堆

堆是一個(gè)數(shù)組，它可以被看成一個(gè)近似的完全二叉樹(shù)，樹(shù)上的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)組中的一個(gè)元素。除去最底層外，該樹(shù)是完全充滿的，而且從左到右填充。

用數(shù)組A表示堆，從數(shù)組第1個(gè)元素開(kāi)始，數(shù)組中第i（1<=i <=n）個(gè)元素，其父結(jié)點(diǎn),左孩子，右孩子的下標(biāo)如下

// 父結(jié)點(diǎn)public int parent( int i){return i/2;}// 左孩子public int left(int i){return 2*i;}// 右孩子public int right(int i){return 2*i+1;}

?當(dāng)數(shù)組起始下標(biāo)是0的時(shí)候，其父結(jié)點(diǎn)，左右孩子結(jié)點(diǎn)如下

// 父結(jié)點(diǎn)public int parent( int i){return (i-1)/2;}// 左孩子public int left(int i){return 2*i+1;}// 右孩子public int right(int i){return 2*i+2;}

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堆可以分為大頂堆和小頂堆

大頂堆：結(jié)點(diǎn) i 的值 都大于其左右孩子結(jié)點(diǎn)的值

小頂堆：結(jié)點(diǎn) i 的值 都小于其左右孩子結(jié)點(diǎn)的值

二叉樹(shù)的形式與數(shù)組形式表達(dá)堆之間元素的關(guān)系

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練習(xí)1，高度為h的堆，元素最少和最多是多少？

最多：這個(gè)完全二叉樹(shù)第h層元素填滿：2^h - 1

最少：第h-1層填滿，第h層只有一個(gè)元素：2^(h-1) -1 + 1 = 2^(h-1)

說(shuō)明：h=1 表示第一層

練習(xí)2，含有n個(gè)元素的堆的高度是 [lgn]

練習(xí)3，當(dāng)用數(shù)組存放堆的時(shí)候，堆的元素時(shí)候n，求葉子結(jié)點(diǎn)下標(biāo)

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構(gòu)建大頂堆

max-heapify 用于維護(hù)一個(gè)大頂堆。它的輸入是一個(gè)數(shù)組A和下標(biāo)i。在調(diào)用max-heapify的時(shí)候，假定根結(jié)點(diǎn)left(i) 和right(i) 的二叉樹(shù)都是大頂堆，但這時(shí)A[i]有可能小于其中的一個(gè)孩子，這樣就違背大頂堆的性質(zhì)。我們需要進(jìn)行調(diào)整，選取left(i) right(i) 對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)較大的一個(gè)和 i 位置處的結(jié)點(diǎn)進(jìn)行互換。

建堆代碼如下

/*** 調(diào)整堆元素* @param A* @param n* @param i*/public void max_heapify(int[] A ,int n,int i){// 左孩子結(jié)點(diǎn)int l = left(i);// 右孩子結(jié)點(diǎn)int r = right(i);// 最大結(jié)點(diǎn)下標(biāo)int largest = -1;// 與左孩子判斷if(l<= n && A[l] > A[i])largest = l;elselargest = i;// 與右孩子判斷if(r <=n && A[r] > A[largest])largest = r;// i 結(jié)點(diǎn)不是最大值maxId 和i 結(jié)點(diǎn)進(jìn)行交換if(largest != i ){swap(A,largest,i); max_heapify(A,n,largest);}}/*** 交換* @param A* @param l* @param r*/public void swap(int [] A,int l,int r){int tmp = A[l];A[l] = A[r];A[r] = tmp;}

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?時(shí)間復(fù)雜度：O(lg(n))

說(shuō)明：

在 i left(i) right(i) 三個(gè)結(jié)點(diǎn)中，選取其對(duì)應(yīng)的值最大的結(jié)點(diǎn)和 i 結(jié)點(diǎn)的值進(jìn)行交換。在交換后，下標(biāo)為largest的結(jié)點(diǎn)的值是原來(lái)的A[i] 的值，largest所在的結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)可能違反大頂堆的性質(zhì)，需要對(duì)該子樹(shù)遞歸調(diào)用max-heapify

這里的假設(shè)是 以left(i) right(i) 為結(jié)點(diǎn)的堆已經(jīng)是大頂堆，所以這個(gè)時(shí)候，我們只需要上面的三個(gè)元素就好了

算法導(dǎo)論例子

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改成循環(huán)代碼

/*** 調(diào)整堆元素* @param A 數(shù)組存放堆* @param n 數(shù)組的數(shù)量 從 1 - n 開(kāi)始* @param i 需要調(diào)整的堆 元素 位置 */public void max_heapify1(int[] A ,int n,int i){int l = -1;int r = -1;int largest = -1;while(true){l = left(i);r = right(i);if(l<=n && A[l] > A[i])largest = l;else largest = i;if(r <=n && A[r] > A[largest])largest = r;if(largest!=i){swap(A,largest,i);//更新i 的值相當(dāng)?shù)倪f歸調(diào)用i = largest;// 相等 對(duì)左右子樹(shù)不影響}else{break;} }}

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建堆

自底向上的方法，利用max-heapify 把一個(gè)大小為n 的數(shù)組A[1,...,n] 轉(zhuǎn)換成大頂堆。子數(shù)組A[[n/2] +1,...,n] 中的元素是樹(shù)的葉子結(jié)點(diǎn)。每個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)可以看成一個(gè)大頂堆，所有在建堆的時(shí)候從 n/2 的元素開(kāi)始 一直到 第 1 的元素。

為什么這樣做？因?yàn)閷?duì)當(dāng)前結(jié)點(diǎn)進(jìn)行操作時(shí)能夠保證以當(dāng)前結(jié)點(diǎn)為根的樹(shù)的子樹(shù)都已經(jīng)是最大頂堆。這是從后像前的過(guò)程，先把底層的大頂堆構(gòu)建好，再逐步的構(gòu)建上層的大頂堆，在一定程度上減少了不比較的操作。如果是從1 到 n/2 的時(shí)候，對(duì)于新加入的元素，前面已經(jīng)構(gòu)建好的大頂堆可能都需要進(jìn)行更新。比如，我們已經(jīng)在第100層， 新插入的元素比之前堆內(nèi)的元素都大，如100000，前面已經(jīng)構(gòu)建好的99層都要進(jìn)行調(diào)整。

/*** 建立大頂堆* @param A* @param n*/public void build_max_heap(int[] A,int n){for(int i = n/2;i>=1;i--){max_heapify(A,n,i);}}

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時(shí)間復(fù)雜度：O(nlog(n))

算法導(dǎo)論建堆例子

堆排序算法

初始時(shí)候，利用build_max_heap將輸入數(shù)組A[1,..,n] 建成大頂堆，這里A[1]一定是最大的元素，將A[1]與A[n]互換，再對(duì)A[1,...,n-1] 調(diào)整為大頂堆，然后A[1]與A[n-1]元素互換，再對(duì)A[1,...,n-2] 調(diào)整為大頂堆，如此循環(huán)下去

/*** 堆排序 升序* @param A* @param n */public void heap_sort(int[] A,int n){build_max_heap(A,n);for(int i = n;i>=2;i--){swap(A,i,1);max_heapify(A,i-1,1);}}

堆排序的時(shí)間復(fù)雜度：O(nlogn)

算法導(dǎo)論例子

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所有程序

package heapSort;class heap{/*** 堆排序 升序* @param A* @param n */public void heap_sort(int[] A,int n){build_max_heap(A,n);for(int i = n;i>=2;i--){swap(A,i,1);max_heapify(A,i-1,1);}}/*** 建立大頂堆* @param A* @param n*/public void build_max_heap(int[] A,int n){for(int i = n/2;i>=1;i--){max_heapify(A,n,i);}}/*** 調(diào)整堆元素* @param A 數(shù)組存放堆* @param n 數(shù)組的數(shù)量 從 1 - n 開(kāi)始* @param i 需要調(diào)整的堆 元素 位置 */public void max_heapify1(int[] A ,int n,int i){int l = -1;int r = -1;int largest = -1;while(true){l = left(i);r = right(i);if(l<=n && A[l] > A[i])largest = l;else largest = i;if(r <=n && A[r] > A[largest])largest = r;if(largest!=i){swap(A,largest,i);//更新i 的值相當(dāng)?shù)倪f歸調(diào)用i = largest;// 相等 對(duì)左右子樹(shù)不影響}else{break;} }}/*** 調(diào)整堆元素* @param A* @param n* @param i*/public void max_heapify(int[] A ,int n,int i){// 左孩子結(jié)點(diǎn)int l = left(i);// 右孩子結(jié)點(diǎn)int r = right(i);// 最大結(jié)點(diǎn)下標(biāo)int largest = -1;// 與左孩子判斷if(l<= n && A[l] > A[i])largest = l;elselargest = i;// 與右孩子判斷if(r <=n && A[r] > A[largest])largest = r;// i 結(jié)點(diǎn)不是最大值maxId 和i 結(jié)點(diǎn)進(jìn)行交換if(largest != i ){swap(A,largest,i); max_heapify(A,n,largest);}}/*** 交換* @param A* @param l* @param r*/public void swap(int [] A,int l,int r){int tmp = A[l];A[l] = A[r];A[r] = tmp;}// 父結(jié)點(diǎn)public int parent( int i){return i/2;}// 左孩子public int left(int i){return 2*i;}// 右孩子public int right(int i){return 2*i+1;} } public class heapSort {public static void main(String[] args) {heap h = new heap();// 第一個(gè)元素不考慮int[] A = new int[]{-1,4,1,3,2,16,9,10,14,8,7};int n = A.length-1;//h.build_max_heap(A, n);//printA(A);//16 14 10 8 7 9 3 2 4 1 //16 14 10 8 7 9 3 2 4 1 h.heap_sort(A, n);System.out.println();printA(A);}public static void printA(int[] A){for(int i:A){System.out.print(i+" ");}}} View Code

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法导论：堆排序的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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