一、問題描述

給定n種物品和一個(gè)背包。物品i的質(zhì)量Wi，其價(jià)值Vi，背包的容量為c。問如何選擇裝入背包中的物品，使得裝入背包中的物品總價(jià)值最大？

二、解題思想

? ? ? ? 01背包和最長公共子序列都是動(dòng)態(tài)規(guī)劃題目中求最優(yōu)解的問題，不同在于，01背包問題，即使發(fā)現(xiàn)物品可以放入背包，但是在采取放或者不放的措施時(shí)，還要進(jìn)行選擇。（這就是保證最優(yōu)解的條件）

? ? ? ? 我們先根據(jù)題意有如下假設(shè)：假設(shè)物品的種類和背包的容量是變化的，是逐漸增多的。我們每個(gè)不同容量的背包的最大價(jià)值，建立在先前背包最大價(jià)值的基礎(chǔ)上。例如：背包容量為5的最優(yōu)解，建立在背包容量為4的最優(yōu)解的基礎(chǔ)上。

? ? ? ? 既然容量和物品種類是變化的，那么我們建立一個(gè)二維數(shù)組（下文均稱最佳價(jià)值表），橫向代表背包容量，縱向代表物品種類，將每個(gè)不同容量的背包的最優(yōu)解記錄在最佳價(jià)值表里（這個(gè)最佳價(jià)值表記錄的是滿足題意的不同背包容量的最優(yōu)解），如下圖所示。由此正式開始思解題算法：思考遞推式。

? ? ? ?依照假設(shè)，就會(huì)得出如下情況：

A、當(dāng)只有0種物品時(shí)，無論背包的容量是多少，背包內(nèi)物品的總價(jià)值都為0（因?yàn)闆]有東西可放）；當(dāng)物品的種類很多時(shí)，但是背包的容量為0，背包內(nèi)物品的總價(jià)值仍然為0（因?yàn)榉挪贿M(jìn)去啊！）所以這個(gè)最佳價(jià)值表的第0行，第0列都是“0”，其中V[0][0]=0,不是因?yàn)槲以诔绦蛑邪凑丈鲜鲑x值為0，其真實(shí)原因是：只要是宏變量，聲明在頭文件下的變量，其初值都會(huì)自動(dòng)為0。上述內(nèi)容相當(dāng)于對(duì)這個(gè)最佳價(jià)值表做了一個(gè)初始化，如下圖所示：

B、當(dāng)物品的種類和背包容量按照上圖遞增時(shí)，就會(huì)又出現(xiàn)一種情況：物品不能放入背包（因?yàn)槲锲返馁|(zhì)量大于當(dāng)前背包可容納的質(zhì)量）、物品能放入背包。

C、物品能放入背包也要分兩種：物品要放入、物品不放入。那么可能你要提問了，為什么物品能裝入但是卻不選擇裝入呢？

因?yàn)槲覀冞@個(gè)二維數(shù)組存儲(chǔ)的是背包的最佳價(jià)值表。這個(gè)物品雖然能放到背包內(nèi)，但是如果它的體積過大，放入后勢必會(huì)影響后續(xù)的物品放入，導(dǎo)致此最佳價(jià)值表違反了其“最佳”二字。如果第?個(gè)物品沒有裝入背包，則背包中物品價(jià)值就等于把前??1個(gè)物品裝入容量為?的背包中所取得的價(jià)值; 如果把第?個(gè)物品裝入背包，則背包物品的價(jià)值等于第??1個(gè)物品裝入容量為??weight[?]的背包中的價(jià)值加上第?個(gè)物品的價(jià)值value[?]。

綜上：

A、V[i][0]=V[0][j]=0? ? ? ?//簡單初始化

B、V[i][j]=V[i-1][j]? ? ? ? ? //物品不能放入

C、V[i][j]=max(v[i-1][j-weight[i]]+value[i],v[i-1][j])? ?//物品能放入

表達(dá)式詳細(xì)解析：

看到這，有的讀者就會(huì)有很多問題，我來以一問一答的形式讓大家更加來了解這道題目的解題思想：

Q1：為什么表達(dá)式中每次用當(dāng)前背包的總?cè)萘亢托鲁霈F(xiàn)的物品的質(zhì)量作比較，而不是用背包剩余的容量與新出現(xiàn)的物品的質(zhì)量作比較？

A1：這個(gè)問題也是我接觸動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題之初提過的一個(gè)問題。01背包是典型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，既然是動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，那么就要?jiǎng)悠饋?#xff0c;整個(gè)問題中，動(dòng)就只有一個(gè)——物品放入背包中。你可以設(shè)想一下，假設(shè)你在實(shí)際操作的時(shí)候，雖然給出的物品很多，但因?yàn)槟隳抗庥邢?#xff0c;所以看到的東西也是一個(gè)一個(gè)進(jìn)入眼簾。你可能會(huì)先將一個(gè)物品放入背包，但是因?yàn)楹髞沓霈F(xiàn)了又小、價(jià)值又高的物品，你在權(quán)衡之后，可能又得把之前放入的這個(gè)物品掏出，騰出空間來放當(dāng)前這個(gè)質(zhì)量小、價(jià)值高的物品·······說了這么多鋪墊，可能有的人已經(jīng)明白了：這道題的關(guān)注點(diǎn)只在于背包能放得下還是放不下，而不是背包放進(jìn)一些東西之后剩余的空間放的下還是放不下。這個(gè)其實(shí)直接可以從上述C的表達(dá)式可以看出，即：發(fā)現(xiàn)物品可放入的時(shí)候，你需要以背包的總價(jià)值作為衡量依據(jù)，到底是放入價(jià)值更高了（此時(shí)有的人可能會(huì)問了，難道物品放入背包后價(jià)值還會(huì)降低？因?yàn)榉湃胛锲返臅r(shí)候，需要騰出一定的空間，這就需要拿出背包里的物品，所以放入物品價(jià)值不一定更高）還是不放價(jià)值更高了，所以用一個(gè)max函數(shù)來比較。如果發(fā)現(xiàn)放入價(jià)值高，那就得騰出空間（用最佳價(jià)值表的縱軸坐標(biāo)）

Q2：做這類問題的時(shí)候，有什么秘訣沒有？

A2：1、既然是動(dòng)態(tài)問題，那么我們的大腦就得靈活，而且得聯(lián)系實(shí)際情況，把大問題化成簡單的小問題。計(jì)算機(jī)是一個(gè)很傻的處理機(jī)器，重復(fù)做著相同的工作，唯一的優(yōu)點(diǎn)就是快，我們需要做的事情就是告訴他應(yīng)該做什么事情，做的次數(shù)等，其他的就不需要多想了。?2、第二點(diǎn)就是不要多想，直接推導(dǎo)遞推式，然后求解，就像Q1的那種問題就不要多加考慮了。

三、具體實(shí)現(xiàn)

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<iostream> using namespace std; int V[100][100];//用來存儲(chǔ)背包的最大價(jià)值 int weight[100]; //存儲(chǔ)物品的重量 int value[100];//存儲(chǔ)物品的價(jià)值 int state[100];//存儲(chǔ)物品的選取狀態(tài) int max(int a,int b)//比較價(jià)值大小函數(shù) {if (a>=b)return a;else return b; } int KnapSack(int n,int weight[],int value[],int state[],int capacity)//動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解函數(shù) {int i,j;//循環(huán)變量//V[0][0] = 0;for (i=1;i<=n;i++)//當(dāng)j=0時(shí)(j代表背包容量)，0容量什么都裝不進(jìn)去，所以V[i][j]=0;V[i][0]=0;for (j=1;j<=capacity;j++)//當(dāng)i=0時(shí)，代表沒有物品，即使背包容量再大，其V[0][j]=0;V[0][j]=0;//#####下面進(jìn)行判斷######for (i=1;i<=n;i++)//i代表物品，j代表背包容量{//j代表背包的容量，將其從0逐步增加到輸入的背包容量，相當(dāng)于以背包的容量為限制，一步一步求得最大價(jià)值的方法。for (j=1;j<=capacity;j++){if(j<weight[i])//表示該物品?不能裝入背包。V[i][j]=V[i-1][j];//表明此處的價(jià)值等于前i-1個(gè)物品裝入的價(jià)值。else//第?個(gè)物品的重量小于背包的容量后就會(huì)有兩種情況，一種放入，一種不放入，求這兩種情況中Value最大的。V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-weight[i]]+value[i]);//如果把第?個(gè)物品裝入背包，則背包物品的價(jià)值等于第??1個(gè)物品裝入容量位??weight[?]的背包中的價(jià)值加上第?個(gè)物品的價(jià)值value[?]//如果第?個(gè)物品沒有裝入背包，則背包中物品價(jià)值就等于把前??1個(gè)物品裝入容量為?的背包中所取得的價(jià)值。}}j=capacity;//為標(biāo)記“哪件物品放入背包”做準(zhǔn)備for(i=n;i>=1;i--)//標(biāo)記選出的物品函數(shù){if(V[i][j]>V[i-1][j]){state[i]=1;//1表示選中j=j-weight[i];}elsestate[i]=0;//0表示未選中}printf("選中的物品是:");for(i=1;i<=n;i++)printf("%d ",state[i]);printf("\n");cout<<"V[i][j]中的數(shù)字是：\n";for(int i=0;i<=n;i++){for(int j=0; j<=capacity;j++){printf("%3d", V[i][j]);if (j == capacity){printf("\n");}}}return V[n][capacity]; } int main() {int s;//獲得的最大價(jià)值int n = 0;//用于循環(huán)輸入cout<< "請(qǐng)輸入物品的個(gè)數(shù)：";cin >> n;cout << "請(qǐng)輸入物品對(duì)應(yīng)的質(zhì)量：";for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> weight[i];cout << "請(qǐng)輸入物品對(duì)應(yīng)的價(jià)值：";for (int i = 1; i <=n; i++)cin >> value[i];cout << "請(qǐng)輸入背包最大容量：";int capacity;cin >> capacity;//背包最大容量s = KnapSack(n, weight, value, state, capacity);cout<<"最大物品價(jià)值為:"<<s<<endl;system("pause");return 0; }

其中有一個(gè)for循環(huán)用來找出哪些東西被放入背包中，1代表放入，0代表沒放入。?

為了方便理解，我來多貼幾張圖，在這里就不做gif圖了，大家順著我的這個(gè)圖去理解。

函數(shù)種前兩個(gè)for循環(huán)程序執(zhí)行之后：（藍(lán)色區(qū)域?yàn)樽罴褍r(jià)值表區(qū)域）

這個(gè)是只有物品1的時(shí)候：?

出現(xiàn)物品2：其中綠色的6就是一個(gè)在比較之后填入的價(jià)值，綠色的9是當(dāng)前兩個(gè)物品的總和。

按照函數(shù)中的算法，一個(gè)一個(gè)模擬的把數(shù)字填寫進(jìn)去，相信你就會(huì)理解這道題目了。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的C语言（CED）01背包——动态规划第二题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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