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中國剩余定理

中國剩余定理可以描述為：

若某數(shù)x分別被d1、、…、dn除得的余數(shù)為r1、r2、…、rn，則可表示為下式：
x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD
其中R1是d2、d3、…、dn的公倍數(shù)，而且被d1除，余數(shù)為1；（稱為R1相對于d1的數(shù)論倒數(shù)）
R1?、

R2?、

…??、

Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍數(shù)，而且被dn除，余數(shù)為1；
D是d1、d2、…、的最小公倍數(shù)；
R是任意整數(shù)（代表倍數(shù)），可根據(jù)實際需要決定；
且d1、、…、必須互質(zhì)，以保證每個Ri(i=1,2，…，n)都能求得.

（注：因為R1對d1求余為1，所以R1r1對d1求余為r1，這就是為什么是R1對d1求余為1的目的，其次，R2r2,R3r3…Rnrn對d1求余都是0）

?

如要討論中國利余定理，同余（congruence）的概念可算是必須。

給定一個正整數(shù)n，我們說兩個數(shù)a、b是對模n同余，如果a-b是n的倍數(shù)。用符號a≡b(mod?n)來代表。一般來說，a≡b(mod?n)等同于a＝b+kn，而a，b，k，n都是整數(shù)，所以，13≡1(mod?6)、19≡1(mod?6)。?

但同余并不只是一個代號，而是有很方便和有趣的特性。（一）整數(shù)加法跟普通加法相似，a+c≡(b+c)(mod?n)；（二）整數(shù)乘法跟普通乘法相似，ac≡bc(mod?n)，而a，b，c，n都是整數(shù)。但如果ac≡bc(mod?n)，則不一定a≡b(mod?n)。?

以「鬼谷算」為例，假設(shè)x是那個未知數(shù)，而除3，5，7后的余數(shù)分別為r1，r2，r3。因此有?

x≡r1(mod?3)?
?
x≡r2(mod?5)?
?
x≡r3(mod?7)?
?
而另一方面

70＝(5x7)x2≡1(mod?3)、70≡0(mod?5)及70≡0(mod?7)?
?
21＝(3x7)x1≡1(mod?5)、21≡0(mod?3)及21≡0(mod?7)?
?
15＝(3x5)x1≡1(mod?7)、15≡0(mod?3)及15≡0(mod?5)?
?

所以

x≡70r1+21r2+15r3+3m

x≡70r1+21r2+15r3+5n
x≡70r1+21r2+15r3+7p

?最后得到這個精彩的結(jié)果，x≡(70r1+21r2+15r3)(mod?105)，而105正便是3，5，7的最小公偣數(shù)。所以其實在很多數(shù)字可以滿足這幾個余數(shù)條件的，要找到最小值才要減105。

?

對于中國剩余定理有個簡單理解并記憶的方法：

中國剩余定理的思想在于先找到一個滿足條件的數(shù)，不管是不是最小的，如果不是最小的就不斷減公倍數(shù)，中國剩余定理的巧妙在于把滿足條件的數(shù)分成三個部分相加，例如：
假設(shè)滿足條件的數(shù)為：M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先讓它滿足條件1：除以3余1，我們看M的第一部分和第三部分能被3整除，只要第二部分除以3余1就行了，選擇b=2就滿足
再滿足條件2：除以5余2，考慮第三部分就行了，選擇c=2就滿足
最后滿足條件3：除以7余3，考慮第一部分就行了，選擇a=3
這樣M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157，比公倍數(shù)大，減去公倍數(shù)，157-105=52是滿足條件最小數(shù)

?

以我個人理解寫成下面這個形式（以3個數(shù)為例）

X被a,b,c處分別余r1,r2,r3。表示為：

X%a = r1?????????????????????x%b = r2?????????????????????x%c = r3

bc*k1 % a = 1?????ac*k3 % b = 1?????ab*k3 % c = 1

所以

x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/hujunzheng/articles/3885695.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的中国剩余定理证明过程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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