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Python機器學習算法實現(xiàn)

Author：louwill

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???? 前面兩講我們對感知機和神經(jīng)網(wǎng)絡進行了介紹。感知機作為一種線性分類模型，很難處理非線性問題。為了處理非線性的情況，在感知機模型的基礎上有了兩個方向，一個就是上一講說到的神經(jīng)網(wǎng)絡，大家也看到了，現(xiàn)在深度學習大放異彩，各種網(wǎng)絡功能強大。但實際上在神經(jīng)網(wǎng)絡興起之前，基于感知機的另一種模型——支持向量機，同樣可以解決非線性問題。

???? 支持向量機一般來說有三種任務類型：線性可分情況，近似線性可分情況以及線性不可分情況。針對這三種分別線性可分支持向量機、線性支持向量機和線性不可分支持向量機。筆者將分三次對這三種支持向量機進行介紹。

線性可分支持向量機

???? 和感知機一樣，線性可分支持向量機的訓練目標也是尋找一個分離超平面，能將數(shù)據(jù)分成不同的類。通過感知機的學習我們知道，當訓練數(shù)據(jù)線性可分時，一般存在不止一個線性超平面可以將數(shù)據(jù)分類，可能有無數(shù)多個線性超平面。而線性可分支持向量機則是利用間隔最大化求得一個最優(yōu)的分離超平面。

???? 關于函數(shù)間隔、幾何間隔和支持向量等相關概念，筆者這里不過多闡述，詳細細節(jié)可參考統(tǒng)計學習方法一書。總之，線性可分支持向量機可被形式化一個凸二次規(guī)劃問題：

???? 這里多說一句，感知機、最大熵和支持向量機等模型的優(yōu)化算法都是一些經(jīng)典的優(yōu)化問題，對其中涉及的凸優(yōu)化、拉格朗日對偶性、KKT條件、二次規(guī)劃等概念，建議各位找到相關材料和教材認真研讀，筆者這里不多做表述。

???? 一般來說，我們可以直接對上述凸二次規(guī)劃進行求解，但有時候該原始問題并不容易求解，這時候需要引入拉格朗日對偶性，將原始問題轉化為對偶問題進行求解。原始二次規(guī)劃的一般形式為：

???? 引入拉格朗日函數(shù)：

???? 定義該拉式函數(shù)的最大化函數(shù)：

???? 通過證明可得原始問題等價于該拉式函數(shù)的極小極大化問題：

???? 原始問題為極小極大化問題，根據(jù)拉格朗日對偶性，對偶問題即為極大極小化問題：

???? 為計算該對偶問題的解，我們需要對L(w,b, α)求極小，再對α求極大。具體推導如下。第一步：

第二步：

第三步：根據(jù)KKT條件可得：

最后可根據(jù)對偶問題求得原始問題的解為：

???? 以上便是線性可分支持向量機的對偶問題推導過程，詳細過程可參考相關教材，筆者不做過多展開(主要是打公式太費時間)。

線性可分支持向量機的簡單實現(xiàn)

???? 這里我們基采取和之前感知機模型一樣的優(yōu)化思想來求解線性可分支持向量機的原始問題。

???? 先準備示例訓練數(shù)據(jù)：

data_dict = {-1:np.array([[1,7],[2,8],[3,8],]),1:np.array([[5,1],[6,-1],[7,3],])}

???? 導入相關package并繪圖展示：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as pltcolors = {1:'r',-1:'g'} fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(1,1,1) [[ax.scatter(x[0],x[1],s=100,color=colors[i]) for x in data_dict[i]] for i in data_dict] plt.show()

???? 接下來定義線性可分支持向量機的模型主體和訓練部分：

def train(data):# 參數(shù)字典 { ||w||: [w,b] }opt_dict = {}# 數(shù)據(jù)轉換列表transforms = [[1,1], [-1,1],[-1,-1],[1,-1]]# 從字典中獲取所有數(shù)據(jù)all_data = []for yi in data:for featureset in data[yi]:for feature in featureset:all_data.append(feature)# 獲取數(shù)據(jù)最大最小值max_feature_value = max(all_data)min_feature_value = min(all_data)all_data = None# 定義一個步長列表step_sizes = [max_feature_value * 0.1,max_feature_value * 0.01,max_feature_value * 0.001]# 參數(shù)b的范圍設置b_range_multiple = 2b_multiple = 5latest_optimum = max_feature_value*10# 基于不同步長訓練優(yōu)化for step in step_sizes:w = np.array([latest_optimum,latest_optimum])# 凸優(yōu)化optimized = Falsewhile not optimized:for b in np.arange(-1*(max_feature_value*b_range_multiple),max_feature_value*b_range_multiple,step*b_multiple):for transformation in transforms:w_t = w*transformationfound_option = Truefor i in data:for xi in data[i]:yi=iif not yi*(np.dot(w_t,xi)+b) >= 1:found_option = Falseif found_option:opt_dict[np.linalg.norm(w_t)]?=?[w_t,b]if w[0] < 0:optimized = Trueprint('Optimized?a?step!')else:w = w - stepnorms = sorted([n for n in opt_dict])#||w|| : [w,b]opt_choice = opt_dict[norms[0]]w = opt_choice[0]b = opt_choice[1]latest_optimum = opt_choice[0][0]+step*2for i in data:for xi in data[i]:yi=iprint(xi,':',yi*(np.dot(w,xi)+b))return w, b

基于示例數(shù)據(jù)的訓練結果如下：

然后定義預測函數(shù)：

# 定義預測函數(shù) def predict(features):# sign( x.w+b )classification = np.sign(np.dot(np.array(features),w)+b)if classification !=0:ax.scatter(features[0], features[1], s=200, marker='^', c=colors[classification])print(classification)return classification

基于示例數(shù)據(jù)的預測結果：

整合成線性可分支持向量機類

整理上述代碼并添加結果可視化：

class Hard_Margin_SVM:def __init__(self, visualization=True):self.visualization = visualizationself.colors = {1:'r',-1:'g'}if self.visualization:self.fig = plt.figure()self.ax = self.fig.add_subplot(1,1,1)# 定義訓練函數(shù)def train(self, data):self.data = data# 參數(shù)字典 { ||w||: [w,b] }opt_dict = {}# 數(shù)據(jù)轉換列表transforms = [[1,1],[-1,1],[-1,-1],[1,-1]]# 從字典中獲取所有數(shù)據(jù)all_data = []for yi in self.data:for featureset in self.data[yi]:for feature in featureset:all_data.append(feature)# 獲取數(shù)據(jù)最大最小值self.max_feature_value = max(all_data)self.min_feature_value = min(all_data)all_data = None# 定義一個學習率(步長)列表step_sizes = [self.max_feature_value * 0.1,self.max_feature_value * 0.01,self.max_feature_value * 0.001]# 參數(shù)b的范圍設置b_range_multiple = 2b_multiple = 5latest_optimum = self.max_feature_value*10# 基于不同步長訓練優(yōu)化for step in step_sizes:w = np.array([latest_optimum,latest_optimum])# 凸優(yōu)化optimized = Falsewhile not optimized:for b in np.arange(-1*(self.max_feature_value*b_range_multiple),self.max_feature_value*b_range_multiple,step*b_multiple):for transformation in transforms:w_t = w*transformationfound_option = Truefor i in self.data:for xi in self.data[i]:yi=iif not yi*(np.dot(w_t,xi)+b) >= 1:found_option = False# print(xi,':',yi*(np.dot(w_t,xi)+b))if found_option:opt_dict[np.linalg.norm(w_t)] = [w_t,b]if w[0] < 0:optimized = Trueprint('Optimized a step!')else:w = w - stepnorms = sorted([n for n in opt_dict])#||w|| : [w,b]opt_choice = opt_dict[norms[0]]self.w = opt_choice[0]self.b = opt_choice[1]latest_optimum = opt_choice[0][0]+step*2for i in self.data:for xi in self.data[i]:yi=iprint(xi,':',yi*(np.dot(self.w,xi)+self.b)) # 定義預測函數(shù)def predict(self,features):# sign( x.w+b )classification = np.sign(np.dot(np.array(features),self.w)+self.b)if classification !=0 and self.visualization:self.ax.scatter(features[0], features[1], s=200, marker='^', c=self.colors[classification])return classification# 定義結果繪圖函數(shù)def visualize(self):[[self.ax.scatter(x[0],x[1],s=100,color=self.colors[i]) for x in data_dict[i]] for i in data_dict]# hyperplane = x.w+b# v = x.w+b# psv = 1# nsv = -1# dec = 0# 定義線性超平面def hyperplane(x,w,b,v):return (-w[0]*x-b+v) / w[1]datarange = (self.min_feature_value*0.9,self.max_feature_value*1.1)hyp_x_min = datarange[0]hyp_x_max = datarange[1]# (w.x+b) = 1# 正支持向量psv1 = hyperplane(hyp_x_min, self.w, self.b, 1)psv2 = hyperplane(hyp_x_max, self.w, self.b, 1)self.ax.plot([hyp_x_min,hyp_x_max],[psv1,psv2], 'k')# (w.x+b) = -1# 負支持向量nsv1 = hyperplane(hyp_x_min, self.w, self.b, -1)nsv2 = hyperplane(hyp_x_max, self.w, self.b, -1)self.ax.plot([hyp_x_min,hyp_x_max],[nsv1,nsv2], 'k')# (w.x+b) = 0# 線性分隔超平面db1 = hyperplane(hyp_x_min, self.w, self.b, 0)db2 = hyperplane(hyp_x_max, self.w, self.b, 0)self.ax.plot([hyp_x_min,hyp_x_max],[db1,db2], 'y--')plt.show()

測試效果如下：

data_dict = {-1:np.array([[1,7],[2,8],[3,8],]),1:np.array([[5,1],[6,-1],[7,3],])}svm = Hard_Margin_SVM() svm.train(data=data_dict)predict_us = [[0,10],[1,3],[3,4],[3,5],[5,5],[5,6],[6,-5],[5,8],[2,5], [8,-3]]for p in predict_us:svm.predict(p)svm.visualize()

???? 以上就是本節(jié)內容，關于近似線性可分以及軟間隔最大化問題，筆者將在下一篇推文中介紹。完整代碼文件和數(shù)據(jù)可參考筆者GitHub地址：

https://github.com/luwill/machine-learning-code-writing

?線性支持向量機

在上一講中，我們探討了線性可分情況下的支持向量機模型。本節(jié)我們來繼續(xù)探討svm的第二種情況，線性支持向量機。何謂線性支持呢？就是訓練數(shù)據(jù)中大部分實例組成的樣本集合是線性可分的，但有一些特異點的存在造成了數(shù)據(jù)線性不可分的狀態(tài)，在去除了這些特異點之后，剩下的數(shù)據(jù)組成的集合便是線性可分的。

原始問題

? ? 所以我們可以在線性可分支持向量機的基礎上，推導線性支持向量機的基本原理。假設訓練數(shù)據(jù)線性不可分，這便意味著某些樣本點不滿足此前線性可分中的函數(shù)間隔大于1的約束條件，線性支持向量機這里的處理方法是對每個實例引入一個松弛變量，使得函數(shù)間隔加上松弛變量大于等于1。對應于線性可分時的硬間隔最大化(hard margin svm)，線性支持向量機可稱為軟間隔最大化問題(soft margin svm)。

? ? 因而線性支持向量機就可以形式化為一個凸二次規(guī)劃問題：

? ? 其中C>0為懲罰參數(shù)，表示對誤分類的懲罰程度。最小化該目標函數(shù)可包含兩層含義：既要使得間隔最大化也要使得誤分類點個數(shù)最少，C即為二者的調和系數(shù)。關于凸二次規(guī)劃問題(QP)的求解，各位可參考運籌學、凸優(yōu)化等教材課程，這里不多贅述。

? ? 再來看線性支持向量機的對偶問題。首先定義拉格朗日函數(shù)如下：

? ? 由上一講的推導可知，對偶問題為拉格朗日函數(shù)的極大極小問題。基于該拉格朗日函數(shù)對w、b和keci求偏導：

? ? 由上三式可得：

? ? 將上述三個式子再代回到拉格朗日函數(shù)中：

? ? 于是便可得到線性支持向量機的對偶問題：

? ? 由KKT條件：

? ? 計算可得：

? ? 以上便是線性支持向量機，也即軟間隔最大化對偶問題的推導過程。

cvxopt

? ? 本節(jié)將使用Python的凸優(yōu)化求解的第三方庫cvxopt實現(xiàn)線性支持向量機。先對該庫進行了一個簡單介紹。經(jīng)典的二次規(guī)劃問題可表示為如下形式：

? ? 假設要求解如下二次規(guī)劃問題：

? ? 將目標函數(shù)和約束條件寫成矩陣形式：

? ? 基于cvxopt包求解上述問題如下：

import?numpy from cvxopt import matrix from cvxopt import solvers # 定義二次規(guī)劃參數(shù) P = matrix([[1.0,0.0],[0.0,0.0]]) q = matrix([3.0,4.0]) G = matrix([[-1.0,0.0,-1.0,2.0,3.0],[0.0,-1.0,-3.0,5.0,4.0]]) h = matrix([0.0,0.0,-15.0,100.0,80.0]) # 構建求解 sol = solvers.qp(P,q,G,h)

# 獲取最優(yōu)值 print(sol['x']，sol['primal?objective']）

基于cvxopt的線性支持向量機實現(xiàn)

? ? 導入相關package：

import numpy as np from numpy import linalg import cvxopt import cvxopt.solvers import pylab as pl

定義一個線性核函數(shù)：

def linear_kernel(x1, x2):return np.dot(x1, x2)

生成示例數(shù)據(jù)：

def gen_non_lin_separable_data():mean1 = [-1, 2]mean2 = [1, -1]mean3 = [4, -4]mean4 = [-4, 4]cov = [[1.0, 0.8], [0.8, 1.0]]X1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov, 50)X1 = np.vstack((X1, np.random.multivariate_normal(mean3, cov, 50)))y1 = np.ones(len(X1))X2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov, 50)X2 = np.vstack((X2, np.random.multivariate_normal(mean4, cov, 50)))y2 = np.ones(len(X2)) * -1return X1, y1, X2, y2X1,?y1,?X2,?y2?=?gen_non_lin_separable_data()

基于示例數(shù)據(jù)生成訓練集和測試集：

def split_train(X1, y1, X2, y2):X1_train = X1[:90]y1_train = y1[:90]X2_train = X2[:90]y2_train = y2[:90]X_train = np.vstack((X1_train, X2_train))y_train = np.hstack((y1_train, y2_train))return X_train, y_train def split_test(X1, y1, X2, y2):X1_test = X1[90:]y1_test = y1[90:]X2_test = X2[90:]y2_test = y2[90:]X_test = np.vstack((X1_test, X2_test))y_test = np.hstack((y1_test, y2_test))return X_test, y_test X_train, y_train = split_train(X1, y1, X2, y2) X_test, y_test = split_test(X1, y1, X2, y2) print(X_train.shape, y_train.shape, X_test.shape, y_test.shape)

基于cvxopt庫定義線性支持向量機的訓練過程：

def fit(X, y, C):n_samples, n_features = X.shape# Gram matrixK = np.zeros((n_samples, n_samples))for i in range(n_samples):for j in range(n_samples):K[i, j] = linear_kernel(X[i], X[j])P = cvxopt.matrix(np.outer(y, y) * K)q = cvxopt.matrix(np.ones(n_samples) * -1)A = cvxopt.matrix(y, (1, n_samples))b = cvxopt.matrix(0.0)if C is None:G = cvxopt.matrix(np.diag(np.ones(n_samples) * -1))h = cvxopt.matrix(np.zeros(n_samples))else:tmp1 = np.diag(np.ones(n_samples) * -1)tmp2 = np.identity(n_samples)G = cvxopt.matrix(np.vstack((tmp1, tmp2)))tmp1 = np.zeros(n_samples)tmp2 = np.ones(n_samples) * Ch = cvxopt.matrix(np.hstack((tmp1, tmp2)))# solve QP problemsolution = cvxopt.solvers.qp(P, q, G, h, A, b)# Lagrange multipliersa = np.ravel(solution['x'])# Support vectors have non zero lagrange multiplierssv = a > 1e-5ind = np.arange(len(a))[sv]a = a[sv]sv_x = X[sv]sv_y = y[sv]print("%d support vectors out of %d points" % (len(a), n_samples))# Interceptb = 0for n in range(len(a)):b += sv_y[n]b -= np.sum(a * sv_y * K[ind[n], sv])b /= len(a)# Weight vectorw = np.zeros(n_features)for n in range(len(a)):w += a[n] * sv_y[n] * sv[n]else:w = None

軟間隔支持向量機函數(shù)化封裝

import numpy as np from numpy import linalg import cvxopt import cvxopt.solvers import pylab as pldef linear_kernel(x1, x2):return np.dot(x1, x2)class soft_margin_svm(object):def __init__(self, kernel=linear_kernel, C=None):self.kernel = kernelself.C = Cif self.C is not None:self.C = float(self.C)def fit(self, X, y):n_samples, n_features = X.shape# Gram matrixK = np.zeros((n_samples, n_samples))for i in range(n_samples):for j in range(n_samples):K[i, j] = self.kernel(X[i], X[j])P = cvxopt.matrix(np.outer(y, y) * K)q = cvxopt.matrix(np.ones(n_samples) * -1)A = cvxopt.matrix(y, (1, n_samples))b = cvxopt.matrix(0.0)if self.C is None:G = cvxopt.matrix(np.diag(np.ones(n_samples) * -1))h = cvxopt.matrix(np.zeros(n_samples))else:tmp1 = np.diag(np.ones(n_samples) * -1)tmp2 = np.identity(n_samples)G = cvxopt.matrix(np.vstack((tmp1, tmp2)))tmp1 = np.zeros(n_samples)tmp2 = np.ones(n_samples) * self.Ch = cvxopt.matrix(np.hstack((tmp1, tmp2)))# solve QP problemsolution = cvxopt.solvers.qp(P, q, G, h, A, b)# Lagrange multipliersa = np.ravel(solution['x'])# Support vectors have non zero lagrange multiplierssv = a > 1e-5ind = np.arange(len(a))[sv]self.a = a[sv]self.sv = X[sv]self.sv_y = y[sv]print("%d support vectors out of %d points" % (len(self.a), n_samples))# Interceptself.b = 0for n in range(len(self.a)):self.b += self.sv_y[n]self.b -= np.sum(self.a * self.sv_y * K[ind[n], sv])self.b /= len(self.a)# Weight vectorif self.kernel == linear_kernel:self.w = np.zeros(n_features)for n in range(len(self.a)):self.w += self.a[n] * self.sv_y[n] * self.sv[n]else:self.w = Nonedef project(self, X):if self.w is not None:return np.dot(X, self.w) + self.belse:y_predict = np.zeros(len(X))for i in range(len(X)):s = 0for a, sv_y, sv in zip(self.a, self.sv_y, self.sv):s += a * sv_y * self.kernel(X[i], sv)y_predict[i] = sreturn y_predict + self.bdef predict(self, X):return np.sign(self.project(X))if?__name__?==?"__main__":def gen_non_lin_separable_data():mean1 = [-1, 2]mean2 = [1, -1]mean3 = [4, -4]mean4 = [-4, 4]cov = [[1.0, 0.8], [0.8, 1.0]]X1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov, 50)X1 = np.vstack((X1, np.random.multivariate_normal(mean3, cov, 50)))y1 = np.ones(len(X1))X2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov, 50)X2 = np.vstack((X2, np.random.multivariate_normal(mean4, cov, 50)))y2 = np.ones(len(X2)) * -1return X1, y1, X2, y2def gen_lin_separable_overlap_data():# generate training data in the 2-d casemean1 = np.array([0, 2])mean2 = np.array([2, 0])cov = np.array([[1.5, 1.0], [1.0, 1.5]])X1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov, 100)y1 = np.ones(len(X1))X2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov, 100)y2 = np.ones(len(X2)) * -1return X1, y1, X2, y2def split_train(X1, y1, X2, y2):X1_train = X1[:90]y1_train = y1[:90]X2_train = X2[:90]y2_train = y2[:90]X_train = np.vstack((X1_train, X2_train))y_train = np.hstack((y1_train, y2_train))return X_train, y_traindef split_test(X1, y1, X2, y2):X1_test = X1[90:]y1_test = y1[90:]X2_test = X2[90:]y2_test = y2[90:]X_test = np.vstack((X1_test, X2_test))y_test = np.hstack((y1_test, y2_test))return X_test, y_testdef plot_margin(X1_train, X2_train, clf):def f(x, w, b, c=0):# given x, return y such that [x,y] in on the line# w.x + b = creturn (-w[0] * x - b + c) / w[1]pl.plot(X1_train[:, 0], X1_train[:, 1], "ro")pl.plot(X2_train[:, 0], X2_train[:, 1], "bo")pl.scatter(clf.sv[:, 0], clf.sv[:, 1], s=100, c="g")# w.x + b = 0a0 = -4;a1 = f(a0, clf.w, clf.b)b0 = 4;b1 = f(b0, clf.w, clf.b)pl.plot([a0, b0], [a1, b1], "k")# w.x + b = 1a0 = -4;a1 = f(a0, clf.w, clf.b, 1)b0 = 4;b1 = f(b0, clf.w, clf.b, 1)pl.plot([a0, b0], [a1, b1], "k--")# w.x + b = -1a0 = -4;a1 = f(a0, clf.w, clf.b, -1)b0 = 4;b1 = f(b0, clf.w, clf.b, -1)pl.plot([a0, b0], [a1, b1], "k--")pl.axis("tight")pl.show()def plot_contour(X1_train, X2_train, clf):pl.plot(X1_train[:, 0], X1_train[:, 1], "ro")pl.plot(X2_train[:, 0], X2_train[:, 1], "bo")pl.scatter(clf.sv[:, 0], clf.sv[:, 1], s=100, c="g")X1, X2 = np.meshgrid(np.linspace(-6, 6, 50), np.linspace(-6, 6, 50))X = np.array([[x1, x2] for x1, x2 in zip(np.ravel(X1), np.ravel(X2))])Z = clf.project(X).reshape(X1.shape)pl.contour(X1, X2, Z, [0.0], colors='k', linewidths=1, origin='lower')pl.contour(X1, X2, Z + 1, [0.0], colors='grey', linewidths=1, origin='lower')pl.contour(X1, X2, Z - 1, [0.0], colors='grey', linewidths=1, origin='lower')pl.axis("tight")pl.show()def test_soft():X1, y1, X2, y2 = gen_lin_separable_overlap_data()X_train, y_train = split_train(X1, y1, X2, y2)X_test, y_test = split_test(X1, y1, X2, y2)clf = soft_margin_svm(C=1000.1)clf.fit(X_train, y_train)y_predict = clf.predict(X_test)correct = np.sum(y_predict == y_test)print("%d out of %d predictions correct" % (correct, len(y_predict)))plot_contour(X_train[y_train == 1], X_train[y_train == -1], clf)test_soft()

? ? 以上就是本節(jié)內容，關于近似線性可分以及軟間隔最大化問題，筆者將在下一篇推文中介紹。完整代碼文件和數(shù)據(jù)可參考筆者GitHub地址：

https://github.com/luwill/machine-learning-code-writing

參考資料：

https://pythonprogramming.net/

https://github.com/SmirkCao/Lihang/tree/master/CH07

往期精彩：

數(shù)學推導+純Python實現(xiàn)機器學習算法6：感知機

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【机器学习基础】数学推导+纯Python实现机器学习算法8-9：线性可分支持向量机和线性支持向量机...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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