AOE网与关键路径简介
前面我們說過的拓撲排序主要是為解決一個工程能否順序進行的問題，但有時我們還需要解決工程完成需要的最短時間問題。如果我們要對一個流程圖獲得最短時間，就必須要分析它們的拓撲關(guān)系，并且找到當中最關(guān)鍵的流程，這個流程的時間就是最短時間。
在前面講了AOV網(wǎng)的基礎(chǔ)上，來介紹一個新的概念。在一個表示工程的帶權(quán)有向圖中，用頂點表示事件，用有向邊表示活動，用邊上的權(quán)值表示活動的持續(xù)時間，這種有向圖的邊表示活動的網(wǎng)，稱之為AOE網(wǎng)（Activity On edge Network)。由于一個工程，總有一個開始，一個結(jié)束，在正常情況下，AOE網(wǎng)只有一個源點一個匯點。
既然AOE網(wǎng)是表示工程流程的，所以就具有明顯的工程屬性。只有在某頂點代表的事件發(fā)生后，從該頂點出發(fā)的各活動才能開始。只有在進入某頂點的各活動都已經(jīng)結(jié)束，該頂點代表的事件才能發(fā)生。
盡管AOV網(wǎng)和AOE網(wǎng)都是用來對工程建模的，但它們還是有很大的區(qū)別，主要體現(xiàn)在AOV網(wǎng)是頂點表示活動的網(wǎng)，它只描述活動之間的制約關(guān)系，而AOE網(wǎng)是用邊表示活動的網(wǎng)，邊上的權(quán)值表示活動持續(xù)的時間，如圖7-9-3所示兩圖的對比。因此，AOE網(wǎng)是要建立在活動之間制約關(guān)系沒有矛盾的基礎(chǔ)之上，再來分析完成整個工程需要多少時間，或者為縮短完成工程所需時間，應(yīng)當加快哪些活動等問題。
我們把路徑上各個活動所持續(xù)的時間之后稱為路徑長度，從源點到匯點具有最大長度的路徑叫關(guān)鍵路徑，在關(guān)鍵路徑上完成的活動叫關(guān)鍵活動。顯然就圖7-9-3的AOE網(wǎng)而言，開始->發(fā)動機完成->部件集中到位->組裝完成就是關(guān)鍵路徑，路徑長度為5.5。
如果我們需要縮短整個工期，去改進輪子的生產(chǎn)效率，哪怕改動成0.1也無益于整個工期的變化，只有縮短關(guān)鍵路徑上的關(guān)鍵活動時間才才可以減少整個工期長度。例如如果發(fā)動機制造縮短為2.5，整車組裝縮短為1.5，那么關(guān)鍵路徑就為4.5，整整縮短了一天的時間。
如果某項活動的最早開始時間和最晚開始時間一樣，表示中間沒有空隙，則此項活動就為關(guān)鍵活動。為此，我們需要定義以下幾個參數(shù)。
1、事件的最早發(fā)生時間 etv（earliest time of vertex）：即頂點vk 的最早發(fā)生時間。
2、事件的最晚發(fā)生時間 ltv（latest time of vertex）：即頂點vk 的最短發(fā)生時間。也就是每個頂點對應(yīng)的事件最晚需要開始的時間，超出此時間將會延誤整個工期。
3、活動的最早開工時間 ete （earliest time of edge）：即弧ak 的最早發(fā)生時間。
4、活動的最晚開工時間 lte （latest time of edge ）：即弧ak 的最晚發(fā)生時間，也就是不推遲工期的最晚開工時間。
我們首先求得1和2，而 ete 本來是表示活動<vk, vj> 的最早開工時間，是針對弧來說的，但只有此弧的弧尾頂點vk的事件發(fā)生了，它才可以開始，因此ete = etv[k]。
而lte 表示的是活動<vk, vj> 的最晚開工時間，但此活動再晚也不能等vj 事件發(fā)生才開始，所以lte = ltv[j] - len<vk, vj> 。
最終，我們再來判斷ete 和 lte 是否相等，相等意味著活動沒有任何空閑，是關(guān)鍵路徑，否則就不是。
現(xiàn)在來談?wù)勅绾吻骵tv 和 ltv。
假設(shè)我們現(xiàn)在已經(jīng)求得頂點v0對應(yīng)的 etv[0] = 0,頂點v1對應(yīng)的etv[1] = 3, 頂點v2對應(yīng)的etv[2] = 4, 現(xiàn)在我們需要求頂點v3對應(yīng)的etv[3]，其實就是求etv[1] + len<v1, v3> 與 etv[2] + len<v2, v3> 的較大值。顯然 3+5 < 4+8, 得到etv[3] = 12, 如圖7-9-5所示。
由此我們也可以得出計算頂點vk的最早發(fā)生時間即求etv[k]的公式是：
其中P[k] 表示所有到達頂點vk的弧的集合。比如圖7-9-5的P[3]就是<v1, v3> 和 <v2, v3> 兩條弧。len<vi, vk> 是弧<vi, vk>上的權(quán)值。
假如我們現(xiàn)在已經(jīng)求得v9~ v5 頂點的ltv值，現(xiàn)在要求v4 的ltv 值，由鄰接表可得到v4 有兩條弧<v4, v6>, <v4, v7>，可以得到
ltv[4] = min(ltv[7] - 4, ltv[6] - 9) = 15，如圖7-9-8所示。
可以發(fā)現(xiàn)，在計算ltv時，其實是把拓撲序列倒過來進行而已，因此可以得到計算頂點vk最晚發(fā)生時間即求ltv[k] 的公式是：
其中S[K]表示所有從頂點vk出發(fā)的弧的集合。比如圖7-9-8的S[4] 就是<v4, v6>和<v4, v7>兩條弧，len<vk, vj> 是弧<vk, vj> 上的權(quán)值。
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現(xiàn)有一AOE網(wǎng)圖如圖7-9-4所示，我們使用鄰接表存儲結(jié)構(gòu)，注意與拓撲排序時鄰接表結(jié)構(gòu)不同的地方在于，這里弧表結(jié)點增加了weight域，用來存儲弧的權(quán)值。
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求解事件的最早發(fā)生時間etv的過程，就是我們從頭至尾找拓撲序列的過程，因此在求關(guān)鍵路徑之前，需要先調(diào)用一次拓撲序列算法的代碼來計算etv 和 拓撲序列列表，我們針對前面講過的AOV網(wǎng)與拓撲排序的程序進行改進，代碼如下（參考《大話數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》）：
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C++ Code?| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 | ? | /*?拓撲排序，若GL無回路，則輸出拓撲排序序列并返回1，若有回路返回0。?*/ bool?TopologicalSort(GraphAdjList?GL) { ????EdgeNode?*pe; ????int?i,?k,?gettop; ????int?top?=?0;/*?用于棧指針下標??*/ ????int?count?=?0;/*?用于統(tǒng)計輸出頂點的個數(shù)??*/ ????/*?建棧將入度為0的頂點入棧??*/ ????int?*stack?=?(int?*)malloc(GL->numVertexes?*?sizeof(int)); ????for?(i?=?0;?i?<?GL->numVertexes;?i++) ????????if?(0?==?GL->adjList[i].in) ????????????stack[++top]?=?i;/*?將入度為0的頂點入棧?*/ ????top2?=?0; ????etv?=?(int?*)malloc(GL->numVertexes?*?sizeof(int)); ????for?(i?=?0;?i?<?GL->numVertexes;?i++) ????????etv[i]?=?0;?/*?初始化?*/ ????stack2?=?(int?*)malloc(GL->numVertexes?*?sizeof(int)); ????cout?<<?"TopologicalSort?..."?<<?endl; ????while?(top?!=?0) ????{ ????????gettop?=?stack[top--]; ????????cout?<<?GL->adjList[gettop].data?<<?"?->?"; ????????count++;??/*?輸出i號頂點，并計數(shù)?*/ ????????stack2[++top2]?=?gettop;?/*?將彈出的頂點序號壓入拓撲序列的棧?*/ ????????for?(pe?=?GL->adjList[gettop].firstedge;?pe;?pe?=?pe->next) ????????{ ????????????k?=?pe->adjvex; ????????????/*?將i號頂點的鄰接點的入度減1，如果減1后為0，則入棧?*/ ????????????if?(!(--GL->adjList[k].in)) ????????????????stack[++top]?=?k; ????????????/*?求各頂點事件的最早發(fā)生時間etv值?*/ ????????????if?((etv[gettop]?+?pe->weight)?>?etv[k]) ????????????????etv[k]?=?etv[gettop]?+?pe->weight; ????????} ????} ????cout?<<?endl; ????if?(count?<?GL->numVertexes) ????????return?false; ????else ????????return?true; } |
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在程序開始處我們聲明了幾個全局變量：
int *etv,*ltv; /* 事件最早發(fā)生時間和最遲發(fā)生時間數(shù)組，全局變量 */
int *stack2; ? /* 用于存儲拓撲序列的棧 */
int top2; ? /* 用于stack2的指針 */
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其中stack2用來存儲拓撲序列，以便后面求關(guān)鍵路徑時使用。
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上面的拓撲排序函數(shù)中除了增加了第12～19行，29行，38～39行，其他跟前面講過的AOV網(wǎng)與拓撲排序沒什么區(qū)別。
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第12～19行初始化全局變量etv數(shù)組、top2和stack2的過程。第29行就是將本來要輸出的拓撲序列壓入全局棧stack2中。第38～39行很關(guān)鍵，是求etv數(shù)組的每一個元素的值，具體求值辦法參見AOE網(wǎng)和關(guān)鍵路徑。
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下面來看求關(guān)鍵路徑的算法代碼。
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C++ Code?| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 | ? | /*?求關(guān)鍵路徑,GL為有向網(wǎng)，輸出G的各項關(guān)鍵活動?*/ void?CriticalPath(GraphAdjList?GL) { ????EdgeNode?*pe; ????int?i,?j,?k,?gettop; ????int?ete,?lte;/*?聲明活動最早發(fā)生時間和最遲發(fā)生時間變量?*/ ????TopologicalSort(GL);/*?求拓撲序列，計算數(shù)組etv和stack2的值?*/ ????ltv?=?(int?*)malloc(GL->numVertexes?*?sizeof(int));?/*?事件最早發(fā)生時間數(shù)組?*/ ????for?(i?=?0;?i?<?GL->numVertexes;?i++) ????????ltv[i]?=?etv[GL->numVertexes?-?1];/*?初始化?*/ ????cout?<<?"etv?:??"; ????for?(i?=?0;?i?<?GL->numVertexes;?i++) ????????cout?<<?etv[i]?<<?'?'; ????cout?<<?endl; ????while?(top2?!=?0)/*?出棧是求ltv?*/ ????{ ????????gettop?=?stack2[top2--]; ????????/*?求各頂點事件的最遲發(fā)生時間ltv值?*/ ????????for?(pe?=?GL->adjList[gettop].firstedge;?pe;?pe?=?pe->next) ????????{ ????????????k?=?pe->adjvex; ????????????if?(ltv[k]?-?pe->weight?<?ltv[gettop]) ????????????????ltv[gettop]?=?ltv[k]?-?pe->weight; ????????} ????} ????cout?<<?"ltv?:??"; ????for?(i?=?0;?i?<?GL->numVertexes;?i++) ????????cout?<<?ltv[i]?<<?'?'; ????cout?<<?endl; ????/*?求ete,lte和關(guān)鍵活動?*/ ????for?(j?=?0;?j?<?GL->numVertexes;?j++) ????{ ????????for?(pe?=?GL->adjList[j].firstedge;?pe;?pe?=?pe->next) ????????{ ????????????k?=?pe->adjvex; ????????????ete?=?etv[j];/*?活動最早發(fā)生時間?*/ ????????????lte?=?ltv[k]?-?pe->weight;/*?活動最遲發(fā)生時間?*/ ????????????if?(ete?==?lte)?/*?兩者相等即在關(guān)鍵路徑上?*/ ????????????????cout?<<?"<v"?<<?GL->adjList[j].data?<<?"?-?v" ?????????????????????<<?GL->adjList[k].data?<<?">?length:?"?<<?pe->weight?<<?endl; ????????} ????} } |
函數(shù)第7行調(diào)用求拓撲序列的函數(shù)，執(zhí)行完畢后，全局數(shù)組etv和棧stack2 如圖7-9-6所示，top2 = 10，也就是說，對于每個事件的最早發(fā)生時間，我們已經(jīng)計算出來了。
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第11～12行初始化全局變量ltv數(shù)組，因為etv[9] = 27，所以數(shù)組ltv值現(xiàn)在為全27。
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第19～29行是計算ltv 數(shù)組的循環(huán)，具體方法參見AOE網(wǎng)和關(guān)鍵路徑。
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當程序執(zhí)行到第36行，etv和ltv數(shù)組的值如圖7-9-9
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比如etv[1] = 3, 而ltv[1] = 7，表示如果單位是天的話，哪怕v1整個事件在第7天才開始，也可以保證整個工程的按期完成，可以提前v1事件開始時間，但最早也得第3天開始。
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第36～47行是求另兩個變量，活動最早開始時間ete和活動最晚開始時間lte，并對相同下標的它們進行比較。兩重循環(huán)嵌套是對鄰接表的頂點和每個頂點的弧表遍歷，具體方法參見AOE網(wǎng)和關(guān)鍵路徑，舉例來說，如圖7-9-10，當j = 0時，當k = 2， ete = lte, 表示
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弧<v0, v2> 是關(guān)鍵路徑，因此打印；當k = 1, ete != lte， 故弧<v0, v1> 不是關(guān)鍵路徑。
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j = 1 一直到 j = 9為止，做法是完全相同的，最后輸出的結(jié)果如下圖，最終關(guān)鍵路徑如圖7-9-11所示。
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