;j--){//進行交換int?temp?=?arr[j];arr[j]?=?arr[0];arr[0]?=?temp;//調整長度為j的那些//這里為什么填0呢//因為我們第一次調整的時候從左到右，從下到上調整的；//交換時只是變動了堆頂元素和末尾元素//末尾元素我們不用去管，因為已經是之前長度最大的了//只需要把當前堆頂元素找到合適的位置即可adjustHeap(arr,0,j);}}

完整代碼

import?java.util.Arrays;public?class?Solution?{public?static?void?main(String[]?args)?{int?[]?arr?=?new?int[]{0?,?2,??4,??1?,?5};heapSort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}//堆排序方法public?static?void?heapSort(int?arr[]){//進行第一次調整for(int?i=arr.length/2?-?1;i>=0;i--){adjustHeap(arr,i,arr.length);}for(int?j=arr.length?-?1;j>0;j--){//進行交換int?temp?=?arr[j];arr[j]?=?arr[0];arr[0]?=?temp;//調整長度為j的那些//這里為什么填0呢//因為我們第一次調整的時候從左到右，從下到上調整的；//交換時只是變動了堆頂元素和末尾元素//末尾元素我們不用去管，因為已經是之前長度最大的了//只需要把當前堆頂元素找到合適的位置即可adjustHeap(arr,0,j);}}/***?author:微信公眾號:code隨筆*?@param?arr?待排序的數組*?@param?i???表示等待調整的哪個非葉子節點的索引*?@param?length?待調整長度*/public?static?void?adjustHeap(int?arr[],int?i,int?length){//非葉子節點的值int?notLeafNodeVal?=?arr[i];//k的初始值為當前非葉子節點的左孩子節點的索引//k?=?2?*?k?+?1表示再往左子節點找for(int?k?=?i?*?2?+?1;k<length;k=2?*k?+?1){//如果k?+?1還在待調整的長度內，且右子樹的值大于等于左子樹的值//將k++，此時為當前節點的右孩子節點的索引if(k+1<length?&&?arr[k]?<?arr[k+1]){k++;}//如果孩子節點大于當前非葉子節點if(arr[k]?>?notLeafNodeVal){arr[i]?=?arr[k];//將當前節點賦值為孩子節點的值i?=?k;//將i賦值為孩子節點的值，再看其孩子節點是否有比它大的}else{break;//能夠break的保證是，我們是從左至右，從下到上進行調整的//只要上面的不大于，下面的必不大于}}//循環結束后，將i索引處的節點賦值為之前存的那個非葉子節點的值arr[i]?=?notLeafNodeVal;} }

時間復雜度

在建初始堆時，其復雜度為;
交換操作需 n-1 次;
重建堆的過程中近似為；
堆排序時間復雜度為。

穩定性

堆排序是不穩定的：
比如：10，9，6，9；如圖：

穩定性分析用圖

當堆頂元素10和末尾元素交換后，兩個9的相對位置發生改變。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法知识】详解堆排序算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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