事先說明：筆者初三，如在敘述中有不嚴謹的地方，還請諸位指出，自當感激不盡。

（本文默認受眾對象為初高中生，因此拋物線一律采取了y=ax2的形式，高中的同學們可以應用旋轉矩陣把它變到y2=2px的形式QAQ筆者懶就不寫咯~）

為了更方便地寫本文，筆者定義一種運算叫實導，就是取冪函數上兩點表示其斜率的運算，下文均記作Fs（ab）或（某代數式）s（a，b指點,方便起見，后文xa，xb，xc對應x1，x2，x3，當運算指對任意兩點求實導時，直接記作Fs）強烈建議初中生閱讀前看看導數！！！

一.新定義的靈感

當時還是在準備三位一體考試，然后為了解極值學習了導數的內容，剛開始百思不得其解，后來從幾何意義出發，了解到導數是一個函數上兩點斜率的極端情況，當兩點無限接近時，所得的切線斜率就是函數該點的導數值。在推理了冪函數形式的導數公式后，恰巧在做錢塘甬真重高的拋物線題目，計算量令人頭大，于是我突發奇想，想要找一種方式簡化運算，剛好想到當兩點不是無限迫近時，兩點斜率是否可以表示，恰好與拋物線陰差陽錯地契合，就發明了這個運算，取可見兩點斜率之意，改導數為實導了。（事實上，根據點差法，可以給出所有冪函數(次數為整數）類型的實導運算及其運算公式，下文將會提到。）

實導運算性質（推導你們自己弄吧hiahiahia奸笑jpg）

1.對于冪函數f(x)=x^n,Fs=x1^n-1 +x1^n-2·x2+x1^n-3·x22……+x2^n-1,(n∈正整數）

若F（x）=x^-n,Fs=-(x^n)s/(x1x2)^n,(n∈正整數）

規定當n=0時，Fs=0

2.若F（x）=h（x）＋g（x），則（F（x））s=（h（x））s＋（g（x））s

3.若F（x）=h（x）·g（x），則（F（x））s=（h（x））s·（g（x1）+g（x2））/2＋（g（x））s·（h（x1）+h（x2））/2

4.后文將Fs2＋1記為M

5.鏈式求導法則，隱函數求導法則對于求實導依然有效

二.正文部分一：實導對于拋物線

設f（x）=ax2＋bx+c，根據上面運算可知Fs=a（x1+x2）+b（由此可知，當xa+xb=xc+xd時，ab∥cd）

特殊時：1.x1=0，Fs=ax2+b

2.a點為頂點M，則Fs（aM）=a△x（△x=x1-xM）（一般化：Fs=a（△x1＋△x2））

3.很容易得知Fs（ab）=F（a+b/2）’（有興趣的可以去查一下數學史中阿基米德求弓形面積，這可能是最早的微分思想了）

4.設割線l：y=【a（x1+x2）+b】x＋z，將（x1，ax12＋bx1+c）代入，可以解得直線方程：y=Fsx+c-ax1x2，即為拋物線割線公式。

5.同理可以給出拋物線切線公式：y=f（x）’x+c-ax02=（2ax0+b）x+c-ax02

6.任意兩點距離公式：√M·|x1-x2|

三.征途開始：利用上述公式推出更美麗的公式。

α：拋物線內接三角形（△abc）面積公式：S=|a（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）|/2

證明：我們先畫一個三角形：

采取中學慣用的方法：水平寬乘鉛垂高，做出h和l，很明顯：

l＝（x3-x1）

h=(Fs（AC）-Fs(AB))·（x2-x1）=【a（x1+x3）+b-a（x1＋x2）-b】·（x2-x1）

=a（x3-x2）·（x2-x1）

∴S=1/2l·h=|a（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）|（這里我們不知道ABC具體位置，所以加上了絕對值）

是不是充滿了對稱的美學！！！簡單而漂亮！！！

說到這不得不提到一類初中極多的水平寬乘鉛垂高問題，大致就是確定了A和B的位置，然后在其間有動點C，求S△ABCmax，利用上式，我們可以輕松得到當x3=x1+x2/2時，Smax=1/8|a（x1-x2）3|，一直堅信代數據死算的同學們有沒有覺得感情被欺騙了（實際上從幾何意義上考慮，當x3=x1+x2/2時，C點切線恰好與AB平行，此時顯然三角形高最大）

同樣的，對于反比例函數同樣有一般美麗的公式，我就提一下：S=|k（x1-x2）（x1-x3）（x2-x3）/2x1x2x3|

當這類模型轉向四邊形時，同樣會成立。

β：斜率專題：過定點和旋轉。

p1：旋轉的割線（初中常有）

△Fs=a△x，所以△x=△Fs/a

順時針：△Fs=（Fs（AB）-tanθ）/（1+Fs（AB）tanθ）-Fs（AB）

=-tanθ（Fs（AB）2+1）/（1＋Fs（AB）tanθ）

=M/（-Fs（AB）-cotθ）

逆時針：同理可得△Fs=M/（-Fs（AB）+cotθ）

總結一下，△x＝M/a（-Fs（AB）±cotθ），順時針取負號，逆時針取正號（和三角函數一樣）

p2：斜率之積決定過定點問題。

注：給定拋物線上一點P，若在拋物線上取另外兩點AB，使kAP·kBP=λ（定值），則直線AB必經過定點P”

證明：Fs（AP）·Fs（BP）=a2（x1+x0）（x2＋x0）=λ①，lAB：y=a（x1＋x2）x-ax1x2=kx+b②

①展開并整理，有a2【x02＋（x1+x2）x0+x1x2】=a2（x02+kx0/a-b/a）=a2x02+akx0-ab=λ，于是有k=b/x0+λ/ax0-ax0，代入②得y=（b/x0+λ/ax0-ax0）x+b=（x/x0+1）b+λx/ax0-ax0x，很明顯，當x=-x0時，就會有y=ax02-λ/a（定值），在圖形上看，就是取P點關于對稱軸的對稱點，并將縱坐標-λ/a，即得定點P”

要注意的是，該結論逆定理仍然成立，并且其特殊情況（λ=-1）經常會在三一考試中出現，該結論是該類型題目的推廣（吧）

p3：如圖：

已知動直線lAB過對稱軸上定點N，則AB的中點M可以表示

不妨將曲線標準化，取y=ax2，N（0，n）其它情況都可通過平移得到（下文模型默認標準化）

則有lAB：y=a（x1+x2）x-ax1x2=kx+n，故M（x1+x2/2，a（x12＋x22）/2）

則xm=k/2a，ym=a/2 ·【（x1＋x2）2-2x1x2】=n+k2/2a

即M（k/2a，n+k2/2a）

γ：七仙女模型（瞎取的名字）

在介紹這些模型之前，首先介紹一個結論：

拋物線上任取一點A，作割線AB、AC，設△x1=x2-x0，△x2=x3-x0（記xp=x0），則有向量PC’/向量PB’=△x2/△x1

證明：標準化后，yc’=-ax1x3，yb’=-ax1x2，于是向量PC'=yc'，向量PB'=yb',兩者相比即向量PC’/向量PB’=x3/x2，再轉化到一般情況，則變成向量PC’/向量PB’=△x2/△x1

我稱之為半割模型。

a.

簡述：在拋物線對稱軸上取一點M（0，m），并取直線l：y=-m（接下來6個模型都是如此）

過M的動弦AB交拋物線于A、B，過A（B）作垂線AA'（BB'）⊥l，則有A'PB（B'PA）三點共線。

證明：過B作直線l’∥l，交拋物線于C，由半割，知

y2/m=-x2/x1，變形后，有y2/x2=m/-x1，即kA'P=kBP，于是A'PB（B'PA）三點共線。證明相當簡潔。

b.

如圖，M’P平分∠AM'B

證明：過B作直線l’∥l，交拋物線于C，由半割，知

y2/m=-x2/x1。又kBM’=y2+m/x2，kAM'=y1+m/x1，且-ax1x2=m，

∴x1=-x2m/y2，y1y2=m2，即y1=m2/y2，代入前式化簡后即可得到kBM'=-kAM'，得證

c.

A、B處切線交點必在l上（你非要說調和配極那我也沒辦法）

證明：直接聯立切線方程：

la：y=2ax1x-ax12，lb：y=2ax2x-ax22，聯立后得到點M’（x1+x2/2，ax1x2），又因為ym=-ax1x2，所以得證。

對此不得不加以補充：若過M’作直線l’平行于y軸，交拋物線于C，交AB于D，經過計算可以發現C是M’D的中點，而且S△ABC恰好=1/8|a（x1-x2）3|，于是我們就得到S△ABM=1/4|a（x1-x2）3|，十分神奇

d.

以A'B'為直徑的圓經過定點Q

設P（0，m）=（0，-ax1x2）不妨就設圓與拋物線對稱軸交于Q，則∠A'QB'=90°，令對稱軸與l交于P'，則由射影定理，有QP'2=A'P'·P'B'，∴（yQ+m）2=-x1x2=m/a

最終可解得yQ=√m/a -m，特殊地，當P為焦點時，Q與P重合。

e,f.

Q是AB中點，如圖有：AQ'∥PB'，AP’∥QB'

證明：直接設點（我省略了）

kAP'=2ax1x2/x1=2ax2,kQB'=(ax1x2-ax22)/(x1-x2)/2=2ax2(x1-x2)/x1-x2=2ax2

kAQ'=-a(x1-x2)2/2/x1-x2/2=-a(x1-x2),kP'B=ax2(x1-x2)/-x2=-a(x1-x2)

∴kAP’=kQB',kAQ'=kP'B,即得證。

g.

E為拋物線上一動點，連接AE，BE，分別交l于Q，P則kMP·kMQ=-4am（M（0，m））

證明：A（x1，ax12）B（x2，ax22）E（x0，ax02）

于是lBE：y=a（x0+x2）x-ax0x2,lAE:y=a(x0+x1)-ax0x1

代入y=-m，分別解得P(x2(x0+x1)/(x0+x2),-m),Q(x1(x0+x2)/(x0+x1),-m)

∴kPM=-2m(x0+x2)/x2(x0+x1),kQM=-2m(x0+x1)/x1(x0+x2)

∴kPM·kQM=4m2/x1x2=4m2/-a/m=-4am

特殊地，當M為焦點，PM⊥MQ

四.小試牛刀（例題解析）

1.來自錢塘甬真重高某卷

拋物線：y=1/2x2,A(-1,1)B(0,-1),M是拋物線上動點，連結BM，AM分別交拋物線于M2，M1，試求M1M2所過的定點。

解：不妨將未知點看成已知定點，那么M，M1，M2就是與之關聯的動點。

設lMM1：y=k(x+1)+1=?（xm+xm1）x-?xmxm1=?（xm+xm1）(x+1)+1，于是 -?xmxm1=?xm+?xm1+1，化簡得xmxm1=-（xm+xm1+2）①

kBM=?xm2+1/xm=?xm+1/xm=Fs（MM2）=?xm+?xm2，∴xm2=2/xm②

所以ym1m2=?（xm1+xm2）x-?xm1xm2，將②代入有：

ym1m2=?（xm1xm+2）/xm·x-xm1/xm，將①代入有：-?x-（xm1+?xm1·x）/xm

∴當x=-2時，y=1，即過定點Q（-2,1）

標答的話就是硬算，我沒什么好說的，我按照標答做的時候算錯了兩遍。。。

2.2018浙江嵊州高三期末質檢21

已知拋物線y=x2，A（-1,1），B（4，-2）拋物線上一點P(x，y）（x＜-1），AP與y軸交于Q，記△PAB，△QAB面積分別為S1，S2。

（1）若AP⊥PB，求x

（2）求（S1-5S2）min

（1）解：由題知Fs（AP）·Fs（BP）=（x-1）·（x+2）=x2+x-2=-1

解得x=-1+√5/2（舍）x=-1-√5/2

（2）解：S1=（-1-x）（2-x）（2+1）/2=3（x2-x-2）/2

yQ=-（-1·x）=x，∴S2=h·l/2=3（2-x）/2

∴（S1-5S2）=3（x2-x-2）/2-15（2-x）/2=3x2+12x-36/2=3(x+2)2-48/2

則當x=-2時，原式min=-24

（3）2019浙江臺州一中、天臺一中高三上期中21

已知直線PA，PB與拋物線y=?x2分別相切于A，B

（1）若P在直線y=-1上，求證：直線AB過定點

（2）若點P是半橢圓?x2＋?y2=1（y＜0）上的動點，求S△PAB的取值范圍

（1）證明：由上結論易知AB過定點（0,1）

（2）令xa=x1＞xb=x2，∴S△PAB=（x1-x2）3/16，且x1＋x2=2xp，?x1x2=yp

∴（x1+x2）2-4x1x2=4xp2-16yp=（x1-x2）2

∴S△PAB=√xp2-4yp 3/2，又∵3x2+4y2=12，∴xp2=4 -4yp2/3，代入得：

S△PAB=√-4yp2/3-4yp+43/2，∴當y=-3/2時，S△PABmax=7√7/2

當y=0時，S△PAB=4，又因為取不到0，所以4＜S△PAB≤7√7/2

類似的例題還有很多，我不列舉了

求贊~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的向量表示 运动抛物线_流动的美丽函数——抛物线浅谈的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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