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學(xué)習(xí)了一下大佬的->這里

已知多項(xiàng)式$A(x)$，若存在$A(x)B(x)\equiv 1\pmod{x^n}$

則稱(chēng)$B(x)$為$A(x)$在模$x^n$下的逆元，記做$A^{-1}(x)$

具體的來(lái)說(shuō)的話，就是兩個(gè)多項(xiàng)式$A,B$相乘模$x^n$之后，所有次數(shù)大于等于$n$的項(xiàng)都沒(méi)了，那么只有在剩下的項(xiàng)相乘之后未知數(shù)項(xiàng)全被消掉只留下一個(gè)常數(shù)項(xiàng)$1$時(shí)，$B$才是$A$的逆元

然后為什么要有模$x^n$的限制呢？因?yàn)闆](méi)有這個(gè)限制的話，$B$可能有無(wú)窮多項(xiàng)

然后我們考慮如何計(jì)算$B(x)$

當(dāng)$n=1$的時(shí)候，$A(x)\equiv c\pmod{x}$，其中$c$為常數(shù)項(xiàng)，那么$A^{-1}(x)$就是$c^{-1}$

當(dāng)$n>1$時(shí)$$B(x)A(x)\equiv 1\pmod{x^n}$$

設(shè)$B'(x)$是模$x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}$時(shí)的逆元，即$$B'(x)A(x)\equiv 1\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}$$

首先，可以肯定$$B(x)A(x)\equiv 1\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}$$

那么上下兩個(gè)式子相減可得$$B(x)-B'(x)\equiv 0\pmod{{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}}$$

然后兩邊平方$$B^2(x)-2B'(x)B(x)+B'^2(x)\equiv 0\pmod{{x^n}}$$

為什么上面模數(shù)變成$x^n$呢？我們考慮如果一個(gè)多項(xiàng)式在$\pmod{x^n}$的情況下為$0$，那么說(shuō)明$0$到$n-1$項(xiàng)的系數(shù)也為$0$，它平方之后$0$到$2n-1$項(xiàng)系數(shù)$a_i$為$\sum_{j=0}^ia_ja_{i-j}$，那么$j$和$i-j$中必有一個(gè)小于$n$，也就是說(shuō)$a_j$和$a_{i-j}$里必有一個(gè)為$0$，那么$a_i$也是$0$，所以平方之后在$\mod{2n}$也為$0$

然后在上式兩邊同乘$A(x)$并移項(xiàng)可得$$B(x)\equiv2B'(x)-A(x)B'^2(x)\pmod{x^n}$$

那么發(fā)現(xiàn)這個(gè)東西可以遞歸計(jì)算，時(shí)間復(fù)雜度為$O(nlogn)$

1 //minamoto 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<algorithm> 5 #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y) 6 #define mul(x,y) (1ll*x*y%P) 7 #define add(x,y) (x+y>=P?x+y-P:x+y) 8 #define dec(x,y) (x-y<0?x-y+P:x-y) 9 using namespace std; 10 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) 11 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; 12 inline int read(){ 13 #define num ch-'0' 14 char ch;bool flag=0;int res; 15 while(!isdigit(ch=getc())) 16 (ch=='-')&&(flag=true); 17 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num); 18 (flag)&&(res=-res); 19 #undef num 20 return res; 21 } 22 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z; 23 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} 24 inline void print(int x){ 25 if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x; 26 while(z[++Z]=x%10+48,x/=10); 27 while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=' '; 28 } 29 const int N=(1<<21)+5,P=998244353,G=3,Gi=332748118; 30 inline int ksm(int a,int b){ 31 int res=1; 32 while(b){ 33 if(b&1) res=mul(res,a); 34 a=mul(a,a),b>>=1; 35 } 36 return res; 37 } 38 int n,r[N],X[N],Y[N],A[N],B[N],O[N]; 39 void NTT(int *A,int type,int len){ 40 int limit=1,l=0; 41 while(limit<len) limit<<=1,++l; 42 for(int i=0;i<limit;++i) 43 r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)); 44 for(int i=0;i<limit;++i) 45 if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]); 46 for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){ 47 int R=mid<<1,Wn=ksm(G,(P-1)/R);O[0]=1; 48 for(int j=1;j<mid;++j) O[j]=mul(O[j-1],Wn); 49 for(int j=0;j<limit;j+=R){ 50 for(int k=0;k<mid;++k){ 51 int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]); 52 A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y); 53 } 54 } 55 } 56 if(type==-1){ 57 //這里這么寫(xiě)是因?yàn)槿绻c(diǎn)值轉(zhuǎn)系數(shù)直接reverse再除以n（也就是乘個(gè)逆元）就好了 58 reverse(A+1,A+limit); 59 for(int i=0,inv=ksm(limit,P-2);i<limit;++i) 60 A[i]=mul(A[i],inv); 61 } 62 } 63 void work(int *a,int *b,int len){ 64 if(len==1) return (void)(b[0]=ksm(a[0],P-2)); 65 work(a,b,len>>1); 66 for(int i=0;i<len;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i]; 67 NTT(A,1,len<<1),NTT(B,1,len<<1); 68 for(int i=0;i<(len<<1);++i) 69 A[i]=mul(mul(A[i],B[i]),B[i]); 70 NTT(A,-1,len<<1); 71 for(int i=0;i<len;++i) b[i]=(1ll*(b[i]<<1)%P+P-A[i])%P; 72 } 73 int main(){ 74 // freopen("testdata.in","r",stdin); 75 n=read(); 76 for(int i=0;i<n;++i) X[i]=(read()+P)%P; 77 int len;for(len=1;len<n;len<<=1); 78 work(X,Y,len); 79 for(int i=0;i<n;++i) print(Y[i]); 80 Ot(); 81 return 0; 82 }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的洛谷P4238 【模板】多项式求逆（NTT）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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