相信大家在小學奧數中都遇到這樣一個問題：4條直線最多能將平面分成幾部分？這個問題并不能難倒我們，但是如果將問題改為：4個平面最多能將空間分為幾部分？這下子我們可能就要放棄了。

為了解決這個問題，今天我們就來研究一組相關的問題，這些問題的解決方案都涉及數學歸納法。

問題1 :?個點最多能將一條直線分為多少個區域?

1個點：

2個點：

3個點：

點數123...個點

區域數	2	3	4	...

從表中我們容易猜想得出，個點最多能將一條直線分為個區域。為了表述方便，令

直線上個點所決定的直線上區域的最大個數

當一個額外的點被添加到這條直線上會發生什么呢？

我們觀察一下：每次一個新的點被添加到這條直線上，它必須被插入到由之前的點決定的一個現有的區域中。因此，該區域被劃分為兩個區域和，而之前的所有其他區域保持不變。因此，當向直線添加一個新點時，只添加一個新區域。

因此我們得到一個循環關系：

這樣，我們可以推導出顯性公式：

接下來我們使用數學歸納法進行證明。

設命題:

• 基步：，因此真。
• 歸納步：假設真，即對成立。通過遞推關系有?也成立。

因此根據數學歸納法，對所有成立。

問題2 :?條直線最多能將一個平面分為多少個區域?

1條直線：

2條直線：

3條直線：

4條直線：

類似地，令

平面上條直線所決定的平面上區域的最大個數我們已經觀察到，如果是平面上條直線所確定的平面上的最大區域數，則，，，。直線數 n1234567

區域數	2	4	7	11

我們可以用同樣的方法求出，等等，但是這些圖越來越難構造。因此我們需要找到這個序列的顯性公式。我們可以采用有限差分法來構造這個序列的顯性公式，注意到第二排差值是1，2，3，4，第一排差值是1，1，1。因為第一排差值是常數，我們期望可能是的二次函數。令

其中、、為常數，可由上表中的部分數據確定。然后，使用表中的值(列一個三元一次方程組)，解得因此，對于的顯性公式的一個猜想是我們來看看如果5條直線的情況。

因為不平行于任何其他直線，也不經過其他直線任何較早的交點，所以每次與現有直線相交時，它就把它所經過的區域分成兩個區域。當經過第四條直線后，又將最后一個區域劃分為兩個區域。簡言之，第5條直線產生了5個新區域。同樣的論證表明，將第條線添加到n條線的組合中會產生個新區域。我們可以把它表示為一個遞歸關系：

同樣地，我們可以用數學歸納法證明顯性公式成立，這里不再贅述。

問題3 : 空間中個平面最多劃分多少個區域?

令

空間中個平面所決定的最大區域數觀察上圖可得，，。但是你可能會發現用圖來表示的情況很困難，因為圖很復雜。

想象一下在三個平面的圖形中添加第四個平面的結果。給定三個平面都會與新平面有一條交線，三條直線最多能將平面分為7個區域。因此，再使用有限差分法(列一個四元一次方程組)來構造序列的顯性公式:

現在嘗試聯系問題1、2、3

我們看下表：

元素個數分割直線數分割平面數分割空間數

0	1	1	1
1	2	2	2
2	3	4	4
3	4	7	8
4	5	11	15
...	...	...	...
條直線	個

注意到，在表格中

對所有自然數成立。

這樣我們就解決了最開始提出的問題。

參考文獻[1]G.波利亞.數學與猜想:數學中的歸納和類比(第1卷)[M].科學出版社，2001.

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最短的證明有多短！？(二)

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的八个角最多可以把平面分成多少部分?_一个空间最多能被分成几块？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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