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題意

Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.
Link: https://leetcode.com/problems/longest-palindromic-substring/

翻譯

給定一個(gè)字符串s，要求它當(dāng)中的最長回文子串。可以假設(shè)s串的長度最大是1000。

樣例

Example 1: Input: "babad"Output: "bab"Note: "aba" is also a valid answer.Example 2: Input: "cbbd"Output: "bb"

分析

雖然LeetCode里給這道題的難度是Medium，但實(shí)際上并不簡單，我們通過自己思考很難想到最佳解法。
我們先把各種算法放在一邊，先從最簡單的方法開始。最簡單的方法當(dāng)然是暴力枚舉，但是這道題和之前的字符串問題不同。

我們在暴力枚舉的時(shí)候，并不需要枚舉所有的起始位置，再判斷這個(gè)子串是否回文。實(shí)際上我們可以利用回文串兩邊相等的性質(zhì)，直接枚舉回文串的中心位置，如果兩邊相等就往兩邊延伸。這樣我們最多需要枚舉n個(gè)回文中心，每次枚舉最多遍歷n次。所以最終的復(fù)雜度是O(n^2)。

有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)看到這個(gè)復(fù)雜度就能反應(yīng)過來，這明顯不是最優(yōu)解法。但是對于當(dāng)前問題，暴力枚舉固然不是最佳解法，但其實(shí)也算得上是不錯(cuò)了，并沒有我們想的那么糟糕，不信的話，我們來看另一個(gè)看起來高端很多的解法。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃（DP）

這道題中利用回文串的性質(zhì)還有一個(gè)trick，對于一個(gè)字符串S，如果我們對它進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得到S_，顯然它當(dāng)中的回文子串并不會發(fā)生變化。所以如果我們對翻轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)字符串求最長公共子序列的話，得到的結(jié)果就是回文子串。

算法導(dǎo)論當(dāng)中對這個(gè)問題的講解是使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，即是對于字符串S中所有的位置i和S_中所有的位置j，我們用一個(gè)dp數(shù)組記錄下以i和j結(jié)尾的S和S_的子串能夠組成的公共子序列的最大的結(jié)果。

顯然，對于i=0，j=0，dp[i][j] = 0（假設(shè)字符串下標(biāo)從1開始）

我們寫出DP的代碼：

for

我們不難觀察出來，這種解法的復(fù)雜度同樣是O(n^2)。并且空間復(fù)雜度也是O(n^2)，也就是說我們費(fèi)了這么大勁，并沒有起到任何優(yōu)化。所以從這個(gè)角度來看，暴力搜索并不是這題當(dāng)中很糟糕的解法。

分析到了這里，也差不多了，下面我們直接進(jìn)入正題，這題的最佳解法，O(n)時(shí)間內(nèi)獲取最大回文子串的曼徹斯特算法。

曼切斯特算法

回文串除了我們剛剛提到的性質(zhì)之外，還有一個(gè)性質(zhì)，就是它分奇偶。簡而言之，就是回文串的長度可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)。如果是奇數(shù)的話，那么回文串的回文中心就是一個(gè)字符，如果是偶數(shù)的話，它的回文中心其實(shí)是落在兩個(gè)字符中間。

舉個(gè)例子：

ABA和ABBA都是回文串，前者是奇回文，后者是偶回文。

這兩種情況不一致，我們想要一起討論比較困難，為了簡化問題，我們需要做一個(gè)預(yù)處理，將所有的回文串都變成奇回文。怎么做呢，其實(shí)很簡單，我們在所有兩個(gè)字符當(dāng)中都插入一個(gè)特殊字符#。

比如：

abba -> #a#b#b#a#

這樣一來，回文中心就變成中間的#了。我們再來看原本是奇回文的情況：

aba -> #a#b#a#

回文中心還是在b上，依然還是奇回文。

預(yù)處理的代碼：

def

曼切斯特算法用到三個(gè)變量，分別是數(shù)組p，idx和mr。我們接下來一個(gè)一個(gè)介紹。

首先是數(shù)組radis，它當(dāng)中存在的是每個(gè)位置能構(gòu)成的最長回文串的半徑。注意，這里不是長度，是半徑。

我們舉個(gè)例子：

字符串S # a # b # b # a # radis 1 2 1 2 5 2 1 2 1

我們先不去想這個(gè)radis數(shù)組應(yīng)該怎么求，我們來看看它的性質(zhì)。

首先，i位置的回文串的半徑是radis[i]，那么它的長度是多少？很簡單: radis[2] * 2 - 1。那么，這個(gè)串中去掉#之后剩下的長度是多少？也就是說預(yù)處理之前的長度是多少？

答案是radis[i] - 1，推算也很簡單，總長度是radis[i] * 2 - 1，其中#比字母的數(shù)量多一個(gè)，所以原串的長度是(radis[i] * 2 - 1 - 1)/2 = radis[i] - 1。

也就是說原串的長度和radis數(shù)組就算是掛鉤了。

idx很好理解，它就是指的是數(shù)組當(dāng)中的一個(gè)下標(biāo)，最后是mr，它是most_right的縮寫。它記錄的是在當(dāng)前位置i之前的回文串所向右能延伸到的最遠(yuǎn)的位置。

聽起來有些拗口，我們來看個(gè)例子：

此時(shí)i小于mr，mr對應(yīng)的回文中心是id。那么i在id的回文范圍當(dāng)中，對于i而言，我們可以獲取到它關(guān)于id的對稱位置：id * 2 - i，我們令它等于i_。知道這個(gè)對稱的位置有什么用呢？很簡單，我們可以快速的確定radis[i]的下界。在遍歷到i的時(shí)候，我們已經(jīng)有了i_位置的結(jié)果。通過i_位置的結(jié)果，我們可以推算i位置的范圍。

radis[i] >= min(radis[i_], mr-i)

為什么是這個(gè)結(jié)果呢？

我們把情況寫全，假設(shè)mr-i > radis[i_]。那么i_位置的回文串全部都落在id位置的回文串里。這個(gè)時(shí)候，我們可以確定radis[i]=radis[i_]。為什么呢？

因?yàn)楦鶕?jù)對稱原理，如果以i為中心的回文串更長的話，我們假設(shè)它的長度是radis[i_]+1。會導(dǎo)致什么后果呢？如果這個(gè)發(fā)生，那么根據(jù)關(guān)于id的對稱性，這個(gè)字符串關(guān)于id的對稱位置也是回文的。那么radis[i_1]也應(yīng)該是這么多才對，這就構(gòu)成了矛盾。如果你從文字描述看不明白的話，我們來看下面這個(gè)例子：

S: c a b c b d b c b a cradis: x_ i_ 5 i x

在這個(gè)例子當(dāng)中，mr-i=5，radis[i_]=2。所以mr - i > radis[i_]。如果radis[i]=3，那么x的位置就應(yīng)該等于id的位置，同理根據(jù)對稱性，x_的位置也應(yīng)該等于id的位置。那么radis[i_]也應(yīng)該是3。這就和它等于2矛盾，所以這是不可能出現(xiàn)的，在mr距離足夠遠(yuǎn)的情況下，radis[i_]的值限制了i位置的可能性。

我們再來看另一種情況，如果mr - i < radis[i_]時(shí)會怎么樣呢？

在這種情況下，由于mr距離i太近，導(dǎo)致i對稱位置的半徑無法在i位置展開。但是mr的右側(cè)可能還存在字符，這些字符可以構(gòu)成新的回文嗎？

字符串S XXXXXXXXSXXXXXXXXXXXXXXX radis i_ id i mr

也就是說S[mr+1]會和S[i*2-mr-1]的位置相同嗎？
其實(shí)我們可以不用判斷就可以知道答案，答案是不會。
我們來看圖：

根據(jù)對稱性，如果mr+1的位置對于i可以構(gòu)成新的對稱。由于radis[i_] > mr-i，也就是說對于i_位置而言，它的對稱范圍能夠輻射到mr對稱點(diǎn)的左邊。我們假設(shè)這個(gè)地方的字母是a，根據(jù)對稱性，我們可以得出mr+1的位置也應(yīng)該是a。如此一來，這兩個(gè)a又能構(gòu)成新的對稱，那么id位置的半徑就可以再拓展1，這就構(gòu)成了矛盾。所以，這種情況下，由于mr-i的限制，使得radis[i]只能等于mr - i。

那什么情況下i位置的半徑可以繼續(xù)拓展呢？

只有mr - i == radis[i_]的時(shí)候，id構(gòu)成的回文串的左側(cè)對于i_可能構(gòu)不成新的回文，但是右側(cè)卻存在這種可能性。

在上圖這個(gè)例子當(dāng)中，i_的位置的回文串向左只能延伸到ml，因?yàn)閙l-1的位置和關(guān)于i_對稱的位置不相等。對于mr的右側(cè)，它完全可以既和i點(diǎn)對稱，又不會影響raids[id]的正確性。這個(gè)時(shí)候，我們就可以通過循環(huán)繼續(xù)遍歷，拓展i位置的回文串。

整個(gè)過程的分析雖然很多，也很復(fù)雜，但是寫成代碼卻并不多。

# 初始化

到這里，曼切斯特算法就算是實(shí)現(xiàn)完了。雖然我們用了這么多篇幅去介紹它，可是真正寫出來，它只有幾行代碼而已。不得不說，實(shí)在是非常巧妙，第一次學(xué)習(xí)可能需要反復(fù)思考，才能真正理解。

不過我們還有一個(gè)問題沒有解決，為什么這樣一個(gè)兩重循環(huán)的算法會是O(n)的復(fù)雜度呢？

想要理解這一點(diǎn)，需要我們拋開所有的虛幻來直視本質(zhì)。雖然我們并不知道循環(huán)進(jìn)行了多少次，但是有兩點(diǎn)可以肯定。通過這兩點(diǎn)，我們就可以抓到復(fù)雜度的本質(zhì)。

第一點(diǎn)，mr是遞增的，只會變大，不會減小。

第二點(diǎn)，mr的范圍是0到n，每次mr增加的數(shù)量就是循環(huán)的次數(shù)。

所以即使我們不知道m(xù)r變化了多少次，每次變化了多少，我們依然可以確定，這是一個(gè)O(n)的算法。

到這里，文章的內(nèi)容就結(jié)束了，如果喜歡的話，請點(diǎn)個(gè)關(guān)注吧~

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的怎么判断一个字符串的最长回文子串是否在头尾_LeetCode 5 迅速判断回文串的Manacher算法...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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