設$f,g$是$[a,b]$上的[有界變差函數],則$f+g$也是$[a,b]$上的有界變差函數.

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證明：設$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是對$[a,b]$的任意分割.由于$f$是$[a,b]$上的有界變差函數，因此
$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|<M_1$$
且
$$\sum_{i=0}^{n-1}|g(x_{i+1})-g(x_i)|<M_2$$
其中，$M_1$和$M_2$是固定的常數.因此
$$\sum_{i=0}^{n-1}|(f(x_{i+1})+g(x_{i+1}))-(f(x_i)+g(x_i))|=\sum_{i=0}^{n-1}|(f(x_{i+1})-f(x_i))+(g(x_{i+1})-g(x_i))|\leq \sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1}-f(x_i)|+\sum_{i=0}^{n-1}|g(x_{i+1}-g(x_i)|<M_1+M_2$$
可見，$f+g$是$[a,b]$上的有界變差函數.

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設$f$和$g$都是$[a,b]$上的有界變差函數,則$f(x)g(x)$在$[a,b]$上有界變差函數.

證明：我先證明

若$f$是$[a,b]$上的有界變差函數，則$f^2$是$[a,b]$上的有界變差函數.


證明：設$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是對于$[a,b]$的任意分割，則

$$\sum_{i=0}^{n-1}|f^2(x_{i+1})-f^2(x_i)|=\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})+f(x_i)||f(x_{i+1})-f(x_i)|$$

根據數學分析_Tom M.Apostol_定理6.7，$f$是$[a,b]$上的有界函數.因此$\forall x\in [a,b]$,$|f(x)|\leq K$,其中$K$是給定正實數.因此

$$\sum_{i=0}^{n-1}|f^2(x_{i+1})-f^2(x_i)|=\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})+f(x_i)||f(x_{i+1})-f(x_i)|\leq \sum_{i=0}^{n-1}(|f(x_{i+1})|+|f(x_i)|)|f(x_{i+1})-f(x_i)|\leq \sum_{i=0}^{n-1}2K|f(x_{i+1}-f(x_i)|\leq 2KM$$

其中$M$是給定正實數.可見，$f^2$是$[a,b]$上的有界變差函數.


由于$fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}$,且根據同一個閉區間上兩個有界變差函數的和仍然是有界變差函數，可得$fg$是有界變差函數.

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/02/09/3827779.html

總結

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