設(shè)$f,g$是$[a,b]$上的[有界變差函數(shù)],則$f+g$也是$[a,b]$上的有界變差函數(shù).

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證明：設(shè)$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是對(duì)$[a,b]$的任意分割.由于$f$是$[a,b]$上的有界變差函數(shù)，因此
$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|<M_1$$
且
$$\sum_{i=0}^{n-1}|g(x_{i+1})-g(x_i)|<M_2$$
其中，$M_1$和$M_2$是固定的常數(shù).因此
$$\sum_{i=0}^{n-1}|(f(x_{i+1})+g(x_{i+1}))-(f(x_i)+g(x_i))|=\sum_{i=0}^{n-1}|(f(x_{i+1})-f(x_i))+(g(x_{i+1})-g(x_i))|\leq \sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1}-f(x_i)|+\sum_{i=0}^{n-1}|g(x_{i+1}-g(x_i)|<M_1+M_2$$
可見(jiàn)，$f+g$是$[a,b]$上的有界變差函數(shù).

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設(shè)$f$和$g$都是$[a,b]$上的有界變差函數(shù),則$f(x)g(x)$在$[a,b]$上有界變差函數(shù).

證明：我先證明

若$f$是$[a,b]$上的有界變差函數(shù)，則$f^2$是$[a,b]$上的有界變差函數(shù).


證明：設(shè)$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是對(duì)于$[a,b]$的任意分割，則

$$\sum_{i=0}^{n-1}|f^2(x_{i+1})-f^2(x_i)|=\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})+f(x_i)||f(x_{i+1})-f(x_i)|$$

根據(jù)數(shù)學(xué)分析_Tom M.Apostol_定理6.7，$f$是$[a,b]$上的有界函數(shù).因此$\forall x\in [a,b]$,$|f(x)|\leq K$,其中$K$是給定正實(shí)數(shù).因此

$$\sum_{i=0}^{n-1}|f^2(x_{i+1})-f^2(x_i)|=\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})+f(x_i)||f(x_{i+1})-f(x_i)|\leq \sum_{i=0}^{n-1}(|f(x_{i+1})|+|f(x_i)|)|f(x_{i+1})-f(x_i)|\leq \sum_{i=0}^{n-1}2K|f(x_{i+1}-f(x_i)|\leq 2KM$$

其中$M$是給定正實(shí)數(shù).可見(jiàn)，$f^2$是$[a,b]$上的有界變差函數(shù).


由于$fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}$,且根據(jù)同一個(gè)閉區(qū)間上兩個(gè)有界變差函數(shù)的和仍然是有界變差函數(shù)，可得$fg$是有界變差函數(shù).

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/02/09/3827779.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的同一个闭区间上有界变差函数的和与积都是有界变差函数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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