文章目錄

• • 圖的認識
  • 圖的概念
  • • 無向圖
    • 有向圖
    • 簡單圖
    • 完全圖
    • 子圖
    • 連通、連通圖、連通分量
    • 邊的權和網
    • 加權圖
    • 鄰接和關聯
    • 路徑
    • 簡單路徑、簡單回路
    • 環
    • 頂點的度、入度和出度
    • 割點（關節點）
    • 橋(割邊)
    • 距離
    • 有向樹
  • 圖的表示
  • • 鄰接列表
    • 鄰接矩陣
  • 圖的遍歷
  • • 深度優先遍歷
    • 廣度優先遍歷
  • 生成樹

圖的認識

圖(Graph)是由頂點和連接頂點的邊構成的離散結構。一個圖就是一些頂點的集合，這些頂點通過一系列邊結對（連接）。頂點用圓圈表示，邊就是這些圓圈之間的連線。頂點之間通過邊連接。

注意：線性表可以是空表，樹可以是空樹，圖不可以是空圖，圖可以沒有邊，但是至少要有一個頂點。

圖是最靈活的數據結構之一，很多問題都可以使用圖模型進行建模求解。
樹可以說只是圖的特例，但樹比圖復雜很多

注意：頂點有時也稱為節點或者交點，邊有時也稱為鏈接。

圖有各種形狀和大小。邊可以有權重（weight），即每一條邊會被分配一個正數或者負數值。邊可以是有方向的。有方向的邊意味著是單方面的關系。從頂點 X 到 頂點 Y 的邊是將 X 聯向 Y，不是將 Y 聯向 X。

樹和鏈表，都可以被當成是樹，是一種更簡單的形式。他們都有頂點（節點）和邊（連接）。

圖的概念

圖是由頂點集合以及頂點間的關系集合組成的一種數據結構。
由頂點 V 集和邊 E 集構成，因此圖可以表示成 Graph = (V,E)
V是頂點的有窮非空集合；E是頂點之間關系的有窮集合，也叫邊集合。
圖按照邊或弧的多少分稀疏圖和稠密圖

無向圖

無向圖：頂點對<x,y>是無序的。
無向邊：若頂點Vi到Vj之間的邊沒有方向，則稱這條邊為無向邊，用無序偶對(Vi,Vj)來表示
無向圖頂點的邊數叫做度。
無向圖中，頂點的度就是與頂點相關聯的邊的數目，沒有入度和出度。

如果圖中任意兩個頂點時間的邊都是無向邊，則稱該圖為無向圖：
　　
上圖是無向圖，所以連接頂點A與D的邊，可以表示為無序對(A,D)，也可以寫成(D,A)
對于如上無向圖來說，G=(V,{E}) 其中頂點集合V={A,B,C,D}；邊集合E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}

完全無向圖：若有n個頂點的無向圖有n(n-1)/2 條邊, 則此圖為完全無向圖。

有向圖

如果任意兩個頂點之間都存在邊叫完全圖，有向的叫有向圖。

有向圖：具有方向性，頂點 (u,v)之間的關系和頂點 (v,u)之間的關系不同，后者或許不存在。

有向圖：頂點對<x,y>是有序的；

有向邊：若從頂點Vi到Vj的邊有方向，則稱這條邊為有向邊，也稱為弧。

用有序偶<Vi,Vj>來表示，Vi稱為弧尾，Vj稱為弧頭。

連接頂點A到D的有向邊就是弧，A是弧尾，D是弧頭，<A,D>表示弧。注意不能寫成<D,A>。
對于如上有向圖來說，G=(V,{E})其中頂點集合V={A,B,C,D};弧集合E={<A,D>,<B,A>,<C,A>,<B,C>}

圖中頂點之間有鄰接點。有向圖頂點分為入度和出度。

簡單圖

若無重復的邊或頂點到自身的邊則叫簡單圖。
1）不存在重復邊
2）不存在頂點到自身的邊
所以上面的有向圖和無向圖都是簡單圖。與簡單圖相對的是多重圖，即：兩個結點直接邊數多于一條，又允許頂點通過同一條邊與自己關聯。

完全圖

無向圖中任意兩點之間都存在邊，稱為無向完全圖；
有向圖中任意兩點之間都存在方向向反的兩條弧，稱為有向完全圖
完全有向圖：有n個頂點的有向圖有n(n-1)條邊, 則此圖為完全有向圖。

子圖

若有兩個圖G=(V,E),G1=(V1,E2)，若V1是V的子集且E2是E的子集，稱G1是G的子圖。

連通、連通圖、連通分量

1.連通
在無向圖中，兩頂點有路徑存在，就稱為連通的。

2.連通圖
若圖中任意兩頂點都連通，同此圖為連通圖。
如果對于任意兩個頂點都是連通的，則稱該圖是連通圖。
對于有向圖，如果圖中每一對頂點Vi和Vj是雙向連通的，則該圖是強連通圖。
連通：無向圖中每一對不同的頂點之間都有路徑。如果這個條件在有向圖里也成立，那么是強連通的。如果從頂點v到頂點v’有路徑或從頂點v’到頂點v有路徑，則稱頂點v和頂點v’是連通的。

有向圖的連通分支：將有向圖的方向忽略后，任何兩個頂點之間總是存在路徑，則該有向圖是弱連通的。有向圖的子圖是強連通的，且不包含在更大的連通子圖中，則可以稱為圖的強連通分支。

上圖， a 、e沒有到 { b , c , d } 中的頂點的路徑，所以各自是獨立的連通分支。因此，上圖有三個強連通分支，用集合寫出來就是： { { a } , { e } , { b , c , d } }

3.連通分量
無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量。

雙連通圖：不含任何割點的圖。

邊的權和網

圖上的邊和弧上帶權則稱為網
圖中每條邊上標有某種含義的數值，該數值稱為該邊的權值。這種圖稱為帶樹圖，也稱作網。

加權圖

加權圖：與加權圖對應的就是無權圖，又叫等權圖。如果一張圖不含權重信息，我們認為邊與邊之間沒有差別。

鄰接和關聯

鄰接(adjacency)：鄰接是兩個頂點之間的一種關系。如果圖包含 (u,v)，則稱頂點v 與頂點u鄰接。在無向圖中，這也意味著頂點 u 與頂點 v 鄰接。

關聯(incidence)：關聯是邊和頂點之間的關系。在有向圖中，邊 (u,v)從頂點 u開始關聯到 v，或者相反，從v關聯到u。在有向圖中，邊不一定是對稱的，有去無回是完全有可能的。

路徑

兩頂點之間的路徑指頂點之間經過的頂點序列，經過路徑上邊的數目稱為路徑長度。若有n個頂點，且邊數大于n-1，此圖一定有環。

路徑(path)：依次遍歷頂點序列之間的邊所形成的軌跡。

路徑：非空序列V0 E1 V1 E2 ... Vk稱為頂點V0到頂點Vk的一條路徑。

樹中根節點到任意節點的路徑是唯一的，但是圖中頂點與頂點之間的路徑卻不是唯一的。
路徑的長度是路徑上的邊或弧的數目。
無權圖的路徑長是路徑包含的邊數。
有權圖的路徑長要乘以每條邊的權。

簡單路徑、簡單回路

簡單路徑：沒有重復頂點的路徑稱為簡單路徑。
除第一個頂點和最后一個頂點外，其余頂點不重復出現的回路稱為簡單回路。

環

環：包含相同的頂點兩次或者兩次以上。上圖序列 <1,2,4,3,1>，1出現了兩次，當然還有其它的環，比如<1,4,3,1>。

無環圖：沒有環的圖，其中，有向無環圖有特殊的名稱（DAG(Directed Acyline Graph)

頂點的度、入度和出度

頂點的度為以該頂點為一個端點的邊的數目。

對于無向圖，頂點的邊數為度，度數之和是頂點邊數的兩倍。
對于有向圖，入度是以頂點為終點，出度相反。有向圖的全部頂點入度之和等于出度之和且等于邊數。頂點的度等于入度與出度之和。

割點（關節點）

割點：如果移除某個頂點將使圖或者分支失去連通性，則稱該頂點為割點。某些特定的頂點對于保持圖或連通分支的連通性有特殊的重要意義。

割點的重要性不言而喻。如果你想要破壞互聯網，你就應該找到它的關節點。同樣，要防范敵人的攻擊，首要保護的也應該是關節點

橋(割邊)

橋(割邊)：和割點類似，刪除一條邊，就產生比原圖更多的連通分支的子圖，這條邊就稱為割邊或者橋。

距離

若兩頂點存在路徑，其中最短路徑長度為距離。

有向樹

有一個頂點的入度為0，其余頂點的入度均為1的有向圖稱作有向樹。

圖的表示

鄰接列表

鄰接列表：在鄰接列表實現中，每一個頂點會存儲一個從它這里開始的邊的列表。比如，如果頂點A 有一條邊到B、C和D，那么A的列表中會有3條邊，鄰接列表只描述了指向外部的邊。A 有一條邊到B，但是B沒有邊到A，所以 A沒有出現在B的鄰接列表中。

優點：
（1） 便于增加和刪除結點。
（2） 便于統計邊的數目，按頂點表順序掃描所有邊表可得到邊的數目，時間復雜度為O(n+e)。
（3）空間效率高。對于一個具有n個頂點e條邊的圖G，若圖G是無向圖，則在鄰接表表示中有n個頂點表結點和2n個邊表結點。若G是有向圖，則在它的鄰接表表示或逆鄰接表表示中均有n個頂點表結點和e個邊表結點。因此，鄰接表的空間復雜度為O(n+e)。
缺點：
（1） 不便于判斷頂點之間是否有邊，要判斷vi 和vj之間是否有邊，就需掃描第i個邊表，最換情況下要耗費O(n)時間。
（2） 不便于計算有向圖各個頂點的度。

鄰接矩陣

圖最常見的表示形式為鄰接鏈表和鄰接矩陣

特點：
⑴0表示這兩個頂點之間沒有邊，1表示有邊
⑵頂點的度是行內數組之和
⑶求頂點的鄰接點，遍歷行內元素即可

鄰接矩陣，一個存儲著邊的信息的矩陣，而頂點則用矩陣的下標表示。對于一個鄰接矩陣M，如果M(i,j)=1，則說明頂點i和頂點j之間存在一條邊，對于無向圖來說，M (j ,i) = M (i, j)，所以其鄰接矩陣是一個對稱矩陣；對于有向圖來說，則未必是一個對稱矩陣。鄰接矩陣的對角線元素都為0。下圖是一個無向圖和對應的鄰接矩陣：


需要注意的是，當邊上有權值的時候，稱之為網圖，則鄰接矩陣中的元素不再僅是0和1了，鄰接矩陣M中的元素定義為：

鄰接矩陣：在鄰接矩陣實現中，由行和列都表示頂點，由兩個頂點所決定的矩陣對應元素表示這里兩個頂點是否相連、如果相連這個值表示的是相連邊的權重。例如，如果從頂點A到頂點B有一條權重為 5.6 的邊，那么矩陣中第A行第B列的位置的元素值應該是5.6：

優點：
（1） 便于判斷兩個頂點之間是否有 邊，即根據A[i][j] = 0或1來判斷。
（2） 便于計算各頂點的度。對于無向圖，鄰接矩陣的第i行元素之和就是頂點i的度。對于有向圖，第i行元素之和就是頂點i的出度，第i列元素之和就是頂點i的入度。

缺點： （1） 不便于增加刪除頂點。 （2）空間復雜度高。如果是有向圖，n個頂點需要n*n個單元存儲邊。如果無向圖，其鄰接矩陣是對稱的，所以對規模較大的鄰接矩陣可以采用壓縮存儲的方法，僅存儲下三角元素，這樣需要n(n-1)/2個單元。無論哪種存儲方式，鄰接矩陣表示法的空間復雜度均為0(n*n)

區別：

鄰接列表在表示稀疏圖時非常緊湊而成為了通常的選擇，但稀疏圖表示時使用鄰接矩陣，會浪費很多內存空間，遍歷的時候也會增加開銷。
如果圖是稠密圖，可以選擇更加方便的鄰接矩陣。
還有，頂點之間有多種關系的時候，也不適合使用矩陣。因為表示的時候，矩陣中的每一個元素都會被當作一個表

圖的遍歷

深度優先遍歷

在深度優先搜索中，保存候補節點是棧，棧的性質就是先進后出，即最先進入該棧的候補節點就最后進行搜索。

深度優先遍歷，也有稱為深度優先搜索（Depth_First_Search），簡稱DFS。其實，就像是一棵樹的前序遍歷。
它從圖中某個結點v出發，訪問此頂點，然后從v的未被訪問的鄰接點出發深度優先遍歷圖，直至圖中所有和v有路徑相通的頂點都被訪問到。若圖中尚有頂點未被訪問，則另選圖中一個未曾被訪問的頂點作起始點，重復上述過程，直至圖中的所有頂點都被訪問到為止。

#include<iostream> using namespace std; int n,m,x,y,a[105][105],book[105][105]= {}; int minn = 999999; void dfs(int starx,int stary,int step) {int nx,ny;if(starx==x&&stary==y) {if(minn > step) {minn = step;}return ;}int next[4][2]= {0,1,0,-1,1,0,-1,0};for(int i=0; i<4; i++) {nx = starx+next[i][0]; ny = stary+next[i][1];if(nx>n||nx<1||ny>m||ny<1)continue;if(a[nx][ny]==0&&book[nx][ny]==0) {book[nx][ny]=1;dfs(nx,ny,step+1);book[nx][ny]=0;}}return ; } int main() {cin>>n>>m>>x>>y;for(int i=1; i<=n; i++) {for(int j=1; j<=m; j++) {cin>>a[i][j];}}book[1][1]=1;dfs(1,1,0);cout<<"最小值為=";cout<<minn<<endl;return 0; } /* 5 4 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 */

鄰接矩陣表達方式：

#define MAXVEX 100 //最大頂點數 typedef int Boolean; //Boolean 是布爾類型，其值是TRUE 或FALSE Boolean visited[MAXVEX]; //訪問標志數組 #define TRUE 1 #define FALSE 0//鄰接矩陣的深度優先遞歸算法 void DFS(Graph g, int i) {int j;visited[i] = TRUE;printf("%c ", g.vexs[i]); //打印頂點，也可以其他操作for(j = 0; j < g.numVertexes; j++){if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j]){DFS(g, j); //對為訪問的鄰接頂點遞歸調用}} }//鄰接矩陣的深度遍歷操作 void DFSTraverse(Graph g) {int i;for(i = 0; i < g.numVertexes; i++){visited[i] = FALSE; //初始化所有頂點狀態都是未訪問過狀態}for(i = 0; i < g.numVertexes; i++){if(!visited[i]) //對未訪問的頂點調用DFS，若是連通圖，只會執行一次{DFS(g,i);}} }

鄰接表存儲結構：

//鄰接表的深度遞歸算法 void DFS(GraphList g, int i) {EdgeNode *p;visited[i] = TRUE;printf("%c ", g->adjList[i].data); //打印頂點，也可以其他操作p = g->adjList[i].firstedge;while(p){if(!visited[p->adjvex]){DFS(g, p->adjvex); //對訪問的鄰接頂點遞歸調用}p = p->next;} }//鄰接表的深度遍歷操作 void DFSTraverse(GraphList g) {int i;for(i = 0; i < g.numVertexes; i++){visited[i] = FALSE;}for(i = 0; i < g.numVertexes; i++){if(!visited[i]){DFS(g, i);}} }

對比兩個不同的存儲結構的深度優先遍歷算法，對于n個頂點e條邊的圖來說，鄰接矩陣由于是二維數組，要查找某個頂點的鄰接點需要訪問矩陣中的所有元素，因為需要O(n2)的時間。而鄰接表做存儲結構時，找鄰接點所需的時間取決于頂點和邊的數量，所以是O(n+e)。顯然對于點多邊少的稀疏圖來說，鄰接表結構使得算法在時間效率上大大提高。

廣度優先遍歷

廣度優先搜索和深度優先搜索一樣，都是對圖進行搜索的算法，都是從起點開始順著邊搜索，此時并不知道圖的整體結構，直到找到指定節點(即終點)。在此過程中每走到一個節點，就會判斷一次它是否為終點。

廣度優先搜索會根據離起點的距離，按照從近到遠的順序對各節點進行搜索。而深度優先搜索會沿著一條路徑不斷往下搜索直到不能再繼續為止，然后再折返，開始搜索下一條路徑。

在廣度優先搜索中，有一個保存候補節點的隊列，隊列的性質就是先進先出，即先進入該隊列的候補節點就先進行搜索。
廣度優先搜索：將點存儲到隊列中
廣度優先遍歷（Breadth_First_Search）,又稱為廣度優先搜索，簡稱BFS。
深度遍歷類似樹的前序遍歷，廣度優先遍歷類似于樹的層序遍歷。

鄰接矩陣的廣度遍歷算法：

void BFSTraverse(Graph g) {int i, j;Queue q;for(i = 0; i < g.numVertexes; i++){visited[i] = FALSE;}InitQueue(&q);for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//對每個頂點做循環{if(!visited[i]) //若是未訪問過{visited[i] = TRUE;printf("%c ", g.vexs[i]); //打印結點，也可以其他操作EnQueue(&q, i); //將此結點入隊列while(!QueueEmpty(q)) //將隊中元素出隊列，賦值給{int m;DeQueue(&q, &m); for(j = 0; j < g.numVertexes; j++){//判斷其他頂點若與當前頂點存在邊且未訪問過if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j]){visited[j] = TRUE;printf("%c ", g.vexs[j]);EnQueue(&q, j);}}}}} }

鄰接表的廣度優先遍歷：

void BFSTraverse(GraphList g) {int i;EdgeNode *p;Queue q;for(i = 0; i < g.numVertexes; i++){visited[i] = FALSE;}InitQueue(&q);for(i = 0; i < g.numVertexes; i++){if(!visited[i]){visited[i] = TRUE;printf("%c ", g.adjList[i].data); //打印頂點，也可以其他操作EnQueue(&q, i);while(!QueueEmpty(q)){int m;DeQueue(&q, &m);p = g.adjList[m].firstedge; 找到當前頂點邊表鏈表頭指針while(p){if(!visited[p->adjvex]){visited[p->adjvex] = TRUE;printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);EnQueue(&q, p->adjvex);}p = p->next;}}}} }

對比圖的深度優先遍歷與廣度優先遍歷算法，會發現，它們在時間復雜度上是一樣的，不同之處僅僅在于對頂點的訪問順序不同?？梢妰烧咴谌珗D遍歷上是沒有優劣之分的，只是不同的情況選擇不同的算法。

生成樹

生成樹的性質
一個有n個頂點的連通圖的生成樹有且僅有n-1條邊
一個連通圖的生成樹并不唯一

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图（Graph）的学习的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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